層狀基礎的動力響應分析

張 騫 張海霞

1 概述

本文基于改進的一維剪切梁模型，建立地基的控制方程，給出地基的位移和應力連續條件及邊界條件，推導振型函數，得到體系的頻率方程。利用振型疊加法及振型函數的正交性，運用分離變量法，求得在已知邊界條件下體系的穩態解，進而得到地基與基巖的相對位移，剪應變及絕對加速度的解析表達式。但地面水平運動加速度ǜ(t)是一系列隨時間變化的隨機脈沖，需利用數值方法來計算地震響應。本文使用龍格—庫塔法，計算得出地基的最大反應，并做出相應的最大反應圖。

2 定解問題及其求解

2.1 定解問題的建立

如圖1所示的水平層狀地基剖面，土層分為 M層，厚度分別為 H1，H2，…，HM;密度分別為 ρ1，ρ2，…，ρM;阻尼系數分別為c1，c2，…，cM;動剪切模量分別為 G1，G2，…，GM。基巖面有一水平地震活動，加速度為ǜ(t)，各土層沿X方向的相對位移用Vj(j=1，2，…，M)表示。

由文獻[1]，得到該問題的控制方程:

在定解問題式(1)～式(5)中，取 cj=0，得到無阻尼體系的自由振動控制方程及條件。設穩態解:Vj=vj(y)eiwt，hj-1≤y≤hj，j=1，2，…，M，代入式(1)，得:

根據位移、剪應力連續條件，可得:

根據遞推關系，得出表層與底層間存在關系:

又根據表層與底面的邊界條件，并結合式(12)，整理得到:

由式(13)的系數行列式等于零，可推出確定頻率的方程:

2.2 定解問題的數學求解

利用分離變量法，可設定解問題式(1)～式(5)的解為:

將式(15)代入式(1)～式(4)，只要 cj等于同一常數 c，式(2)～式(4)恒滿足，由式(1)得:

設ρj=ρ為定值，方程兩邊同乘以 vjmdy，沿厚度積分，并利用振型函數的正交性:

其中，aim= λiwmLi。

令 2μmwm=c/ρ，則式(18)可寫為:

其中，wm為無阻尼自振頻率;ηm為振型參與系數;μm為振型阻尼比。

進一步推導，可得地基土層的相對位移、剪應變及絕對加速度響應分別為:

本文利用龍格—庫塔法進行數值分析，公式由文獻[6]得到。

3 算例

一地基由3層不同的土組成，土層厚 H=28 m，各層參數見表1，土的密度取平均值ρ平=1 600 kg/m3，將此資料中的數據代入式(14)，編程計算得該地基的前八階頻率分別為(單位:rad/s):

w1=8.573，w2=24.476，w3=41.193，w4=57.278，w5=74.250，w6=90.267，w7=106.766，w8=123.255。

表1 某場地土的參數值

設地基土的阻尼比μ=0.01，基底輸入一人工地震波，利用上述數據算得的最大反應(相對位移、剪應力、絕對加速度)見圖2。

4 結語

本文在求解過程中，選取基巖面上的一點作為坐標原點，把基巖輸入地震化作邊界靜止不動，而在計算域各點上作用著慣性力的問題進行計算，在時間域內，運用分離變量法，求解給出了基巖任意輸入地震作用下的解析解。最后，對算例進行了相應的計算處理，得出地基的最大反應，并做出了相應的最大反應圖。

[1] 黃 義，門玉明.結構—地基相互作用系統可靠性分析[M].西安:陜西科學技術出版社，2000.

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[6] 朱伯龍，張琨聯.建筑結構抗震設計原理[M].上海:同濟大學出版社，1994.

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