基于解析理論的懸索橋主纜線形的迭代算法

占 維

主纜是懸索橋的主要承重構件，準確確定其成橋線形十分重要。主纜線形的正確與否，直接影響到主纜下料長度、各索夾的安裝位置以及相應的吊索長度等參數的正確與否。

解析迭代法首先根據成橋狀態算出主纜的無應力長度，并進行索鞍處主纜長度的修正，再根據恒定無應力索長法計算出其他參數。本文在現有研究[1-3]的基礎上，根據解析迭代法的原理，采用EXCEL法和MATLAB編程法兩種計算方法，分別計算懸索橋主纜的無應力長度，比較兩者的計算結果，并與文獻結果進行誤差比較。

1 主纜線形的計算

1.1 基本假定

解析法是采用懸索力學理論將主纜作為理想懸索，故對主纜采用下述三條基本假設[4]:

1)主纜是理想柔索;2)主纜的材料符合虎克定律;3)主纜的截面面積及容重在外荷載作用下的變化量十分微小，忽略這種變化的影響。

1.2 基本公式

1.2.1 懸鏈線方程

如圖1所示為一段只受自重荷載的索段。取其中一個微段進行研究，見圖2。

首先建立平衡微分方程:

其中，a，b均為積分常數，可由索段的邊界條件求得，如圖1所示。

得:

1.2.2 索段無應力長度

索段弧長:

而索段的彈性伸長量:

則索段的無應力長度:

1.2.3 主纜整體的平衡方程

對于如圖3所示的受自重及若干集中荷載作用下的索，可將索分為n段。則對于整體可得到水平和豎向的平衡方程:

同時有相容方程:

而各個索段之間在集中荷載作用點處滿足受力平衡條件:

則:

所以:

1.3 迭代計算方法

由上述受力平衡條件和變形相容條件，可建立如下迭代計算過程:

1)確定初始值，可近似采用拋物線公式:

2)塔頂處由式(9)，式(1)，式(2)分別求得第一索段各個參數:

3)在第 i個吊點處，由式(8)，式(1)，式(2)可得:

4)求出所有索段的參數后，由下列兩式對豎向支承力 V和索力水平分量H進行修正:

H=H+ΔH(修正值ΔH詳見后述)。

然后重復2)步～3)步的循環，直至前后兩次循環值之差小于給定誤差限，即|∑hi-h|≤ε，其中，ε為給定誤差限。

對以上循環迭代過程，只要給定的初值 H，V較合適，且采用變步長ΔH，一般能很快收斂。

對于中跨取半跨進行計算，如跨中沒有集中力，則yn′|xi=li=0(本文此種情況);如有集中力 Pn，則對第 n個吊點有如下y方向的平衡方程:

1.4 修正值ΔH的計算

因為 hi是H，V的函數。

所以有:

由于修正值并不要求十分準確，只要它能較好地使被修正值逐漸靠近真值即可，因此可以假定索為直線。對于直線索有如下恒等式:

求偏導數得:

則可得索力水平力分量修正值為:

1.5 主索鞍、散索鞍處主纜長度修正

對于主索鞍，如圖4所示，Δc為主索鞍圓弧中心偏離鞍座中心線的距離。初始位置計算公式為:

其中，Δx，Δy均為距離主索鞍頂點之距。

求得各跨主纜端點的斜率后，按此斜率計算切點位置后的計算公式為:

因中跨主纜長度計算至鞍座中心線處，故中跨主纜繞主索鞍圓弧段的有應力長度及彈性伸長公式為:

同理可求出邊跨主纜在主索鞍上的切點位置以及邊跨主纜繞主索鞍圓弧段的有應力長度及彈性伸長。

對于散索鞍，同理求出繞散索鞍的圓弧段長及彈性伸長為:

由于主纜在散索鞍上還有水平方向的轉角，因此還需修正水平轉角引起的切曲差。

2 算例

宜昌長江公路大橋中跨跨徑為960 m，邊跨跨徑為246.255 m，錨跨跨徑為20.432 m;吊索間距為12.06 m(邊吊索距橋塔中心15.69 m)，中跨跨中矢度為96 m;橋面設計豎曲線半徑29 629 m，主索鞍鞍槽底圓半徑6.152 m，散索鞍鞍槽底圓半徑7.0 m;北塔高112.415 m，南塔高 142.227 m，塔頂標高 185.070 m。

本文由受力平衡條件和變形相容條件，建立迭代計算方法，分別用EXCEL法和MATLAB編程法計算出主纜的無應力長度。在EXCEL法中通過控制水平力 H前后兩次循環之差ΔH的絕對值小于10-4和Δh=|∑hi-h|≤10-5，即可認為滿足了精度要求;同樣在MATLAB編程法中也是控制ΔH和Δh這兩個參數的精度，當滿足精度要求的索力水平分量H及豎向支承力V求得后，即可用積分法計算各索段的有應力索長及各吊點處的標高。這個循環迭代過程，只要給定的初值 H，V較合適，采用變步長ΔH一般能很快收斂。

從表1中可以看出，EXCEL法和MATLAB編程法計算出的主纜無應力長度是非常接近的。而且由于本課題取得的現有資料有限，與文獻結果進行誤差比較，主纜無應力長度的相對誤差最大為0.60%，最小為0.36%，都在允許誤差范圍之內。所以這兩種方法是可行的。

表1 主纜無應力長度(主纜中心處) m

3 結語

本文根據懸索橋的受力特點，建立起了主纜施工計算的解析迭代法，推導了主纜的計算公式及如何進行解析迭代的具體方法，以此確定恒載狀態下成橋線形、主纜水平力、豎向力、主纜無應力長度。分析了主、散索鞍半徑對主纜長度的影響及相應的修正方法，并用具體實例進行計算，最終得出結果是可行的。

[1] 沈銳利.懸索橋主纜系統設計及架設計算方法研究[J].土木工程學報，1996，29(2):3-9.

[2] Pugsley A.The theory of suspension bridges，Edward Arnold LTD，London，1957.

[3] 黃平明，梅葵花.大跨度懸索橋主纜系統施工控制計算[J].西安公路交通大學學報，2000，20(4):19-22.

[4] 張 哲.混凝土自錨式懸索橋[M].北京:人民交通出版社，2005:118-122.

[5] 何 為.大跨徑懸索橋施工監控中若干問題的研究[D].杭州:浙江大學博士論文，2006.