共軛梯度法在膜結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用

高振宇

1 概述

力密度法應(yīng)用于膜結(jié)構(gòu)分析時建立的方程組如下:

其中，C為結(jié)構(gòu)的拓撲矩陣;Q為力密度矩陣;Px，Py和Pz均為節(jié)點荷載，具體推導(dǎo)詳見文獻[1][2]。隨著結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分的增加，總結(jié)點數(shù)變大，力密度法方程組階數(shù)升高，膜結(jié)構(gòu)分析的最終問題就歸結(jié)為大型線性方程組的求解上。C矩陣本身是含有大量零元素的稀疏矩陣，并且本文通過推導(dǎo)證明，該方程組具有對稱正定的特點，所以，本文提出可利用其方程組的結(jié)構(gòu)特性進行算法優(yōu)化，以提高計算程序的效率。

一般來說，解線性方程組 Ax=b有兩種數(shù)值分析方法:1)直接法。但直接法涉及到系數(shù)矩陣的分解，當 A為大型稀疏矩陣時，因為所要求的分解因子是稠密的，直接法的效率不高甚至難以實現(xiàn)。2)迭代法。這類方法是生成近似解序列{x(k)}，矩陣 A只在矩陣向量乘法時才用到，而稀疏矩陣的乘法已相當成熟。數(shù)值方法的一個基本原則是:求解任一問題都應(yīng)利用其方程組的結(jié)構(gòu)特性，下面將介紹一種迭代解法——共軛梯度法，其優(yōu)點正好體現(xiàn)于求解稀疏、對稱及正定的方程組的效率上。

2 共軛梯度法在力密度方程組求解中的應(yīng)用

2.1 力密度方程組的對稱正定性

根據(jù)式(1)，設(shè)任意n為向量p，且力密度矩陣 Q為對角矩陣，其中對角元素 q(i，i)＞0，(i=1，n)，則:

所以方程組系數(shù)矩陣(CTQC)為對稱正定矩陣。

2.2 共軛梯度法

表1 共軛梯度法與Gauss消去直接法找形結(jié)果對比表

表2 共軛梯度法與Gauss消去直接法計算耗時對比表

3 算例分析

根據(jù)以上算法，本文編制了相應(yīng)的程序，并進行了算例分析。

本算例為馬鞍形膜結(jié)構(gòu)，采用矩形網(wǎng)格劃分，劃分間距為0.5 m，膜面預(yù)應(yīng)力為1.0 kN/m，膜網(wǎng)內(nèi)部力密度值為1.0 kN/m，邊索力密度值為14.0 kN/m。結(jié)點總數(shù)為552，其中4個為固定結(jié)點，坐標分別為 99 000 001(12，16，4)，99 000 002(3，10，0)，99 000 003(12，1，4)，99 000 004(20，9，0)。單元總數(shù) 1 000，其中“T”單元總數(shù)為128。

本文編制的程序計算迭代166次，滿足終止準則‖r‖2＜1×e-6。圖1，圖2分別給出結(jié)構(gòu)網(wǎng)格劃分、幾何零狀態(tài)時與找形后的平衡形狀的對比，表1，表2分別給出了共軛梯度法和Gauss消去直接法的結(jié)點坐標計算結(jié)果及其計算耗時的比較。算例分析表明，本文算法精度高、收斂快，是求解力密度方程組的可靠、高效的數(shù)值分析方法，為力密度法應(yīng)用于大型膜結(jié)構(gòu)分析奠定了堅實的基礎(chǔ)。

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