再議計算子午線弧長的數值積分法

楊雙富

(云南一九八煤田地質勘探隊，云南昆明 650208)

再議計算子午線弧長的數值積分法

楊雙富?

(云南一九八煤田地質勘探隊，云南昆明 650208)

給出了利用復化辛普森(Simpson)積分公式計算子午線弧長的方法，分析了計算結果精度與積分區間的大小和區間等分數的關系。

子午線弧長；數值積分；辛普森(Simpson)積公式、復化辛普森(Simpson)積公式

1 前 言

《測繪通報》2006年第5期刊登的《計算子午線弧長的數值積分法》一文中介紹了子午線弧長計算的數值積分方法，遺憾是的沒有明確指出其計算結果源自于數值積分方法中的哪一種，但通過與經典方法結果相對比，得出相互矛盾的結論:“數值積分法與經典方法的計算結果之間存在著顯著的差異，數值積分法精度高?！盵6]，值得注意是經典方法計算結果的精度優于1 mm，而從文中表1～表3(僅摘錄表1)可以看出，緯度從10°～90°，子午線弧長的數值積分法計算結果與經典方法相差750多米到92 680多米，竟不如僅將積分區間二等分的辛普森(Simpson)積分計算結果，真讓人匪夷所思。

圖1 《計算子午線弧長的數值積分法》一文表1摘錄

眾所周知，數值積分法精度高低與所采用積分方法、積分區間的大小、區間等分數或節點數多少有密切的關系，下面以克拉索夫斯基橢球體及最常用的辛普森(Simpson)積分公式、復化辛普森(Simpson)積分公式為例，對采用數值積分法計算子午線弧長作一簡略的分析。

2 子午線弧長計算公式及數值積分公式簡介

2.1 子午線弧長計算公式

設a為橢球的長半軸，e為第一偏心率，則在子午圈上從赤道開始到任一緯度B的弧長計算公式為[2]:

2.2 經典計算公式

式中系數a0、a2、a4、a6、a8詳見文獻[2]。

2.3 辛普森(Simpson)積分公式

2.4 復化辛普森(Simpson)積分公式

式中n為積分區間等分數。

3 子午線弧長計算結果對比

3.1 子午線弧長計算函數的設計

為方便操作及使用，以Excel 2003為計算平臺，采用自定義函數的方式設計各計算函數。啟動Excel 2003，選擇菜單工具(T)→宏(M)→Visual Basic編輯器(V)或按Alt＋F11進入Visual Basic編輯器，再依次點擊插入(I )→模塊(M)，添加一個模塊，然后輸入如下程序:

Public Const pi As Double＝3.14159265358979'定義常數pi (即π)

Public Function jdhcjs(ByVal x As Double)

其中“jdhcjs”、“Simpson”、“Simpson0”三個自定義函數分別對應于子午弧長計算的經典公式、辛普森(Simpson)積分公式和復化辛普森(Simpson)積分公式，而“Deg”是將形如“度.分分秒秒”格式的緯度轉換為弧度的函數。

3.2 子午線弧長計算對比

(1)經典計算公式與辛普森(Simpson)積分公式計算結果對比

建立如圖2所的表格，在A列3～12行填入緯度0°～90°，分別在B3、C3、D3單元格中填入公式“＝jdhcjs (A3)”、“＝Simpson(0，A3)”、“＝A3－C3”，選中B3～D3單元格，利用填充柄向下填至12行，結果見圖2。其中B列3～12行為子午線弧長的經典公式計算結果，C列3～12行為子午線弧長的辛普森(Simpson)積分公式計算結果，D列3～12行為前面兩計算結果之差。

圖2 計算截圖

(2)經典計算公式與復化辛普森(Simpson)積分公式計算結果對比

依照(1)操作步驟建立如圖3所示的表格，僅將C3單元格中的公式改為“＝Simpson0(66，0，A3)”，得到的結果如圖3。

圖3 計算截圖

(3)復化辛普森(Simpson)積分公式計算精度淺析

建立如圖4所示的表格，在第2行B列～J列填入緯度10°～90°，在A列3～14行中填入積分區間等分數n＝20～100，在B3單元格中填入公式＝(jdhcjs(B＄2)－Simpson0(＄A3，0，B＄2))?1000”，選中B3單元格，利用填充柄向右填至J列；選中B3～J3單元格，利用填充柄向下填至14行，結果見圖4。表中B 3～J14區域內單元格中的數值為子午線弧長的經典公式計算結果與復化辛普森(Simpson)積分公式計算結果之差的1000倍。從表中不難看出，當積分區間相同時，隨著積分區間等分數的增加，計算結果的精度提高；當積分區間等分數相同時，在緯度10°～60°范圍內，隨著積分區間的增大，計算結果的精度降低，而在緯度60°～90°范圍內，計算結果的精度卻呈現不規則變化。

圖4 計算截圖

4 結 語

通過上面簡略分析，與經典方法的計算結果相比，可以看出子午線弧長數值積分法計算結果的精度不僅與所用積分方法有關，而且還與積分區間的大小、區間等分數或節點數多少密切相關，這一點在實際運用中應加以區別對待，如復化辛普森(Simpson)積分公式要獲得任意積分區間的計算結果優于1 mm，其區間等分數n至少取66。

[1] 邢永昌，張鳳舉.礦區控制測量(上冊)[M].北京:煤炭工業出版社，1987

[2] 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢:武漢大學出版社，2001

[3] 徐萃薇.計算方法引論[M].北京:高等教育出版社，1987

[4] 翟瑞彩，謝偉松.數值分析[M].天津:天津大學出版社，2000

[5] 數學手冊編寫組.數學手冊[M].北京:人民教育出版社，1979

[6] 劉修善.計算子午線弧長的數值積分法[J].測繪通報，2006(5):4～6

Reconsideration of the Numerical Calculation of Radial arc Length Integral Method

Yang ShuangFu
(198 coal geological exploration teams in Yunnan，Yunnan 650208，China)

This paper presents the use of complex－based Simpson(Simpson)integral formula meridian arc length method to analyze the accuracy of calculation results with the integral interval size and range of the relationship between such scores.

radial arc length；numerical integration；Simpson(Simpson)product formulas，complex of Simpson (Simpson)product formula

1672－8262(2010)06－140－03

P226.1

B

2010—02—05

楊雙富(1967—)，男，高級工程師，主要從事工程測量工作。