不可逆三熱源制冷機的有限時間熱力學分析

韓威 ，張廣軍 ，馬迎秋 ，李忠建 ，陳建萍 ，葉倩

（1天華建筑設計有限公司；2中國天辰工程有限公司；3上海燃氣工程設計研究有限公司；4聯合技術研究中心（中國）有限公司；5上海市建筑科學研究院）

0 引言

最大制冷率及相應的性能系數是三熱源制冷機（如吸收式制冷機、太陽能制冷機）的兩個重要性能參數。前者決定了該制冷機的制冷率上界，而后者決定了它所允許的最佳性能系數的下界。在經典熱力學理論中，可逆三熱源制冷機可視為一個由可逆卡諾熱機驅動的可逆卡諾制冷機的組合循環，其過程是在無限時間、無阻力、無溫差的條件下進行的，這意味著該制冷機的制冷率為0。因此，經典熱力學雖有重要理論意義，但卻無法研究三熱源制冷機中與制冷率有關的問題。另外，實際過程總是不可逆的，是在有限時間、有阻力、有溫差的條件下進行的。

有限時間熱力學理論能處理顯含時間和與速率有關的變量的過程[1]，考慮了熱力循環過程中不可逆因素（包括熱阻、工質內部耗散等）的影響，其結果更具有實際的指導意義。近年來，不少學者應用有限時間熱力學理論對不可逆三熱源制冷機的最大制冷率及其相應的性能系數進行了研究[2-6]，但或者沒有充分考慮其內不可逆性的影響，或者沒有對熱導率（或換熱面積）進行更為一般的優化，因此所建立的表達式缺乏一般性。

本文利用有限時間熱力學理論，通過對熱導率的優化，導出了不可逆三熱源制冷機制冷率上界及相應性能系數的一般表達式，并探討了內不可逆性對這兩個性能參數的影響，為實際三熱源制冷機的優化設計提供了新的理論依據。

1 循環模型

不可逆三熱源制冷機可視為一個由不可逆卡諾熱機驅動的不可逆卡諾制冷機的組合循環，如圖1所示。不可逆卡諾熱機工作于高溫熱源TH和環境溫度TO之間，其工質在兩個等溫過程的工作溫度分別為Th和To；不可逆卡諾制冷機工作于環境溫度TO和低溫熱源TL之間，其工質在兩個等溫過程的工作溫度分別為To和Tl。由于工質和熱源之間存在熱阻，且循環在有限時間內進行，于是有Th＜TH、To＞TO、Tl＜TL。KH、KOH、KOL、KL為工質與相應的熱源或環境之間的熱導率。QH、QOH、QOL、QL為工質和相應的熱源或環境之間的換熱率。W既是熱機的輸出功率，也是制冷機的輸入功率。

由圖1，不可逆三熱源制冷機的性能系數可定義為

式中η為不可逆卡諾熱機的熱效率；

ε為不可逆卡諾制冷機的性能系數。

根據熱力學第一定律，有

設傳熱遵循牛頓定律，則有

除了外不可逆性（熱阻）外，由工質內部耗散引起的內不可逆性也是熱機或制冷機不可逆損失的重要來源。由熱力學第二定律，并分別引入表示熱機、制冷機內不可逆程度的參數Ihe、Ir，有下列關系

式中△Sh、△S1分別為等溫過程Th、Tl中流入工質的熵流率；△Soh、△So1分別為熱機和制冷機在等溫過程To中流出工質的熵流率。Ihe=1、Ir=1分別表示熱機、制冷機是內可逆的，即該三熱源制冷機是內可逆的；0＜Ihe＜1、0＜Ir＜1分別表示熱機、制冷機是內不可逆的，即該三熱源制冷機是內不可逆的，且有Ihe、Ir越小，其內不可逆程度越大。

2 不可逆卡諾熱機輸出功率上界及相應的性能系數

在給定的熱機總熱導率下，其最大輸出功率可通過拉格朗日乘數法求得。不可逆卡諾熱機的最大輸出功率為：

相應的熱效率為

當Ihe=1時，該熱效率等于CA效率[7]。

3 給定輸入功率下不可逆卡諾制冷機制冷率上界及相應的性能系數

在給定制冷機的輸入功率W和制冷機總熱導率下，其最大制冷率可通過拉格朗日乘數法求得。不可逆卡諾制冷機的最大制冷率為

相應的性能系數為

4 不可逆三熱源制冷機制冷率上界及相應的性能系數

當熱機在最大輸出功率的條件下驅動制冷機時，不可逆三熱源制冷機可獲得其最大制冷率。在給定的不可逆三熱源制冷機總熱導率下，其最大制冷率可通過拉格朗日乘數法求得。不可逆三熱源制冷機的最大制冷率為

相應的性能系數為

當Ihe=Ir=1時，該三熱源制冷機是內可逆的，于是，方程(14)和(15)可寫為

式中Q＊L.max為內可逆三熱源制冷機的最大制冷率；

COP＊為內可逆三熱源制冷機取得最大制冷率時相應的性能系數。

方程（14）和（15）是在綜合考慮了不可逆因子Ihe和Ir的基礎上，通過優化熱導率KH、KOH、KOL、KL后導出的，因此其形式是更為一般的。

5 結果與討論

對于一個典型的不可逆三熱源吸收式制冷機，TH=393K、TO=313K、TL=288K，Ihe=Ir=0.95，K=4kW/K，由方程和可得，它的最大制冷率QL.max=7.48kW，相應的COP=0.34。若有Ihe=Ir=1，即該吸收式制冷機是內可逆的，由方程和可得，它的最大制冷率QL.max=12.47kW，相應的COP=0.49。可見，循環的內不可逆性對該系統的最大制冷率及相應COP的影響很大。由方程（14）和（15）還可以看出，QL.max與K呈線性關系，而相應的COP與K值無關。

圖2～5給出的是QL.max及相應的COP隨Ihe或Ir的變化情況。可以看出，QL.max均隨Ihe或Ir的增加而增大。其中，QL.max與Ihe近似呈線性關系，而隨Ir增加而增大的速率先慢而后快。COP均隨Ihe或Ir的增加而提高。其中，COP隨Ihe增加而提高的速率先快而后慢，隨Ir增加而提高的速率先慢而后快。

6 結論

利用有限時間熱力學理論，建立了不可逆三熱源制冷機模型。該模型考慮了有限速率傳熱（熱阻）和工質內部耗散對系統性能的影響。通過對熱導率的優化，導出了不可逆三熱源制冷機制冷率上界及相應性能系數的一般表達式。由方程和可以看出，不可逆三熱源制冷機的制冷率上界與總熱導率呈線性關系，而其相應的性能系數與熱導率無關。在對不可逆因子Ihe和Ir的研究中發現：盡管制冷率上界及相應的性能系數均隨Ihe或Ir的增加而提高，但其變化的趨勢卻有一定的差別。

[1]陳金燦，嚴子浚.有限時間熱力學理論的特征及發展中幾個重要標志.廈門大學學報.2001,40(2):232-241.

[2]S.G ktun.Optimal performance of an irreversible refrigeratorwith three heatsources.Energy.1997,22(1):27-31.

[3]G.X.Lin and Z.J.The optimal performance of an irreversible absorption refrigerator.J.Phys.D:Appl.Phys.1997,30:2006-2011.

[4] J. C. Chen and J. A. Schouten.Optimum performance characteristics of an irreversible absorption refrigeration system.1998,39(10):999-1007.

[5]G.X.Lin and Z.J.Yan.The optimal operating temperature ofthe collector of an irreversible solar-driven refrigerator.J.Phys.D:Appl.Phys.1999,32:94-98.

[6]P.K.Bhardwaj,S.C.Kaushik and S.Jain. General performances of an irreversible vapour absorption refrigeration system using finite time thermodynamic approach. International Journal of Thermal Sciences,2005,44:189-196.

[7]F.L.Curzon and B.Ahlborn.Efficiency of a Canot engine at maximum power output.Amer.J.Phys.1975,43(1):22-24.