機械結(jié)構(gòu)實驗?zāi)B(tài)分析及典型應(yīng)用

黃 捷，季 忠，段虎明，秦樹人

（重慶大學(xué)機械工程學(xué)院測試中心，重慶 400030）

1 引 言

模態(tài)分析是研究結(jié)構(gòu)動力特性的一種近代方法，是系統(tǒng)辨別方法在工程振動領(lǐng)域中的重要應(yīng)用。模態(tài)是機械結(jié)構(gòu)的固有振動特性，每一個模態(tài)具有特定的固有頻率、阻尼比和模態(tài)振型。這些模態(tài)參數(shù)可以由計算或試驗分析取得，這個分析過程稱為模態(tài)分析。如果通過模態(tài)分析方法搞清楚了結(jié)構(gòu)物在某一易受影響的頻率范圍內(nèi)各階主要模態(tài)的特性，就可能預(yù)言結(jié)構(gòu)在此頻段內(nèi)在外部或內(nèi)部各種振源作用下實際振動響應(yīng)。因此，模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)動態(tài)設(shè)計及設(shè)備的故障診斷的重要方法[1-5]。

2 模態(tài)分析的基本原理

工程實際中的振動系統(tǒng)都是連續(xù)彈性體，理論上它們都屬于無限多自由度的系統(tǒng)，需要用連續(xù)模型才能加以描述。但實際上通常采用簡化的方法把系統(tǒng)歸結(jié)為有限個自由度的模型來進行分析，即將系統(tǒng)抽象為由一些集中質(zhì)塊和彈性元件組成的模型。如果簡化的系統(tǒng)模型中有n個集中質(zhì)量，一般它便是一個n自由度的系統(tǒng)，需要n個獨立坐標(biāo)來描述它們的運動，系統(tǒng)的運動方程是n個二階互相耦合（聯(lián)立）的常微分方程[6]。

一個結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性可由N階矩陣微分方程描述[2]：

式中：f（t）——N維激振力向量；

M、C、K——結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣，通常為實對稱N階矩陣。

設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，對方程式（1）兩邊進行拉普拉斯變換，可以得到以復(fù)數(shù)s為變量的矩陣代數(shù)方程：

式中 Z（s）=［M s2+Cs+K ］，反映了系統(tǒng)的動態(tài)特性，稱為系統(tǒng)動態(tài)矩陣或廣義阻抗矩陣。其逆陣:

稱為廣義導(dǎo)納矩陣，也就是傳遞函數(shù)矩陣。由式（2）可知：

在該式中令s=jw，即可得到系統(tǒng)在頻域中輸出（響應(yīng)向量 X（ω））和輸入（激振向量 F（ω））的關(guān)系式：

式中H（ω）為頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣。H（ω）矩陣中第i行第j列的元素：

等于僅在j坐標(biāo)激振（其余坐標(biāo)激振力為零）時，i坐標(biāo)響應(yīng)與激振力之比。

在式（3）中令s=jw，可得傳遞函數(shù)矩陣：

利用實對稱矩陣的加權(quán)正交性，進行一系列公式推導(dǎo)，得到：

sr=σr+jνr——第r階極點，上標(biāo)星號表示復(fù)共軛。

sr與 ωr、ξr的關(guān)系為：

mr、kr、cr——第r階模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼；

φri——第r階模態(tài)振型。

相應(yīng)地，將上式的頻響函數(shù)做Fourier反變換可以得到時域的脈沖響應(yīng)函數(shù)表達式為：

頻響函數(shù)矩陣還可以寫成多種表達形式，分別表示幅相頻關(guān)系、實虛頻關(guān)系和矢量圖形式，依據(jù)這些表達形式可繪制出相應(yīng)的特性曲線。這些曲線為實驗?zāi)B(tài)參數(shù)的識別提供依據(jù)。

實驗?zāi)B(tài)分析或模態(tài)參數(shù)識別的任務(wù)就是由一定頻段內(nèi)的實測頻率響應(yīng)函數(shù)數(shù)據(jù)，確定系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)——固有頻率ωr、模態(tài)阻尼比ξr和振型φr=（φr1，φr2，L，φrN）T，r=1，2，L，N（這里可以認(rèn)為 N 是系統(tǒng)在測試頻段內(nèi)的模態(tài)數(shù)）[7]。

3 簡支梁實驗?zāi)B(tài)分析

3.1 簡支梁的結(jié)構(gòu)及實驗裝置

如圖1（a）所示為簡支梁實驗裝置圖，在圖中實驗臺上正中間是一根簡支梁，現(xiàn)在對其進行模態(tài)實驗。該簡支梁長（x向）600 mm，寬（y向）50 mm，高（z向）8mm。由于簡支梁在y、z方向尺寸和x方向（尺寸）相差較大，故可以簡化為桿件結(jié)構(gòu)。圖1（b）中QLV-MA2型模態(tài)分析儀是重慶大學(xué)測試中心自主研發(fā)的一體化虛擬式模態(tài)分析儀。

圖1

3.2 簡支梁測點的布置

實驗中在x方向把梁等分成16等份，即可以布17個測點。選取拾振點時要盡量避免拾振點在模態(tài)振型的節(jié)點上，該實驗取拾振點為第6個敲擊點處，網(wǎng)格劃分圖如圖2所示。根據(jù)簡支梁的結(jié)構(gòu)，在x方向順序布置若干敲擊點，并采用多點敲擊、單點定點響應(yīng)方法，在z方向使用力錘進行錘擊實驗。

圖2 簡支梁測點布置圖

3.3 簡支梁頻響函數(shù)的求取

試驗?zāi)B(tài)分析主要分析結(jié)構(gòu)的振動，簡單而言，就是在結(jié)構(gòu)上安裝傳感器，通過對結(jié)構(gòu)進行激振試驗測定激勵和響應(yīng)信號，分別為f（t）和x（t），經(jīng)FFT變換后得到頻域信號F（ω）和X（ω），由此可以得到結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)，如式（11）所示：

使用QLV-MA2型模態(tài)分析儀及圖所示的實驗裝置采集各測點各方向的激勵和響應(yīng)信號。如圖3（a）所示簡支梁上激勵點編號為3，激勵方向為Z方向的時域曲線圖形（上面為沖激信號，下面為響應(yīng)信號）；圖3（b）所示為該點該方向?qū)?yīng)的頻域曲線圖形。當(dāng)采集完當(dāng)前測點當(dāng)前方向的數(shù)據(jù)之后，根據(jù)公式（11）即可計算出該測點該方向的頻響函數(shù)。如圖3（c）所示為該點該方向的頻響函數(shù)曲線，圖3（d）所示為該測點該方向?qū)?yīng)的相干函數(shù)曲線。

3.4 簡支梁模態(tài)參數(shù)的識別

求得各測點各方向的頻響函數(shù)之后，就根據(jù)這些頻響函數(shù)數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)——固有頻率ωr、模態(tài)阻尼比ξr和振型φr=（φr1，φr2，L，φrN）T，r=1，2，L，N，（這里 N 可以認(rèn)為是系統(tǒng)在測試頻段內(nèi)的模態(tài)數(shù)）。

模態(tài)參數(shù)識別的方法有很多種。頻域模態(tài)參數(shù)識別法是目前各類模態(tài)試驗中使用最為廣泛的方法。頻域模態(tài)參數(shù)識別法中比較流行的是整體正交多項式曲線擬合法，可以勝任多種結(jié)構(gòu)的模態(tài)試驗的任務(wù)。主要采用正交多項式法來識別模態(tài)參數(shù)。在QLV-MA2型模態(tài)分析儀采集部分采集完所有測點所有方向的數(shù)據(jù)并且計算完各測點各方向的頻響函數(shù)之后，下步需要進行參數(shù)擬合。在頻響函數(shù)的疊譜或者均值譜的狀態(tài)下，可以通過單點或者整體按鈕來進行單點曲線擬合或者整體曲線擬合。

如圖4（a）所示為簡支梁頻響函數(shù)的幅值譜陣，圖4（b）所示為為簡支梁頻響函數(shù)的幅值疊譜（Y軸為dB坐標(biāo)模式），圖4（c）所示為簡支梁頻響函數(shù)的幅值頻譜的均值譜陣。通過圖4（b）或者圖4（c）可以明顯的看出有4階模態(tài)，選定峰值和擬合區(qū)間的疊加頻譜圖如圖 4（d）所示。

3.5 簡支梁模態(tài)輸出

在使用整體有理正交多項式方法對簡支梁進行模態(tài)參數(shù)識別之后，就可以進行模態(tài)參數(shù)輸出、模態(tài)振型的演示以及模態(tài)驗證。這部分的工作在QLV-MA2型模態(tài)分析儀的輸出部分完成。該簡支梁的前4階振型如圖5所示，模態(tài)參數(shù)識別結(jié)果參數(shù)如表1所示。

表1中QLV-MA2列表示是使用重慶大學(xué)測試中心的QLV-MA2型虛擬式模態(tài)分析儀計算的結(jié)果，DASP列表示是使用東方振動噪聲研究所的DASP模態(tài)分析軟件計算的結(jié)果，可見兩者精度上沒有什么差別，分析計算結(jié)果與理論結(jié)果不符（偏?。┑脑驊?yīng)該是加速度傳感器附加在簡支梁上面，相當(dāng)于給簡支梁增加了附加質(zhì)量，所以計算出的固有模態(tài)就應(yīng)該偏小。

圖5 簡支梁第1到4階模態(tài)振型曲線

表1 簡支梁的模態(tài)參數(shù)

4 摩托車車架實驗?zāi)B(tài)分析

4.1 摩托車車架結(jié)構(gòu)及測點布置

如圖6所示為摩托車車架結(jié)構(gòu)。該框架是一個摩托車的主干框架結(jié)構(gòu)，將其上的所有附件拆除以后，使用柔軟的彈簧懸掛，近似作為自由狀態(tài)進行模態(tài)實驗分析。

圖6 摩托車車架結(jié)構(gòu)

該車架為一個形狀較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，長約為1.2m，寬約為0.35 m，高約為0.5 m，其主干件為圓筒形鋼管。根據(jù)該摩托車車架的具體尺寸對其進行單元劃分和結(jié)點布置，根據(jù)其截面相對大小，在其上布置34個測點，以梁單元（桿單元）為主，夾雜一些三角形單元和四邊形單元。具體的單元格劃分和測試點的布置如圖7所示。考慮到數(shù)據(jù)采集量比較大，為了實驗進度，僅對Y軸（垂直方向）和Z軸（水平寬度方向）方向的部分結(jié)點進行了測量。采用定點響應(yīng)（響應(yīng)測試點為測點7的Y軸方向），力錘移步敲擊所有其他測試點的Y軸方向或者Z軸方向，進行數(shù)據(jù)采集。

4.2 摩托車車架頻響函數(shù)求取及模態(tài)參數(shù)識別

在完成所有34個測點的數(shù)據(jù)采集以后，就可以使用這些數(shù)據(jù)進行頻響函數(shù)的估計。如圖8所示為測點7方向Y的時域和頻域曲線。根據(jù)式（11）來求取所有測點和所有方向的頻響函數(shù)。

在完成頻響函數(shù)的計算之后，需要進行參數(shù)擬合。在頻響函數(shù)的疊譜或均值譜的狀態(tài)下，可通過單點或整體來進行曲線擬合。計算結(jié)果頻響函數(shù)的幅值均值譜陣如圖9（a）所示，圖9（b）為定階后的幅值均值譜曲線。

4.3 摩托車車架結(jié)構(gòu)模態(tài)輸出

根據(jù)圖9（b）進行擬合區(qū)間和峰值確定以后，應(yīng)用整體有理正交多項式模態(tài)參數(shù)識別方法，對該車架結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)進行識別。識別結(jié)果振型如圖10所示。該車架結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)實驗識別結(jié)果和計算模態(tài)參數(shù)結(jié)果如表2所示。

表2中QLV-MA2列表示使用重慶大學(xué)測試中心的虛擬式模態(tài)分析儀的測試分析結(jié)果。從各階的模態(tài)參數(shù)和各階振型可以看出，實驗數(shù)據(jù)通過QLV-MA2軟件識別結(jié)果與結(jié)構(gòu)本身的振動情況基本上是一致的，這樣的計算結(jié)果達到一般工程測量和計算的要求。

表2 車架結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)

5 結(jié)束語

通過對簡支梁和摩托車車架的實驗?zāi)B(tài)分析結(jié)果表明，模態(tài)分析方法通過QLV-MA2型一體化模態(tài)分析儀在機械結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用是有效可行的。從實驗結(jié)果的模態(tài)振型上看，QLV-MA2型一體化虛擬式模態(tài)分析儀識別的結(jié)果，與結(jié)構(gòu)本身的振動情況是一致的；與其他的商業(yè)模態(tài)軟件的結(jié)果比較，精度上沒有大的差別。從實驗結(jié)果的模態(tài)參數(shù)上看，基本與使用有限元仿真計算結(jié)果存在著比較小的誤差，但是總體上是一致的。顯然，這樣的計算結(jié)果已經(jīng)達到一般工程測量和計算的要求。

[1]曹樹謙，張文德.振動結(jié)構(gòu)模態(tài)分析——理論、實驗與應(yīng)用[M].天津：天津大學(xué)出版社，2001.

[2] 李德葆，陸秋海.實驗?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

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[4] 傅志方，華宏星.模態(tài)分析理論與應(yīng)用[M].上海：上海交通大學(xué)出版社，2000.

[5] 傅志方，華宏星.模態(tài)分析的概念和發(fā)展歷史[EB/01].http：//dengyuehua.blogchina.com/dengyuehua1973/4790467.html，2006-04-02.

[6] 張 策.機械動力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[7]段虎明.實驗?zāi)B(tài)分析的前端信號精度研究及虛擬式模態(tài)分析儀的研制[D].重慶：重慶大學(xué)，2008.