基于IMM-UKF的轉彎機動目標跟蹤

孫 宇,薛斌黨

摘 要:針對目標作轉彎機動時產生運動模式的不確定性和運動模型的非線性問題,提出基于Unscented卡爾曼濾波器的交互多模型算法。該算法采用帶有極坐標系速度的轉彎模型和二維Singer模型作為模型集,將Unscented卡爾曼濾波取帶傳統的擴展卡爾曼濾波解決轉彎模型的非線性,同時在模型交互時使用Unscented變換取代雅可比矩陣解決目標狀態轉換時的非線性。通過Monte-carlo仿真表明,與標準交互多模型方法相比,基于Unscented卡爾曼濾波器的跟蹤算法具有很好的跟蹤性能。

關鍵詞:Unscented卡爾曼濾波;交互多模型;目標跟蹤;非線性

中圖分類號:TN953文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)12-081-04

Maneuvering Target Tracking with Coordinated Turn Motion Based on IMM-UKF

SUN Yu1,XUE Bindang2

(1.School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering,Beihang University,Beijing,100083,China;

2.School of Astronautics,Beihang University,Beijing,100083,China)

Abstract: Aiming at the target motion uncertainty and dynamic model nonlinear when target has a coordinated turn maneuver,Interacting Multiple Model(IMM)algorithm based on Unscented Kalman filter is proposed.The coordinate turn model with polar velocity and the 2D Singer model are chosen as the model set,and the Unscented Kalman filter is proposed to handle nonlinear of the state model.Meanwhile,Unscented transform,instead of Jacobi Matrix is taken in model interaction to solve the linearized loss problem when the states are transformed between the different models.The result of Monte-Carlo simulation indicates that this algorithm works better than the traditional IMM.

Keywords:Unscented Kalman filter;interacting multiple models;target tracking;nonlinear

0 引 言

轉彎模型是機動目標運動模型中的重要模型之一。目前已提出了多種轉彎模型,在未知角速度的模型中通常為帶有直角坐標系速度的轉彎模型(CT)和帶有極坐標速度的轉彎模型(HT)[1]。這兩種模型均為非線性模型,一般認為后者的性能要強于前者,但是非線性程度也較高[2]。交互多模型(Interacting Multiple Mode,IMM)方法是一種有效跟蹤轉彎機動目標的方法 [3],該方法的性能在很大程度上取決于所選的模型集是否能描述不同的運動狀態。由于轉彎模型中目標的狀態為位置、速度和角速度,與其他的模型,例如Singer模型的狀態不同,所以基于IMM的轉彎機動目標跟蹤算法中,模型狀態之間必須要進行轉換,例如角速度轉換為加速度等,通常轉換函數都為非線性函數。傳統轉換方法為計算轉換函數的雅可比矩陣(ET)[4],而雅可比矩陣的計算量較大,同時精度只能達到一階的精度。針對上述問題,這里采用基于Unscented卡爾曼濾波器與IMM相結合的方法,利用Unscented變換實現單個模型的濾波以及各個模型之間的轉換。Unscented卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter,UKF)算法是一種基于Unscented變換(Unscented Transform,UT)的新型濾波算法[5]。UKF通過設計少量的σ點,由σ點經由非線性函數的傳播,計算出均值和協方差矩陣。它的計算復雜度與EKF相似,而精度可達到二階濾波器的精度。

1 IMM系統

1.1 模型

在IMM方法中,選擇兩種模型作為IMM的模型集。第一種模型是Singer模型,該模型是應用最廣的一類模型,是一種通用的模型。它的狀態分量為XTs=[xvxaxyvyay]。第二種使用的模型為HT模型,該模型的狀態向量為:

XTct=xyvhω

式中:v為速度的大小;h為速度方向;ω為角速度。離散時間狀態方程得非線性函數為:

F(X)=x+(2/ω)vsin(ωT/2)cos(h+ωT/2)

y-(2/ω)vsin(ωT/2)sin(h+ωT/2)

vh+ωTω(1)

Q=cq00000

00000

00Tσ200

000σ2T3/3σ2T2/2

000σ2T2/2Tσ2(2)

式中:σ,σ分別為加速度的大小和角加速度的方差。這個函數為非線性函數,使用EKF會帶來線性化誤差。使用UKF代替EKF,就可以得到更好的精度,在IMM計算中可以得到更好的效果。

1.2 模型交互計算

在這兩個模型進行交互計算時,要進行狀態間的轉換,需要計算狀態向量和協方差矩陣。CT模型轉換為Singer模型的轉換函數為:

Xs=x

y

=x

vcos(h)

-vwsin(h)

y

vsin(h)

vwcos(h)=f(XhT)(3)

Singer模型轉換為CT模型的轉換函數為:

XhT= x

y

v

h

ω = x

yv2x + v2y

arctan(vy/vx)

(vxay-vyax)/(v2x + v2y)]

=g(Xs)(4)

可以看到這兩個函數都為非線性函數,模型之間的轉換不僅需要計算轉換后的狀態,同時需要計算它的概率分布。在應用Unscented卡爾曼濾波時,概率分布只是需要狀態的均值和協方差矩陣。均值的計算可以直接代入式(3),式(4)得到,而協方差矩陣則需要其他的方法。傳統的計算協方差矩陣的方法為計算這兩個函數的雅可比矩陣,即計算:F=礷/礨hT和G=礸/礨s,則轉換后的協方差矩陣就是:Rs=FRhTFT;RhT=GRsGTRs,RhT分別表示Singer模型狀態和CT模型狀態的協方差矩陣。這種方法不僅運算量較大,而且精度只能達到一階的精度。

這里采用Unscented變換實現模型轉換的過程,從而避免了計算協方差矩陣,且能得到更為準確的結果。以CT模型轉換為Singer模型的過程為例:

已知CT模型狀態向量XhT的均值hT和協方差矩陣RhT:

利用Unscented變換可以計算出狀態向量XhT經過非線性函數f(XhT)之后的均值和協方差矩陣fhT,RfhT;fhT,RfhT即為轉換為Singer模型狀態向量的均值和協方差矩陣。

2 Unscented卡爾曼濾波

2.1 Unscented變換

Unscented變換的基本原理是精確的選擇較少的點來代表已知分布的高斯隨機變量。當這些點通過任意非線性函數的計算后,其描述的分布的均值和協方差矩陣仍能達到二階的精度(泰勒級數)。其具體過程為:

設非線性函數:

y=f(x)

式中:x為L維隨機變量;為x的均值;Px為x的協方差矩陣;χ為由x生成,由2L+1個列向量組成的矩陣χ。

χ0=

χi=+[(L+λ)Px]i,i=1,2,…,L

χi=-[(L+λ)Px]i,i=L+1,…,2(5)

λ=α2(L+κ)-L

式中:α通常為小量;通常κ=0,3-L;[(L+λ)Px]i為該矩陣平方根(可選擇喬雷斯基分解)的第i列。

權重:

W(m)0=λ/(L+λ);W(c)0=λ/(L+λ)+(1-α2+β)

W(m)i=W(c)i=1/2(L+λ),i=1,…,2L(6)

通過非線性過程后:

Yi=f(χi),i=0,1,…,2L(7)

臁2Li=0WmiYi(8)

Py臁2Li=0Wci(Yi-)(Yi-)T(9)

式中:為經過非線性過程后的狀態向量的均值,Py為協方差矩陣。

2.2 Unscented卡爾曼濾波器

UKF和EKF一樣,使用的是標準卡爾曼濾波器的框架,但是實現原理不同。EKF是利用泰勒級數的一階展開項線性化非線性函數,從而得到經過非線性過程后的均值和協方差矩陣。而UKF是通過Unscented變換計算通過非線性過程后的狀態向量的均值和協方差矩陣,使非線性函數適用于線性假設下的標準卡爾曼濾波體系。UKF相比于EKF,由于經過Unscented變換后得到的均值和協方差精度達到了二階,所以具有更高的精度,而其計算復雜度與EKF相當。

3 仿真分析

3.1 運動軌跡

運動軌跡的生成見參考文獻[7],初始位置及速度為:x=10 000 m;y=15 000 m;=-300 m/s;=0 m/s。

運動情況分為7個階段:

(1) 勻速直線運動至x=3 000 m(t為0~23 s);

(2) 勻速圓周運動,旋轉+3 rad,加速度為70 m/s(t為23~38 s);

(3) 勻速直線運動至x=9 000 m(t為38~60 s);

(4) 勻速圓周運動,旋轉-3 rad,加速度為70 m/s(t為60~75 s);

(5) 勻速直線運動(t為75~90 s);

(6) 勻速圓周運動,旋轉+3 rad,加速度為70 m/s(t為90~147 s);

(7) 勻速直線運動至t=147 s。

圖1 運動軌跡

3.2 觀測模型

觀測方程為:

Z=h(X)+V(10)

式中:

Z=rθ=h(X)=x2+y2

arctan(y/x)(11)

R=cov(V)=diag[σ2r,σ2θ](12)

式中:σ2r,σ2θ分別為距離和方位角的測量方差。

3.3 參數選擇

第一組參數:

HT模型:σ=5 m/s2,σ=0.04 rad,cq=1。

測量數據:σr=50 m,σθ=0.0 035 rad。

第二組參數:

HT模型:σ=5m/s2,σ=0.001rad,cq=1。

測量數據:σr=50 m,σθ=0.003 5 rad

馬爾可夫概率轉移矩陣:

Π=0.80.2

0.20.8

3.4 結果分析

Singer模型和IMM的方法如圖2所示。

圖2 Singer模型和IMM方法的位置均方根誤差

圖2和圖 3為基于第一組參數得到的位置的均方根誤差曲線。可以看出,IMM算法要比使用單一模型的算法效果好。Singer模型在轉彎運動時的性能較差,而HT模型在直線運動時性能較差,IMM算法可以結合這里兩者的優缺點,從而得到較好的效果。

圖3 HT和IMM方法位置的均方根誤差

圖4和圖 5是基于第一參數得到的位置和方位角的均方根誤差曲線。可以看出,使用UT作為狀態間轉換的方法,跟蹤精度比計算雅可比矩陣的精度高。其原因是因為UT可以達到二階濾波器的精度。

圖4 在IMM方法中使用UT和ET的轉換方法

方位角的均方根誤差

圖6為第二組參數得到的方位角的均方根誤差曲線。IMM-UKF的精度和數值穩定性要略優于IMM-EKF。IMM-UKF的效果和仿真時參數選擇有很大的關系。非線性模型的參數,觀測數據的參數,以及UT本身的一些參數都會對最后的結果產生影響。

圖5 在IMM方法中使用UT和ET的轉換方法

位置的均方根誤差

圖6 IMM-EKF和IMM-UKF的方位角均方根誤差

4 結 語

UKF方法基于UT變換,其精度和數值穩定性都要好于EKF。對于非線性系統,有廣泛的應用。對于IMM方法,UT不僅可以替代傳統的EKF,而且可以用于計算狀態間的轉換。在IMM方法中,由于在選擇模型時,并不都選擇非線性模型,應用UKF的效果沒有應用于單一非線性系統時明顯,但跟蹤精度和數值穩定性都有所提高。同時,運動模型的參數,觀測模型的參數,以及UT本身的參數選擇都沒有的到完全解決,這也正是對該算法進行進一步改進的地方。

參考文獻

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