基于GFRF的弱非線性模擬電路特征提取

張 倩,劉光斌

摘 要:介紹一種基于GFRF分析的非線性模擬電路故障診斷方法,著重闡述這種故障診斷技術中電路特征的提取方案,重點解決了激勵信號的設計,Volterra頻域核測量等關鍵技術問題。利用Volterra頻域核辨識非線性系統(tǒng),確定電路的最高顯著階,設計合適的激勵信號,用范德蒙特方法分離出電路的各階響應,利用公式計算出Volterra頻域核。

關鍵詞:非線性模擬電路;Volterra級數(shù);GFRF;Volterra頻域核測量;激勵信號設計

中圖分類號:TP273文獻標識碼:A

文章編號:1004-373X(2009)19-201-04

Feature Extraction for Nonlinear Analog Circuit Based on GFRF

ZHANG Qian,LIU Guangbin

(The Second Artillery Engineering College,Xi′an,710025,China)

Abstract:A fault diagnosis method for nonlinear analog circuit based on Generalized Frequency Response Function(GFRF) analysis is introduced.Especially,the project of feature extraction in circuit is expounded.The key technology such as designing the stimulus and Volterra frequency-domain kernels measurement are solved in this project.A nonlinear system is identified by applying Volterra frequency-domain kernel estimation.The highest significant order of nonlinear analog circuit is determined and the stimulus is designed.The response of each order is separated by the method of Vandermonele and the Volterra frequency-domain kernels is figured out by the formula.

Keywords:nonlinear analog circuit;Volterra series;GFRF;Volerra frequency-domain kernels measurement;design of stimulus

0 引 言

隨著電子技術的飛速發(fā)展,非線性模擬電路在工程上廣泛應用。但是,由于其自身的復雜性,使得電路的故障特征提取異常困難。選擇恰當?shù)碾娐纺Ｐ筒⒊浞痔崛》蔷€性電路特征是故障診斷的關鍵環(huán)節(jié)。由于非線性系統(tǒng)的Volterra1級數(shù)是系統(tǒng)的本質特征,Volterra核,特別是頻域核具有鮮明的物理意義,且可進行工程上的頻域分析,這對工程技術領域非常切合實際。它不僅提供了一種新的理論體系,而且為真正解決非線性實際問題提供了強有力的方法和工具[1]。在非線性電路故障診斷中,由于故障狀態(tài)是系統(tǒng)傳遞特性出現(xiàn)非線性變化,故障的表現(xiàn)形式往往較復雜,從而限制了傳統(tǒng)故障診斷方法的應用,然而基于頻譜分析的故障診斷技術突破各種局限成為一種更有效的診斷方法。比較系統(tǒng)實際工作下的非線性頻譜和處于正常狀態(tài)及各種異常狀態(tài)的標準頻譜特征,根據(jù)誤差大小判定非線性系統(tǒng)當前所處的狀態(tài)。在非線性系統(tǒng)的頻譜分析中,利用廣義頻率響應函數(shù)(Generalized Frequency Response Function,GFRF)可直觀地研究非線性系統(tǒng)的次諧波振蕩、增益壓縮和擴張、頻率調制等特性。Volterra級數(shù)的頻域核對應系統(tǒng)的廣義頻率響應函數(shù),因而將系統(tǒng)惟一的Volterra頻域核作為系統(tǒng)特征進行故障診斷是一個合理的思路。基于非線性系統(tǒng)GFRF分析的故障診斷是Volterra級數(shù)模型在故障診斷領域中的具體應用[2]。

1 非線性系統(tǒng)的Volterra1級數(shù)模型

對任意連續(xù)的時不變非線性動態(tài)系統(tǒng),若輸入輸出響應式解析函數(shù),在零初始條件下,如果系統(tǒng)所采用的輸入信號都滿足下式:

∫∞-∞u(t)dt<∞

即:u(t)是能量有限的信號。

則該系統(tǒng)也可以用如下廣義卷積積分或Volterra1級數(shù)完全描述:

y(t)=Nu(t)=∑∞n=0yn(t)

其中:

yn(t)=∫∞-∞∫∞-∞…∫∞-∞hn(τ1,τ2,…,τn)u(t-τ1)?

u(t-τ2)…u(t-τn)dτ1dτ2…dτn

(1)

yn(t)成為系統(tǒng)的n階輸出響應。hn(τ1,τ2,…,τn)稱為非線性系統(tǒng)的n階Volterra1時域核,或稱廣義脈沖響應函數(shù)。

hn(τ1,τ2,…,τn)的多維傅里葉變換為:

Hn(ω1,ω2,…,ωn)=∫∞-∞∫∞-∞…∫∞-∞hn(τ1,τ2,…,τn)?

e-(jω1τ1+jω2τ2+…+jωnτn)dτ1dτ2…dτn

稱為非線性系統(tǒng)的n階頻域核,或稱為n階廣義頻率響應函數(shù),也稱n階傳遞函數(shù)。

如果用Volterra1級數(shù)描述的系統(tǒng)滿足下列條件:

(1)an=∫∞0∫∞0…∫∞0hn(τ1,τ2,…,τn)dτ1dτ2…dτn<∞;

(2) hn(τ1,τ2,…,τn)=0,(當笑觟<0時,i=1,2,…,n);

(3) limτ→∞hn(τ1,τ2,…,τn)=0,i=1,2,…,n。

則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的,且是物理可實現(xiàn)的。以上條件對于常見的連續(xù)非線性模擬電路是滿足的,因此可以用Volterra1級數(shù)作為研究非線性模擬電路的一個理論工具。

2 Volterra級數(shù)的最高顯著階

在計算Volterra核之前,需要先確定Volterra級數(shù)的最高顯著階,即不能被忽略的階。如果在計算的時候對階數(shù)定的過高,會增大計算量;如果階數(shù)定的過低,會增大計算的誤差,使模擬出來的系統(tǒng)不能正確描述非線性模擬電路。因此,在計算各階頻域核之前,必須確定電路的Volterra級數(shù)的最高顯著階。

文獻[3]中證明了如下定理:

定理 有n個時間信號u1(t),u2(t),…,un(t),則系統(tǒng)對ui(t)(i∈{1,2,…,n})的所有可能組合的m階響應ym(t),有如下性質:

∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]=

0,0

(-1)nn!Nm(u1,u2,…,un), m=n

如果令:

εn(t)=∑∞m=0∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]

=∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δi{∑∞m=0ym[∑ni=1δiui(t)]}

(2)

則由定理可知:

εn(t)=(-1)nn!Nm(u1,u2,…,un)+

∑∞m=n+1∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]

因此可以得到如下結論:

對于n個時間信號u1(t),u2(t),…,un(t),可以得到如下表達式:

εn(t)=∑∞m=0∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]=

(-1)nn!Nm(u1,u2,…,un)+HOT

式中:HOT=∑∞m=0∑δi=[0,1](-1)∑ni=1δiym[∑ni=1δiui(t)]。

HOT表示更高階核的貢獻,εn(t)只與n階和更高階的系統(tǒng)Volterra核有關。

如果一個系統(tǒng)只有(n-1)階或低于(n-1)階Volterra級數(shù),則εn(t)就會小于允許的系統(tǒng)模型截尾誤差。

用n個時域信號u1(t),u2(t),…,un(t)的所有可能組合作為探測信號探測系統(tǒng)的階數(shù)。根據(jù)式(2)計算εn(t),如果εn(t)的值使系統(tǒng)逼近誤差在允許范圍之內,則系統(tǒng)的最高顯著階為(n-1);如果εn(t)值較大,則添加一個時間信號un+1(t),繼續(xù)探索,直到εn(t)的值小到允許的范圍之內,所得到的時間信號個數(shù)為系統(tǒng)的顯著階加1。

在使用這種方法時,如果n很大,那么計算量也會很大。這時如果選擇的時間信號滿足如下條件:

ui(t)=-ui-1(t),i=2,4,6,…

則因為有輸入信號對的相互抵消,ui的某些組合將產生相同的信號,這樣便可以減少計算量。

3 Volterra頻域核的測量

如果已知非線性系統(tǒng)的非線性微分方程描述形式,可以通過諧波分析法等方法求解GFRF。但是,非線性模擬電路很難用數(shù)學模型描述。文獻[4,5]在時域利用最小二乘法求Volterra時域核。但是,Volterra級數(shù)長度隨模型的記憶長度和階數(shù)的增長呈指數(shù)增加,導致了維災難。而且,時域響應是一種暫態(tài)過程,不容易準確地進行測量。文獻[6]在一些合理的假設條件下,提出一種計算前三階GFRF簡化模型辨識算法。但是,這種算法具體應用工程實踐中時,也存在不足,如:多音正弦組合激勵信號的選取是通過試探的方法來確定的,一般不是最優(yōu)激勵信號,不能完全激勵起系統(tǒng)的所有模態(tài);直接方程組得到的辨識結果精度不夠高,對輸入輸出數(shù)據(jù)有較高的依賴性等。

文獻[7]給出了當非線性系統(tǒng)的輸入激勵信號為K音信號u(t)=∑kk=12a(k)cos[ωkt+θ(k)]=∑Kk=-K k≠0Akejωkt,且ωM=∑Kk=-K k≠0mkωk只對應一種從(ω-K,…,ω-2,ω-1,ω1,ω2,…,ωK)一次取n個(允許一個頻率反復出現(xiàn))的可能組合時的n階Volterra頻域核公式:

Hn(ωk1,ωk2,…,ωkn)=(2π)n-1Yn(∑ni=1ωki)U(ωk1)U(ωk2)…U(ωkn)

=Yn(∑ni=1ωki)2πAk1Ak2…Akn

對于輸出信號進行頻譜分析只能知道響應中的某個頻率的振幅和相位,并不知道其中屬于各階的分量為多少,這樣就無法確定各階頻域核的值,因此要測量計算非線性系統(tǒng)的高階頻域核,首先需要解決的問題是必須把系統(tǒng)響應中各階Volterra核的貢獻分開。

利用Volterra響應的齊次性可以達到分離各階核的目的[8],通常使用范德蒙特方法進行求解[9]。

文獻[10]以三階響應為例介紹多音信號的頻率設計方法:

假設輸入系統(tǒng)的激勵信號形式為:

u(t)=u1(t)+u2(t)+u3(t)

此處的u1(t),u2(t)和u3(t)為多音信號,其頻率分別為{Pω0,2Pω0,…,mPω0},{Qω0,2Qω0,…,mQω0}和{Rω0,2Rω0,…,mRω0},P

由式(1)可知,系統(tǒng)的三階響應為:

y3(t)=韍3(τ1,τ2,τ3)u(t1-τ1)u(t2-τ2)?

u(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3

=∑3i=1韍3(τ1,τ2,τ3)ui(t1-τ1)?

ui(t2-τ2)ui(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3+

∑1≤i,j≤3i≠j韍3(τ1,τ2,τ3)ui(t1-τ1)ui(t2-τ2)?

ui(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3+6韍3(τ1,τ2,τ3)?

u1(t1-τ1)u2(t2-τ2)u3(t3-τ3)dτ1dτ2dτ3

式中第二個等號右邊第一項所含頻率為±P,±2P,…,±3mP,±Q,±2Q,…,±3mQ,±R,±2R,…,±3mR。第二項所含頻率為±m(xù)1K±m(xù)2L,其中m1=±1,±2,…,±m(xù);m2=0,±1,±2,…,±2m;K,L=P,Q或R,但是K≠L。第三項所含頻率為n1P+n2Q+n3R,其中n1=±1,±2,…,±m(xù);n2=±1,±2,…,±m(xù);n3=±1,±2,…,±m(xù)。如果上述三項的輸出頻率沒有相同成分,可以用公式直接計算Volterra頻域核,這里的目標是尋找一種P,Q和R的值,使上述三項輸出頻率互不相同,即要求P,Q和R滿足如下條件:

n1P+n2Q+n3R=n1′P+

n2′Q+

n3′R,當且僅當n1=

n1′,

n2=n2′,

n3=n3′。

n1P+n2Q+n3R≠m1K+m2L

n1P+n2Q+n3R≠m3K

式中:K,L=P,Q或R,但是K≠L,n1,n2,n3,m1∈{±1,±2,…,±m(xù)},m2∈{0,±1,±2,…,±2m},m3∈{0,±1,±2,…,±3m},則系統(tǒng)的三階輸出的每個頻率成分只對應一種輸入激勵的頻率組合。

對于任意的P≥1,如果Q和R滿足Q=(3m+1)P,R=(3m+1)Q,則P,Q和R滿足上述要求。

對于其他階輸入激勵諧波頻率的確定,也可以照此法進行。

由對非線性模擬電路頻率響應的性質分析可知,電路的n階輸出Yn(ω)中一切頻率都可以在(n+2)階輸出Yn+2(ω)中找到,而由1階至n階核的全部輸出頻率都可以在(n-1)階和n階核的輸出中找到。因此測量n階核的激勵信號也可以用于測量(n-2)階核。在設計各階激勵信號的時候,只需要設計系統(tǒng)的最高階和次高階激勵信號頻率即可。

因為Volterra頻域核Hn(ω1,ω2,…,ωn)有對稱性和共軛對稱性。由對稱核Hn(ωi1,ωi2,…,ωin)引起的系統(tǒng)輸出頻域都是相等的,因此實際測量的時候,只需測量對稱化核即可。由共軛核引起的系統(tǒng)輸出頻域為相等的正負頻域對,因此實際測量的時候,只需測量系統(tǒng)頻率響應正頻率成分對應的Volterra頻域核。

4 仿真實驗

下面通過一個簡單的電路(見圖1)來驗證該電路特征提取方法的正確性。

用PSpice仿真電路,電容兩端電壓作為電路輸出。其中R2:i=0.001(u+5u2+5u3)。

圖1 仿真電路圖

根據(jù)本文的方法可確定該電路用一個三階Volterra級數(shù)逼近,確定的激勵信號形式為u1(t)=A[cos(6 000πt+0.1)+cos(14 000πt+0.2)+cos(30 000πt+0.3)],當A分別等于1,-1,0618,0382,05時,激勵電路、測量電路響應,然后按照公式計算Volterra頻域核。

根據(jù)計算出的頻域核,利用公式計算u(t)分別為ua=1.2[cos(6 000πt)+cos(14 000πt)];

ub=0618[cos(6 000πt)+cos(14 000πt)+cos(30 000πt)]時的系統(tǒng)頻域響應。

將仿真和用上述方法計算所得的系統(tǒng)頻率響應曲線做比較,如圖2,圖3所示。

通過圖示可以看出,本文所述方法的建模精度較高。

圖2 ua產生的系統(tǒng)頻率響應

圖3 ub產生的系統(tǒng)頻率響應

5 結 語

非線性系統(tǒng)的多樣性、復雜性無疑為故障診斷增加了難度,但是隨著控制理論、信號處理、計算機技術和人工智能等學科的發(fā)展,為非線性系統(tǒng)故障診斷技術提供了豐富的理論基礎和先進手段。基于Volterra級數(shù)和GFRF在非線性領域內的應用研究就是控制理論內較為前沿的內容。嚴格地說,絕大部分系統(tǒng)都是非線性的,而對于非線性的、系統(tǒng)的近似線性化處理都不是從本征上對系統(tǒng)進行研究的。因此,研究基于GFRF分析在故障診斷技術中的應用在工程實踐中具有十分重要的意義。

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