關(guān)于理想點多屬性決策方法中權(quán)值的確定

肖小英

（江西理工大學(xué) 南昌校區(qū)，南昌 330013）

1 理想點評定法及權(quán)值的確定

理想點評定法（TOPSIS法），又稱“逼近于理想解的排序方法”[1]，是多目標(biāo)有限方案決策分析的一種常用決策方法，具有計算簡便、結(jié)果合理、應(yīng)用廣泛等特點。它借助于多目標(biāo)決策問題的“正理想點”和“負(fù)理想點”，正理想點是一假設(shè)的最好方案，它的各屬性值都達(dá)到各候選方案中最好的值，負(fù)理想點是另一假設(shè)的最壞方案，它的各屬性值都達(dá)到各候選方案中最差的值。通過計算某一方案與最好方案和最壞方案間的加權(quán)歐式距離，得出該方案與最好方案的接近程度，以此作為評價該方案優(yōu)劣的依據(jù)[1]，從而實現(xiàn)對方案進(jìn)行排序的一種決策方法。

理想點評定法中各屬性指標(biāo)權(quán)重的確定通常有二類方法，一是主觀法，主觀法是由決策分析者根據(jù)以往經(jīng)驗和屬性的重要程度而賦權(quán)的方法，主要有：專家調(diào)查法[1]、最小二乘法[1]環(huán)比評分法[2]、層次分析法[3]等；客觀法是指單純利用屬性的客觀信息而確定權(quán)重的方法，主要有信息熵法[4]、線性規(guī)劃法[5]等。主觀法所確定的屬性權(quán)重體現(xiàn)了決策者的意向，但決策或評價結(jié)果具有較大的主觀隨意性，由此會帶來決策方案選擇上的偏差和失誤。客觀法所確定的屬性權(quán)重具有較強的數(shù)學(xué)理論依據(jù)，例如，為了減少權(quán)值確定當(dāng)中的主觀性和隨意性，東南大學(xué)的徐澤水先生提出了基于優(yōu)化模型的理想點評定法[6-7]。其主要思路如下：

（1）首先在規(guī)范化決策矩陣中，設(shè)定正理想點為Z+[1，1，…，1]，負(fù)理想點為 Z-=[0，0，…，0]，待確定的屬性指標(biāo)權(quán)重為W=（w1,w2,…，wm）。

（2）由于決策方案ai越接近正理想點越優(yōu)，可令方案ai與正理想點之間的加權(quán)偏差為

（其中 Y=|yij|nm，i=1，2，…，m 為規(guī)范化數(shù)據(jù)矩陣）。

（3）對于確定的權(quán)重向量 W=(w1,w2,…，wm)，ei+(w)越小方案ai越優(yōu)，于是可建立多目標(biāo)決策模型：

由于每個方案都是公平競爭，不存在任何偏好關(guān)系，則可將上述模型等權(quán)集結(jié)為如下的單目標(biāo)模型：

解此單目標(biāo)規(guī)劃模型，就可以得到權(quán)重向量W=(w1,w2,…，wm)。

在上述方法中，雖然權(quán)重的確定剔除了任何人為因素的影響，但是也帶來了其他的問題：一是上述單目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)解的存在性問題？二是假如其存在最優(yōu)解，得到了最優(yōu)權(quán)重向量W=(w1,w2,…，wm)，但這卻是為使得每一方案與正理想點的加權(quán)偏差最小的屬性指標(biāo)權(quán)重，而不是屬性指標(biāo)按重要性比較的真正權(quán)重，這樣的權(quán)重會隨著樣本數(shù)據(jù)的變化而變化。

例如，評價某一地區(qū)企業(yè)的創(chuàng)新能力問題。假如設(shè)定的屬性指標(biāo)為：R&D經(jīng)費投入占銷售收入的比重（X1）、科技人員占從業(yè)人員比重（X2）、技術(shù)裝備水平（X3）、新產(chǎn)品銷售收入占產(chǎn)品銷售收入的比重（X4）、新產(chǎn)品銷售利潤占利潤總額的比重（X5）、擁有發(fā)明專利數(shù)（X6）、技術(shù)性收入占銷售收入的比重（X7）。對于評價5個企業(yè)和7個企業(yè)的樣本決策矩陣數(shù)據(jù)（如表1和表2所示）。

將這兩個決策矩陣進(jìn)行向量規(guī)范化后，代入模型（1），所得到的最優(yōu)權(quán)重向量分別為：

因此，對于評價企業(yè)的創(chuàng)新能力這個主題，在這兩個問題中的屬性指標(biāo)完全一樣，并且前5個企業(yè)的數(shù)據(jù)完全一致，但是屬性指標(biāo)在這兩個問題中卻表現(xiàn)出了不同的重要性權(quán)重，這是不合情理的。

2 基于主成分的屬性指標(biāo)權(quán)重確定

為了減少屬性指標(biāo)權(quán)重確定中的主觀性隨意性，以及指標(biāo)權(quán)重隨樣本數(shù)據(jù)變化而變化的缺點，真正體現(xiàn)權(quán)重表示指標(biāo)的重要性之比，本文認(rèn)為以下的基于主成分分析的權(quán)重確定方法具有更好的適用性。

主成分分析[9]是設(shè)法將原來眾多具有一定相關(guān)性的m個指標(biāo)Xj，重新組合成一組新的相互無關(guān)的p(p≤m)個綜合指標(biāo)Fk（稱為主成分）來代替原來的指標(biāo)，并且用每一主成分的方差Var(Fk)來表示該主成分綜合原來指標(biāo)信息的多少。如果方差Var(Fk)越大，說明第k主成分Fk包含原來指標(biāo)的信息越多。這也就說明在所有的主成分中，F(xiàn)k的作用越大。因此，我們可以用某一主成分的方差Var(Fk)在所有主成分方差中所占的比例來表示該主成分的權(quán)重。本文將基于主成分的屬性指標(biāo)權(quán)重確定方法敘述如下：

（1）將樣本決策矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理

設(shè)樣本決策矩陣為：X=|xij|n×m，

為了消除不同指標(biāo)間的量綱影響和正、逆指標(biāo)的影響，將樣本數(shù)據(jù)按下式標(biāo)準(zhǔn)化，得標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣為Y=(yij)，yij=

（2）計算相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值與特征向量

用標(biāo)準(zhǔn)化后的矩陣的m個向量作線性組合

則F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m就為m個主成分。我們希望在這些主成分中，越在前面的包含原有指標(biāo)的信息越多，而包含信息的多少一般用方差來表示，所以主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m需要滿足以下條件：

①Fi與 Fj（i≠j,i,j=1,2,…，m）不相關(guān)；

②F1是X1，X2，…，Xm的一切線性組合中方差中最大的，F(xiàn)2是與F1不相關(guān)的X1，X2，…，Xm的一切線性組合中方差中最大的，……，F(xiàn)m是與 F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m-1都不相關(guān)的 X1，X2，…，Xm的一切線性組合中方差中最大的。

可以證明，滿足上述條件的主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m線性組合中的系數(shù)向量(a1i,a2i,…，ami)，i=1,2，…，m 恰好是 Y 的協(xié)方差矩陣Σ的特征值對應(yīng)的特征向量。當(dāng)協(xié)方差矩陣Σ未知時，可用其估計值S（樣本協(xié)方差矩陣）來代替。

S=(sij) 其中

而相關(guān)系數(shù)矩陣：R=(rij) 其中

由于 Y1，Y2，…，Ym已標(biāo)準(zhǔn)化，所以有

計算時為簡單起見，不妨取R=YTY，因為這時的R與YTY只相差一個系數(shù)，顯然YTY與的特征根相差n倍，但它們的特征向量不變，并不影響求主成分。

由特征方程|λE-R|=0可求得相關(guān)系數(shù)矩陣R的m個特征值為 λ1,λ2,…，λm，將其按大小順序排列 λ1≥λ2≥…≥λm≥0，然后再由(λiE-R)X=0求出對應(yīng)于每一特征值λi的特征向量(a1i,a2i,…，ami)，i=1,2,…，m。

設(shè)相關(guān)系數(shù)矩陣 R 的 m 個特征值為 λ1，λ2，…，λm，稱第一主成分的貢獻(xiàn)率為λ1它是第一主成分的方差在全部方差中的比值，這個比值越大，表明第一主成分綜合原指標(biāo)X1，X2，…，Xm信息的能力越強。前兩個主成分的累計貢獻(xiàn)率為，前k個主成分的累計貢獻(xiàn)率為如果前p個主成分的累計貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上，表明取前p(p≤m)個主成分基本包含了全部測評指標(biāo)所具有的信息，這樣既減少了變量的個數(shù)，又便于對實際問題進(jìn)行分析和研究。

（3）提取p個主成分的權(quán)重系數(shù)

將累計貢獻(xiàn)率達(dá)到85%以上的p個主成分F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)p作為理想點評定法中的屬性指標(biāo)，并將矩陣 Z=F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)p」n×p作為理想點評定法中的規(guī)范化矩陣，F(xiàn)1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)p的權(quán)重為即為各主成分的方差貢獻(xiàn)率。

3 實例驗證

仍以表1和表2中的數(shù)據(jù)為例，用基于主成分的權(quán)重確定方法計算結(jié)果如下：

（1）對于表1中5個企業(yè)的數(shù)據(jù)，獲得4個主成分及權(quán)重如下表3。

（2）對于表2中7個企業(yè)的數(shù)據(jù)，獲得6個主成分及權(quán)重如下表4。

表1 5個企業(yè)的創(chuàng)新能力指標(biāo)樣本值

表2 7個企業(yè)的創(chuàng)新能力指標(biāo)樣本值

表3 5個企業(yè)的主成分及權(quán)重

表4 7個企業(yè)的主成分及權(quán)重

表5 5個企業(yè)的綜合排序情況

表6 7個企業(yè)的綜合排序情況

4 結(jié)論

本文將決策問題中的m個屬性指標(biāo)X1，X2，…，Xm通過選擇適當(dāng)?shù)木€性組合，將其綜合成互不相關(guān)的p個新的主成分指標(biāo)來反映原指標(biāo)的信息，并通過計算主成分的方差貢獻(xiàn)率，得到了主成分指標(biāo)的權(quán)重，從而獲得了理想點評定法中的屬性指標(biāo)的權(quán)重。這種方法完全基于樣本數(shù)據(jù)信息，在指標(biāo)權(quán)重選擇上克服了主觀因素的影響，避免了人為因素帶來的偏差，有助于保證客觀地反映樣本間的現(xiàn)實關(guān)系。并且對于綜合樣本信息多的指標(biāo)賦予了較大的權(quán)重，對于綜合樣本信息少的指標(biāo)賦予了較小的權(quán)重，這也符合了指標(biāo)權(quán)重表示指標(biāo)重要性的基本含義。

雖然從表3和表4看到的是，5個企業(yè)和7企業(yè)獲得的主成分個數(shù)不一樣，得到的權(quán)重也不一樣。這是因為不同主成分所包含的原樣本信息不一樣，包含信息多的，權(quán)重取值相對大一些，包含信息少的，權(quán)重取值相對小一些。而利用這些主成分和權(quán)重計算的企業(yè)排序卻具有相對的穩(wěn)定性，如下表5和表6所示。

[1]岳超源.決策理論與方法[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

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