多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型及其參數(shù)異質(zhì)性研究

程海森 ，石 磊

（1.云南財經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，昆明 650221；2.大同大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，山西 大同 037009）

在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，多水平模型的應(yīng)用研究并不多，在國內(nèi)文獻(xiàn)中，目前未見多水平模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題的研究。在此問題研究中，國家、省、地區(qū)、縣和鄉(xiāng)的眾多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)就存在著明顯的層次結(jié)構(gòu)，即可視為多水平數(shù)據(jù)。在利用生產(chǎn)函數(shù)研究經(jīng)濟(jì)問題中，許多研究目前都基于傳統(tǒng)的OLS理論進(jìn)行分析，而且大多情況下，模型估計效果并不是很好。因此本文擬將多水平模型引入C-D生產(chǎn)函數(shù)，通過實證分析建立多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)，并研究多水平模型的模型擬合效果、異方差特征和參數(shù)異質(zhì)性問題。

1 變量指標(biāo)介紹

本文在研究中涉及的變量或指標(biāo)如下：

（1）實際 GDP-Y（1978年為基期）。GDP分為名義 GDP與實際GDP兩種，通常在統(tǒng)計年鑒中得到的是名義GDP，它是用現(xiàn)期價格衡量的物品與勞務(wù)的價值，而實際GDP是用不變價衡量的物品與勞務(wù)的價值。它們之間相差一個通貨膨脹的因素。因此，本文用實際GDP來粗略刻畫收入。實際GDP可以由以下計算方法。

由以上兩試可聯(lián)立解出實際GDP。由于搜集資料不同，本文采用的是第二種實際GDP計算方法 （與其他作者用第一種方法估計出的結(jié)果完全一致）。Yit表示第i個地區(qū)第t時間的實際GDP。

（2）勞動力—L。本文采用1997～2007年間，各省就業(yè)人員數(shù)進(jìn)行估算。Lit表示第i個地區(qū)第t時間的從業(yè)人數(shù)。

（3）資本存量—K（1978年為基期）。資本本身是一個寬泛的概念，廣義的資本可以包括物質(zhì)資本、人力資本和土地。雖然少數(shù)研究考慮或討論了土地和人力資本，但是大部分研究在估計資本存量時，僅指嚴(yán)格意義上的物質(zhì)資本，本文也將遵循這一傳統(tǒng)。目前已被普遍采用的測算資本存量的方法是戈登史密斯（Goldsmith）在1951年開創(chuàng)的永續(xù)盤存法。所以本文中所采用的是在估計一個基準(zhǔn)年后運(yùn)用永續(xù)盤存法按不變價格計算各省區(qū)市的資本存量。資本存量的估算公式為：Kit=Kit-1(1-δit)+Iit， 其中 i指第 i個省市，t指第 t年。上式一共涉及到四個變量：①當(dāng)年投資I的選取；②投資品價格指數(shù)的構(gòu)造，以折算到不變價格；③經(jīng)濟(jì)折舊率的確定；④基年資本存量K的確定。本文根據(jù)用資本形成表示投資流量I，將經(jīng)濟(jì)折舊率設(shè)為10%，從而對資本存量進(jìn)行估算（與其他作者估算結(jié)果一致，且將數(shù)據(jù)推算至2007年）。Kit表示第i個地區(qū)第t時間的資本存量。

（4）對外開放度-DWKF。對外開放是一個從沿海地區(qū)向內(nèi)陸擴(kuò)展的過程，我國的對外開放，就是為本土經(jīng)濟(jì)的市場化引入外部動力。指標(biāo)的具體測算方法如下：人們習(xí)慣上用出口依賴度(出口額/GDP)來反映經(jīng)濟(jì)外向型的程度，很顯然，出口并不是對外開放的唯一內(nèi)容。所以本文采用包括國際貿(mào)易、利用外資（包括港、澳、臺）兩方面內(nèi)容的對外開放指數(shù)(即這幾方面指標(biāo)占GDP比重的加權(quán)平均數(shù))來表示對外開放的程度，其公式如下:

DWKFi表示第i個地區(qū)對外開放程度。在分析改革開放以來制度對經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)研究中，對外開發(fā)程度是制度要素的一個重要組成指標(biāo)，因此本文選取了對外開放程度這一指標(biāo)進(jìn)行異質(zhì)性研究。

2 數(shù)據(jù)選取說明

數(shù)據(jù)分別來自《新中國50年統(tǒng)計資料匯編》、《中國統(tǒng)計年鑒2007》、《中國統(tǒng)計年鑒2008》和國泰安宏觀數(shù)據(jù)庫。數(shù)據(jù)截取了1997～2007年各個省份的不同指標(biāo)。由于海南、重慶和西藏缺失數(shù)據(jù)較多，因此省略了這三個地區(qū)的數(shù)據(jù)（將重慶1996年后的數(shù)據(jù)歸入四川省）。因此各指標(biāo)變量的取值范圍是：i=(1，2，…，28)；t=(1，2，…，11)。在該數(shù)據(jù)中，省區(qū)可以看成是一個二層次水平，省區(qū)在各年度的觀測可以看成是一層次數(shù)據(jù)，因此具有層次結(jié)構(gòu)。下面我們利用對水平模型驗證層次分析的必要性以及相應(yīng)的建模過程。

3 多水平建模分析

3.1 多水平模型建立的必要性判定

首先對實際GDP計算組內(nèi)相關(guān)系數(shù)ICC，檢驗是否存在組內(nèi)相關(guān)。如果數(shù)據(jù)集的ICC或組間方差統(tǒng)計不顯著（無統(tǒng)計學(xué)意義），則可對該數(shù)據(jù)集進(jìn)行多元回歸模型分析，而不需要多水平模型分析；反之，如果統(tǒng)計顯著，則應(yīng)該考慮對其進(jìn)行多水平模型分析。建立截距模型（intercept-only model）,又稱空模型，或無條件均值模型：

該模型的水平 1 和水平 2 均沒有解釋性變量，eit～N（0，σ2）為相互獨立的水平 1 殘差，μit～N（0，）為相互獨立的截距項水平 2 殘差，cov(μoi,eit)=0，（2）式帶入（1），得到一個具有隨機(jī)效應(yīng)的方差分析模型：

其中，γ00是固定效應(yīng)部分，表示總截距，代表log(Y)it的總均值，μ0i+eit是隨機(jī)效應(yīng)部分；σ2表示省內(nèi)方差或個體水平方差，則表示省間方差。由RIGLS估計可得=6.897，σ^2=0.8（p-value=0.0002），=0.123（p-value＜0.0001），二者均統(tǒng)計顯著，表明GDP的初始水平在各省之間有著顯著不同，且存在顯著的對象內(nèi)變異。根據(jù)經(jīng)典定義 （Shrout&Fleiss,1979）,ICC被定義為組間方差與總方差之比：ICC=）=0.1333，表示13.33%的總變異是由省間的異質(zhì)性引起的。由于各指標(biāo)均統(tǒng)計顯著，因此可以推斷ICC是統(tǒng)計顯著的，從而需要進(jìn)行多水平模型分析。

本文以C-D生產(chǎn)函數(shù)為基礎(chǔ)分析資本對GDP的貢獻(xiàn)。對C-D函數(shù)Y=AKβLα兩邊同時取對數(shù)變形為：log(Y)=log(A)+βlog(K)+αlog(L)，再令 log(Y)=Y'，log(A)=A',log(K)=K',log(L)=L'。

在多水平模型建立的過程中，為了進(jìn)行模型之間的比較，采用計算出各自模型下-2log(likelihood)的數(shù)值，通過其差值大小的顯著性來檢驗?zāi)Ｐ偷母倪M(jìn)，其根據(jù)是在大樣本情形，-2log(likelihood)服從自由度為q的x2分布，其中q為對應(yīng)于比較模型涉及的參數(shù)個數(shù)差，令D=-2log(like)作為比較模型優(yōu)劣評價參數(shù)。對于多水平模型的參數(shù)估計可采用IGLS估計方法（迭代廣義最小二乘估計方法）或RIGLS估計方法（限制迭代廣義最小二乘估計方法），是固定效應(yīng)參數(shù)的估計和隨機(jī)效應(yīng)參數(shù)的估計交替進(jìn)行的過程，當(dāng)?shù)諗繒r迭代結(jié)束。已經(jīng)證明，不同水平殘差項在正態(tài)假設(shè)下，參數(shù)的IGLS估計等價于極大似然估計 （EML），RIGLS估計等價于限制極大似然估計（REML）。具體理論這里不再詳細(xì)介紹。

3.2 混合數(shù)據(jù)模型

首先考慮建立數(shù)據(jù)模型：

其中 eit～N（0，σ2）為相互獨立的殘差，首先，此 C-D 生產(chǎn)函數(shù)的建立是在全國的角度上，將各省各年份的數(shù)據(jù)作為同一水平的樣本量，因此也可稱其為一水平線性模型。其次，本文重點考慮的是基于數(shù)據(jù)的不同水平（層次）而建立相應(yīng)的多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型及參數(shù)異質(zhì)性的問題，因此建模過程中未考慮時間趨勢的影響。

3.3 無條件兩水平模型

考慮無條件的兩水平模型

表1 無條件兩水平模型（7）與混合數(shù)據(jù)模型（4）的參數(shù)估計對比表

混合數(shù)據(jù)模型（4）是應(yīng)用OLS估計一般C-D生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)，其參數(shù)估計結(jié)果在0.05的水平上均比較顯著，其殘差方差為0.059較小，-2log(like)值為868.2363。無條件兩水平模型 （7）（即是對混合數(shù)據(jù)模型的常數(shù)項與資本的系數(shù)根據(jù)水平結(jié)構(gòu)隨機(jī)化）則是應(yīng)用RIGLS估計（限制迭代廣義最小二乘估計）多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型的參數(shù)，由估計結(jié)果顯示。首先，此模型的2log(like)值為-507.518，2log(like)值越小模型擬合越好，且模型二與模型一下2log(like)的差為1375.7543，與自由度為3的χ2分布的臨界值（置信水平設(shè)為0.05，χ3(3)=7.815）相比是顯著的；其次，無條件兩水平模型（7）對殘差根據(jù)水平進(jìn)行了分解，與混合數(shù)據(jù)模型（4）比較方差σ2由0.059變?yōu)?.006，有了很大程度的減少，兩模型中所有估計參數(shù)均顯著，因此無條件兩水平模型（7）比混合數(shù)據(jù)模型（4）有了很大程度的改善，但常數(shù)項統(tǒng)計不顯著，需建立改進(jìn)模型。

3.4 單變量條件兩水平模型

考慮單變量條件的兩水平模型

eit～N（0，σ2）為相互獨立的水平 1 殘差，μot～N（0，）為相互獨立的截距項水平 2 殘差，μit～N（0，）為相互獨立的斜率項水平 2 殘差，cov(μot，μli)=σu01，不同水平殘差間相互獨立。此時在資本彈性系數(shù)隨機(jī)化時，加入二水平影響變量（DWKFi對外開放度），DWKFi變量是來自于第二水平 （各省）的數(shù)據(jù)，即DWKFi表示第i個省的對外開放程度。將模型（9）帶入（8），得到

由RIGLS估計結(jié)果為：

表2 單變量條件兩水平模型（10）與無條件兩水平模型（7）的參數(shù)估計對比表

單變量條件兩水平模型（10）與無條件兩水平模型（7）相比，是在資本的系數(shù)做二水平隨機(jī)時加入了二水平條件變量DWKFi（對外開放程度）。首先，模型三的-2log(like)值為-541.248，與模型二下-2log(like)的差為33.73，與自由度為2的χ2分布的臨界值（置信水平設(shè)為0.05，χ2(2)=5.991）相比是顯著的，所有參數(shù)在0.05水平上均顯著；其次，單變量條件兩水平模型比無條件兩水平模型更詳細(xì)的刻畫了資本系數(shù)的異質(zhì)性，因此單變量條件兩水平模型為較優(yōu)模型。

本文在建立多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型時，對截距項、勞動系數(shù)也分別進(jìn)行了多水平建模分析，由于參數(shù)估計的結(jié)果在統(tǒng)計上均不顯著，因此在文章中將此部分略去。

3.5 模型解釋及主要結(jié)論

由單變量條件兩水平模型（10）得出多水平C-D函數(shù)為：

其中勞動彈性系數(shù)α=0.334，資本彈性系數(shù)則是一個變量，是隨DWKFi（各省的對外開放程度）變化而變化的，其形式為：βi=0.672+0.199DWKFi。對于生產(chǎn)函數(shù)而言，討論規(guī)模報酬變動是考量α+β的數(shù)值，當(dāng)α+β＞1時規(guī)模報酬遞增，當(dāng)α+β＜1時規(guī)模報酬遞減，當(dāng)α+β=1時規(guī)模報酬不變，在本結(jié)論中規(guī)模報酬的判定具有函數(shù)形式：α+βi=1.006+0.199×DWKFi，由于DWKFi為正值，則可以判定建立我國1997年到2007年期間的多水平C-D函數(shù)具有規(guī)模報酬遞增的特性，而且遞增速度的快慢是由DWKFi調(diào)節(jié)的。勞動力對GDP的貢獻(xiàn)份額為勞動力對經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)與對外開放程度成反向關(guān)系，即勞動貢獻(xiàn)率隨著對外開放程度的增大而減小；資本對GDP的貢獻(xiàn)份額為：，其與對外開放程度成正向關(guān)系，由勞動和資本各自貢獻(xiàn)份額的函數(shù)形式可知，在1997～2007年期間，資本對經(jīng)濟(jì)增長的貢獻(xiàn)約為勞動對經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)的兩倍左右，且兩者均是的函數(shù)。由分析結(jié)果可得其余要素的變動均基于資本彈性系數(shù)的異質(zhì)性，即各省資本彈性系數(shù)是隨著DWKFi的變化而變化，因此根據(jù)各省的DWKFi指標(biāo)，可分別估算出各省的資本貢獻(xiàn)份額，具體結(jié)果如圖1所示，其中橫坐標(biāo)按DWKFi指標(biāo)由小到大排序。

由圖1可知，廣東、上海、天津、江蘇四省市的資本貢獻(xiàn)份額均在68.5%以上，表示這些地區(qū)資本投入量及對GDP的貢獻(xiàn)均較高，且這些地方均為東部沿海省份，也是改革開放政策施行以來的首批試點省份，其較高的對外開發(fā)程度導(dǎo)致吸收較多的資本量，從而推動GDP的高速增長；福建、北京、遼寧、吉林、浙江、山東六省次之，資本的貢獻(xiàn)份額在67.5～68%，這些地區(qū)的改革開放政策與廣東、上海、天津、江蘇四省相比實施較晚，因此其對外開放程度、資本吸收程度均次之；而其他省份的資本貢獻(xiàn)份額大都保持在66～68%之間。由此說明一地區(qū)資本對GDP的貢獻(xiàn)大小與此地區(qū)對外開放程度成正比，對外開放程度越高資本對GDP的貢獻(xiàn)份額越大。

4 結(jié)論

宏觀經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)明顯呈現(xiàn)多種水平結(jié)構(gòu)（或?qū)哟谓Y(jié)構(gòu)），基于多水平數(shù)據(jù)提出的多水平模型在理論上首先是適用的。通過實證分析，多水平模型較一般模型而言有其獨特之處：（1）多水平模型的建立是完全基于數(shù)據(jù)的層次結(jié)構(gòu)，特別是在變量的選取上，按不同的水平選取不同的變量；（2）在參數(shù)估計方法上采用的是迭代廣義最小二乘估計和限制迭代廣義最小二乘估計；（3）對回歸系數(shù)、各水平殘差的方差和協(xié)方差均給出了估計和統(tǒng)計推斷過程，對全面研究模型結(jié)構(gòu)和處理實際問題提供了更詳細(xì)的信息；（4）在描述參數(shù)的異質(zhì)性問題上，多水平模型提出了詳細(xì)的函數(shù)結(jié)構(gòu)，這使得研究變量關(guān)系變得較為明顯。

通過多水平C-D生產(chǎn)函數(shù)模型估算的資本的貢獻(xiàn)份額再次證明，首先我國保持較高經(jīng)濟(jì)增長速度的主要源動力任然是資本要素，資本貢獻(xiàn)份額較高的省份仍然集中于東部地區(qū)，中西部地區(qū)相對較弱，而資本要素在各省之間的差異與各地區(qū)間的對外開發(fā)程度有著密切的關(guān)系；其次，在我國中西部地區(qū)對外開發(fā)程度與東部地區(qū)差距仍然較大。因此我國在走可持續(xù)發(fā)展道路的同時，應(yīng)繼續(xù)加大中西部地區(qū)的開發(fā)力度，從而保證我國整體經(jīng)濟(jì)穩(wěn)步增長。

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