一種基于粗糙集理論的多指標綜合評價方法

鄭學敏

(河海大學 商學院，南京 210098)

0 引言

粗糙集理論由波蘭學者Z.Pawlak在1982年提出，這是一種新的處理模糊和不確定知識的數學工具，其主要特點在于無需提供問題所需處理的數據集合之外的任何先驗信息，所以對問題的描述或處理是比較客觀的，根據觀測數據刪除冗余信息，分析知識的粗糙度、屬性間的依賴性與重要性，生成分類或決策規則等[1]。針對無決策屬性的綜合評價問題，本文擬提出一種基于粗糙集理論的客觀評價方法：首先將介紹粗糙集信息系統和屬性約簡的概念，并在引入信息論中“信息量”的基礎上，提出信息系統屬性重要性的計算方法，進而實現綜合評價系統的指標約簡和權重設置。希望該方法能克服傳統評價方法中主觀性和片面性的問題，并且能夠有效地減少綜合評價問題的計算量。

1 信息系統與屬性約簡

1.1 信息系統

定義1 四元組S=(U,A,V,f)是一個信息系統,其中U表示對象的非空有限集合,稱為論域；V=，其中 Va是屬性a的值域；f表示U×A→V是一個信息函數,它為每個對象的每個屬性賦予一個信息值,即 a∈A，x∈U，f(x,a)∈Va。

1.2 等價關系

每一個屬性子集P?A決定了一個二元不可區分關系IND(P)，信息系統S=(U,A,V,f)也稱為知識表達系統U/IND(A)或知識A。

定義2 如果(x,y)∈IND(P)是等價的，則稱 x和y是等價的。等價關系IND(P)構成了U上的一個等價劃分，用U/IND(P)={X1,X2,…,Xn}表示。

1.3 屬性的核與約簡

定義3 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統,a∈A，如果IND(A-{a})=IND(A)，則稱屬性a在A中是不必要的(多余的)；否則，稱a在A中是必要的。

不必要的屬性在信息系統中是多余的，如果將它從信息系統中去掉,不會改變該信息系統的分類能力；相反，若從信息系統中去掉一個必要的屬性,則一定改變該信息系統的分類能力。

定義4 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統，A中所有必要的屬性組成的集合稱為屬性集A的核，記作Core(A)。

定義5 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統，如果P?A：

（1）IND(P)=IND(A)；

（2）P 是獨立的；

則稱P是A的一個約簡。

可以證明核是所有約簡的交集[1]。

2 信息量與重要度度量

2.1 知識的信息量

定義6 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統,P?A,U/IND（P）={X1，X2，…，Xn}。 知識 P 的信息量定義為：

其中|X|表示集合X的基數,|Xi|/|U|表示等價類Xi在U中的概率。

本文在信息系統中，引入信息論中信息量的概念，有如下定理：

定理1 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統，P?A。若U/IND(A)?U/IND(P),則 I(P)＜I(A)。

由定理1可以得出如下結論：

定理2 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統，P?A，則U/IND(A)=U/IND(P)的充要條件是I(P)=I(A)。

2.2 屬性重要度

定義7 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統,屬性a∈A在A中的重要性定義為：

性質1 屬性a∈A在A中是必要的當且僅當sigA-{a}＞0。

性質 2 Core(A)={a∈A|sigA-{a}(a)＞0}。

定義8 設S=(U,A,V,f)是一個信息系統，C?A，任意屬性a∈A-C關于屬性集C的重要性定義為：

sigC(a)=sigC∪{a}-{a}(a)=I(C∪{a})－I(C)

上述定義表明屬性a∈A-C關于屬性集C的重要性由C中添加a后所引起的信息量的變化大小來度量。sigC(a)的值越大,說明屬性a∈A-C關于屬性集C就越重要。

3 基于粗糙集綜合評價的指標體系建立

給予粗糙集的多指標綜合評價的基本步驟如圖1所示。

圖1 基于粗糙集的多指標綜合評價的步驟

3.1 評價指標約簡

在進行指標體系的選擇時，為更全面地反映評價問題的整體狀況，在指標構建原則的前提下，往往會選擇盡可能多的指標和數據，但這些信息中可能會有冗余信息，這些冗余信息不僅會增加問題的復雜性，還會影響評價的準確性。評價問題中的指標對應于信息系統中的屬性，信息系統屬性約簡的過程其實質就是指標集合優化的過程,由此方法得到的指標集合是決定評價問題的關鍵因素。

本文利用屬性的重要度作為啟發式信息，根據性質2計算指標集A的核，再根據定義7選擇屬性重要度大的指標依次加入到核中，直到約簡后的指標集信息量與原指標集A的信息量相同為止。

算法主要步驟如下：

輸入：信息系統S=(U,A,V,f)，其中U為論域，A為指標集。

輸出：該信息系統的核Core與最小約簡C。

STEP1根據(1)式計算評級指標信息系統的信息量I(A)；

STEP2令Core(A)=Ф。對于每一個ai∈A，根據(2)式計算在信息系統中的重要度sigA-{ai}(ai)，若sigA-{ai}(ai)不為0，則使Core=Core∪{ai}，得到的Core為指標集A的核，計算I(Core)，若I(Core)=I(A)，算法終止(此時Core為A的最小近似約簡).否則，執行STEP3；

STEP3令C=Core，對指標集A-C重復執行：

（1）對于每個指標 ai∈A-C,根據定義 8，計算其重要度sigC(ai)；

（2） 取 max sigC(ai)，C:=C∪{ai}；

（3）若I(C)=I(A),算法終止(此時C為A的一個最小近似約簡)；否則，轉(1)。

3.2 基于屬性重要度設置權重

傳統的主觀評價方法(如層次分析法)，在權重的確定上過分依賴專家的意見，而忽略了評價指標原始數據自身的信息。本文利用信息系統屬性重要度的定義，依靠屬性自身的信息量計算權重，很好地避免了確定權重時受主觀因素的影響。

指標體系經過指標約簡后，可以得出約簡后的指標C={r1,r2,…rm}，由約簡的定義，C是獨立的，C中的屬性也是獨立的。根據知識的信息量的概念，本文提出了一種數據驅動的指標權重確定的算法。算法步驟如下：

輸入：約簡后信息系統S=(U,C,V,f)。

輸出：指標集C中各指標的權重wi。

STEP1由等價關系C對論域U的劃分為:U/IND(C)={X1,X2,…,Xn}；根據(1)式計算約簡后指標集C的信息量I(C)；

STEP2令 i=1，計算其屬性重要度為 sigc-{ri}(ri)=I(C)－I(C-{ri}),i:=i+1；若 i=m，進入 STEP3；

STEP3令i=1，歸一化ri的重要度，得出每個指標的權重：，i:=i+1；如果 i=m，算法結束。

3.3 建立評價模型

4 對某市各銀行服務客戶滿意度分析

4.1 數據收集和數據信度分析

本研究的樣本選自某城市主要商業銀行營業網點流水客戶，通過對工、招、農、建、中、交五大銀行各選取10家營業網點對他們的零售業務流水客戶進行隨機的問卷調查。本調查共發放問卷500份，回收436份，回收率87.2%，通過審核篩選獲得有效問卷418份，有效率83.8%，所有調查信息均采用SPSS15.0統計軟件進行統計分析。

在廣泛查閱國內外員工滿意度問卷基礎上，結合銀行行業特點設計的“商業銀行客戶滿意度調查問卷”，問卷分兩部分組成：（1）個人資料，包括年齡、性別、學歷程度、工作職位等；（2）員工滿意度測試，由36個項目組成，除去調查表中調查員工對銀行業目前主要優勢、存在的困難等7個項目的認知和預測調查外，顧客選擇商業銀行服務滿意度的主要指標為：a1產品服務種類，a2服務收費透明度，a3可信度，a4服務效率，a5咨詢投訴處理，a6服務便利。擬選定6項主要指標{U1,U2,U3,U4,U5,U6}，建立評價信息表。

數據信度主要考察問卷的內部一致性，內部一致性系數通常采用可靠性分析中的Cronbachα計算值，一般認為該值應在0.7以上。對于該問卷的信度，通過采用SPSS15.0統計軟件直接測算，結果表明問卷的內部一致性系數為0.729，說明該滿意度調查問卷具有較高的信度。

根據所采集的數據對評價信息表進行離散化，1表示達標，0表示未達標。構建綜合評價系統如表1所示。

表1 顧客滿意評價度

表2 約簡后的信息系統

表3 指標權重表

表4 顧客評價結果

4.2 評價指標集約簡

依照約簡算法，約簡步驟如下：

STEP1根據評價信息系統，有等價關系 U/IND(A)={{U1,U6},U2,U3,U4,U5}計算 I(A)=30/36；

STEP2對于指標集A-{a1}，有等價關系 U/IND(A-{a1})={{U1,U6},U2,U3,U4,U5}以及公式(2)計算指標a1的重要度sigA-{a1}(a1)=I(A)-I(A-{a1})=0，同理,計算得 sigA-{a2}(a2)=0,sigA-{a3}(a3)=0,sigA-{a4}(a4)=2/36,sigA-{a5}(a5)=0,sigA-{a6}(a6)=0,因此，Core(A)={a4};計算得 I(Core)=12/36＜I(A)，進入 STEP3；

STEP3 令 C=Core={a4}，A-C={a1,a2,a3,a5,a6,}：

（1）計算指標集A-C中的指標重要度。經第一次計算得：sigC(a1)=I(C∪{a1})-I(C)=18/36,同理得:sigC(a2)=16/36,sigC(a3)=10/36,sigC(a5)=10/36,sigC(a6)=18/36,；

（2）取 max sigC(ai)，C:=C∪{ai}。 第一次計算 C={a1,a4}；

（3）第一次計算 I(C)=30/36＜I(A)，重復步驟(1);…

算法得出：核Core={a4}，最小約簡指標集為C={a1,a2,a4,a6}。

評價指標約簡為{a1,a2,a4,a6}，因而得出a1產品服務種類，a2服務收費透明度，a4服務效率，a6服務便利是該評價問題的主要因素。通過該算法，指標個數減少了37%，因而減少了評價計算量。約簡后的信息系統如表2示。

4.3 指標權重計算

STEP1對于最小約簡指標集，其等價關系為：U/IND(C)={{U1,U5},U2,U3,U4,U5,U6}，根據(1)式計算其信息量I(C)=30/36；

STEP2由(2)式計算指標重要度水平sigC-{a1}(a1)=I(C)-I(C-{a1})=2/36,sigC-{a2}(a2)=2/36,sigC-{a4}(a4)=2/36,sigC-{a6}(a6)=6/36；

STEP3歸一化處理指標的重要度得出權重信息，a1為同理計算得出其他幾個指標權重如表3。

利用線性加權模型計算得出評價對象的評價值如表4。

以上排序結果說明，顧客在選擇商業銀行滿意度時最期望的指標排序為U4為首選，其次為U6和U3。由實例看出，使用粗糙集綜合評價方法可以有效地約簡評價指標，減少評級問題的計算量，評價過程不需要人為干預，故評價結果更真實可靠。

5 總結

在顧客滿意度評價中影響其價值的因素很多,各因素的重要性也會有很大的差別。本文基于粗糙集理論，融入信息論中信息量的概念，提出了一種完全數據驅動(依賴指標原始數據)的多指標綜合評價方法，并用商業銀行顧客滿意度實例證明了該方法的客觀性和實用性，克服了傳統方法存在的主觀性和片面性的問題。粗糙集綜合評價法通過指標的屬性重要度信息，計算指標體系的約簡，并將權系數確定問題轉化為指標的重要性評價問題。該方法綜合分析了各種影響因素,既體現了評價的全面性,又進行了指標的篩選,從而簡化了運算的復雜度；在確定各因素的權重中，既強調了評價的客觀性,又充分利用了專家的主觀經驗。

[1]張文修,吳偉志,梁吉業等.粗糙集理論與方法[M].北京：科學出版社，2000.

[2]Li Wan-qing,MA Li-Hua,LIU Tao.Evaluation Method of Product Development Effect Based on Rough Sets and Unascertained Number[C].International Conference on Management Science，2007.

[3]Yitan Xu.Laisheng Wang.Fuzzy Comprehensive Evaluation Model Based on Rough Set Theory[C].IEEE Int.Conf.on Congitive Informatics(ICCI’06)，2006.

[4]阿倫·杜卡.美國市場營銷學會顧客滿意度手冊[M].北京:中國宇航出版社,1998．

[5]張喜成,汪江洪.粗糙集綜合評價法在公交服務水平評價中的應用[J].統計與決策，2006，（4）.

[6]唐曉芬.顧客滿意度測評[M].上海:上海科學技術出版社，2001．