相依隨機事件的度量指標

嚴忠權(quán)

（黔南民族師范學(xué)院，貴州 都勻 558000）

0 引言

對隨機變量相依性度量的研究和文獻很多，常見的有度量變量線性相依的Pearson相關(guān)系數(shù)[1]，基于Copula的非線性相依變量的度量指標 kendall’s tau,Spearman’s rhos、Gini’s系數(shù)等[2]，且這些相依性度量指標在金融、保險、可靠性理論、統(tǒng)計推斷與決策等方面得到了廣泛應(yīng)用[3]。縱觀所有文獻，對隨機事件的相依性度量僅有張堯庭的《定性資料的的統(tǒng)計分析》[4]聯(lián)中將隨機事件變量化用列聯(lián)表，通過卡方檢驗討論二事件間的相依與獨立。何蘊理[5]對相依事件的度量作了一個簡單討論，在概率與統(tǒng)計的其它文獻中僅在討論獨立隨機事件時提及“當兩個事件不獨立時稱之為相依”這一概念，沒有給出二相依隨機事件的度量指標，而相依隨機事件卻大量存在，建立怎樣的指標來度量兩個隨機事件的相依性及相依程度，這顯然是一個很有實際意義和理論意義的問題，本文給出了度量兩個相依隨機事件的三個相依度量指標：關(guān)聯(lián)系數(shù)、相依系數(shù)和相關(guān)系數(shù)，論述了這三個指標的性質(zhì)，從三個指標所具有的性質(zhì)可見三個指標定義的合理性和科學(xué)性。

1 相依隨機事件的關(guān)聯(lián)系數(shù)

定義1 設(shè)A，B是同一樣本空間下的兩個隨機事件，若P（A∩B）=P（A）P（B），則稱隨機事件 A，B 相互獨立。 若 P（A∩B）≠P（A）P（B），則稱隨機事件 A，B 是相依的。

定義2 設(shè)A，B是同一樣本空間下的兩個隨機事件，稱數(shù)量 δ（A，B）=P（A∩B）-P（A）P（B）為隨機事件 A 與隨機事件B的關(guān)聯(lián)系數(shù)。若δ（A，B）＞0，則稱隨機事件A與隨機事件B是正相依的，若δ(A,B)＜0,則稱隨機事件A與隨機事件B是負相依的。

由關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義可得如下基本性質(zhì)：

定理1 設(shè)A,B是同一樣本空間下的兩個隨機事件，則A與B的關(guān)聯(lián)系數(shù)具有性質(zhì)：

（1）δ（A，B）=0當且僅當隨機事件A與隨機事件B相互獨立；

（2）δ（A，B）=δ（B，A）；

（4）δ（ΣAj，B）=Σδ（Aj，B）(ΣAj表示有限或可數(shù)個兩兩相互排斥的事件）；

（5）δ（A∪C，B）=δ（A，B）+δ（C，B）-δ（A∩C,B）。

證明：（1）、（2）由 δ（A，B）的定義顯然成立。

（4）：對于有限或可數(shù)個兩兩相互排斥的事件Aj,j=1,2,…，有

(5):δ（A∪C，B）=P(A∪C)∩B)-P(A∪C)P(B)=P((A∩C)∪(C-B))-P[P(A)+P(C)-P(A∪C)]P(B)=δ（A，B）+δ（C，B）-δ（A∩C，B）

證畢。

由關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義和定理1有：對任意兩個隨機事件通過關(guān)聯(lián)系可知它們是獨立、正相依、負相依。且兩個隨機事件獨立當且僅當它們的關(guān)聯(lián)系數(shù)等于零，關(guān)聯(lián)系具有對稱性和類似概率可加性。除此之外，關(guān)聯(lián)系數(shù)還有如下系列性質(zhì)。

由關(guān)聯(lián)系數(shù)定義可得如下性質(zhì)。

系 1：若 A?B，A≠φ,則 δ（A，B）=P(A)=P(A)＞0，即若 A?B，A≠φ，則隨機事件A與隨機事件B是正相依的；若A與B是互斥事件且均不是不可能事件，則δ（A，B）＜0，即互斥事件是負相依的。后面將會看到，其逆不真。

系3：由乘法公式和關(guān)聯(lián)系數(shù)的定義有：P(A|B)=P(A)+，從這一表達式可知，當A與B是正相依時，在其中一事件發(fā)生的情況下會使另一個事件發(fā)生概率增大，而當A與B是負相依時，其中一個事件發(fā)生的情況下會使另一個事件發(fā)生的概率減小。

定理2 同一樣本空間下的任意兩個兩個隨機事件A與B的關(guān)聯(lián)系數(shù)滿足不等式max{-P(A)P(B),-[1-P(A)][1-P(B)]}≤δ （A，B）≤min{P(A)[1-P(B)]，[1-P(A)]P(B)}稱 之 為Freshe-Hoefding不等式。 由此得δ（A，B。

由定理1（3），可得如下性質(zhì)：

系 2：δ（A，A）=-δ（A，A） =P(A)[1-P(A)]，即任一事件與它自身是正相依的，而與它的對立事件是負相依的；δ（A，B）=δ（A，B），即任一事件組與它的對立事件組有相同的相依性。

證明：因為 P(A∩B)≤min{P(A),P(B)}，所以有

δ（A，B）=P(A∩B)-P(A),P(B)≤P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]同時又有：δ（A，B）≤P(B)[1-P(A)]

所以有 δ（A，B）≤min{P(A)[1-P(B)],[1-P(A)]P(B)}

另一方面：由 P(A∩B)≥0、P(A∪B)≤0 有：

δ（A，B）=P(A∩B)-P(A)P(B)≥-P(A)P(B)和

因此有 δ（A，B）≥max{-P(A)P(B),-[1-P(A)][1-P(B)]

如果我們對任一事件A發(fā)生與不發(fā)生用一個示性指標變量表示：當事件A發(fā)生時令I(lǐng)A=1，當事件A不發(fā)生令I(lǐng)A=0，則有 E(IA)=P(A)，且

Cov(IA,IB)=E(IA,IB)-E(IA)E(IB)=E(IA∩B)-P(A)P(B)=δ（A，B）

因此，兩個隨時機事件的關(guān)聯(lián)系數(shù)是它們的示性指標變量的協(xié)方差。

關(guān)聯(lián)系數(shù)描述了兩個事件的相依關(guān)系：獨立、正相依、負相依，不能描述兩個隨機事件的相依程度，因為兩個隨機事件最強相依應(yīng)是在A=B的情況，此時，它們的關(guān)聯(lián)系數(shù)為

δ（A，B）=P(A)-P2(A)

假如有 A=B 且 P(A)=0.05，則 δ（A，B）=0.0475，又假如 P(A)=0.3,P(B)=0.4，P(A|B)=0.6 則 δ（A，B）=(0.6-0.3)(0.4)=0.12。顯然，后者沒有前者的相依性強，而后者的關(guān)聯(lián)系數(shù)卻比比前者的要大。為此，我們定義一個相依度系數(shù)用來度量相個隨機事件的相依程度。

2 二隨機事件的相依系數(shù)

由條件概率P(A|B)的定義，當P(B)=0時，條件概率P(A|B)沒有定義，為了定義相依度系數(shù)，我們規(guī)定，當P(B)=0時，P(A|B)=P(A)。

定義3 對同一樣本空間下的任意兩個兩個隨機事件A與B，定義rB(A)=P(A|B)-P(A|B)為事件A關(guān)于事件B的相依度系數(shù)（簡稱相依系數(shù)）。

由相依系數(shù)的定義可得計算公式：

由相依系數(shù)的定義我們有

定理3 設(shè)A、B是同一樣本空間下的兩個隨機事件，則它們的相依系數(shù)具有如下性質(zhì)：

(1)rB(A)=rA(B)=0成立當且僅當與相互獨立；

(2)rA(A)=1，rA(A)=-1；

(3)rS(A)=rφ(A)=0；

(4)rB(ΣAj)=ΣrB(Aj)；

(5)對任意的 A≠B 有 rBˉ(A)=-rB(A)，rB)=-rB(A)；

(6)對任間兩個隨機事件 A、B 有-1≤rB(A)≤1；-1≤rA(B)≤1。

由相依系數(shù)的定義和定理3可得如下的系。

系4：

(1)當 rB(A)=1 時，由 rBˉ(A)=P(A|B)-P(A)的定義，當且僅當 P(A|B)=1，P(A)=0，由此得到 A=B，此時也有 rA(B)=1。因此當rB(A)=rA(B)=1時，A與B最強正相依（當A=B時稱A與B最強正相依）。

（2）同理，當 rB(A)=-1 時有 B=，當 rA(B)=-1 有 A=，此時表明A與B是最強負相依。

（4）等式rB(A)=rA(B)成立的充分必要條件是P(A)[1-P(A)]=P(B)[1-P(B)]。

（5）由 rB(A當A與B是正相依時有rB(A)＞0、rA(B)＞0，而 A當 B與負相依時有 rB(A)＜0、rA(B)＜0。

（6）當 A?B 時，δ（A,B）=P(A)[1-P(B)]=P(A)P(B)＞0，則 A與B正相依，且由rB(A)=P(A)/P(B)，則有A關(guān)于B的相依系數(shù)隨事件A發(fā)生的概率增大而增大且有rB(A)→1（表示向著1方向變化）。 與此同時，，rA(B)=P()。 從而 B 關(guān)于 A的相依系數(shù)是隨事件B的概率的增大而減小。

（7）當 A∩B=φ 時，δ（A,B）=-P(A)P(B)，即 A 與 B 互斥時，A與B負相依，且由rB(A)=-P(A)/P)，則有A關(guān)于B的相依系數(shù)的絕對值隨事件A的概率的增大而增大且有rB(A)→-1。同樣的rA(B)=-P(B)/P(A)，此B關(guān)于A的相依系數(shù)的絕對值也是隨事件B的概率的增大而增大且有rA(B)→-1。

（8）當A∩B≠φ時，A與B可以是正相依也可以是負相依。例如：若P(A)=P(B)=0.5，P(A∩B)=0.3,此時A與B是正相依的；但若P(A)=P(B)=0.5，此時A與B是負相依的。

由由定理3和系3可知，相依系數(shù)是相依性度量的一個有效指標，正負相依和相依系數(shù)的絕對值的變化是與A?B，A?B，A∩B≠φ以及兩個事件獨立的程度變化是一致的。

按照相依系數(shù)與零的距離，可將隨機事件的相依性分為五個等級：當|rB(A)|≤0.05時，A與B幾乎獨立；當0.05＜|rB(A)|≤0.2時，A 與 B為弱相依；當 0.2＜|rB(A)|≤0.45時,A 與 B為適度相依；當0.45＜|rB(A)|≤0.8時，A與B為一般相依的；而當0.8＜|rB(A)|時為強相依的。有了這五個級后，我們在作統(tǒng)計推斷決策時就可采用相應(yīng)的策略。

定理4 相依系數(shù)具有下列不等式：

該不等式稱之為相依系數(shù)的Freshe-Hoefding不等式。

3 二隨機事件的相關(guān)系數(shù)

定義4 設(shè)A是B兩個隨機事件，稱

為隨機事件A與B隨機事件的相關(guān)系數(shù)，其符號與正負相依的符號相同。

對于相關(guān)系數(shù)有如下計算公式

定理4 設(shè)A、B是同一樣本空間下的兩個隨機事件，則它們的相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：

（1）RA,B=0當且僅當隨機事件A與隨機事件B相互獨立。

（2）-1≤RA,B≤1，且 RA,B=1當且僅當 A=B，即 A 與 B 最強正相依，RA,B=-1當且僅當A=，即A與B最強負相依。

（3）RA，B=RA，B=-RA，B；RA，B=RA，B。

由相關(guān)系數(shù)的定義和定理可得

系5

（1）兩個隨機事件的相關(guān)系數(shù)RA,B等于隨機事件A與隨機事件B的示性指標變量IA與IB的相關(guān)系數(shù)ρIA，IB。

（2）RAA=1，RAA=-1，RA，S=RA，θ。

（3）相關(guān)系數(shù) RA，B可用于計算后驗概率 P（B|A）

4 相依指標的估計

兩個隨機事件相依關(guān)系的度量指標：關(guān)聯(lián)系數(shù)、相依系數(shù)、相關(guān)系數(shù)分別都是由的概率表示，因此我們可在重復(fù)試驗下得到它們的估計值。

設(shè)在N次獨立試驗或觀測中，事件A發(fā)生了kA次,事件B發(fā)生了kB次，事件A∩B發(fā)生了kA∩B次。則各相依指標的估計分別為：

可以證明上述估計是有效的，無偏的和一致的。

5 相依指標的應(yīng)用

通過上面對隨機事件三個相依指標的討論，對于同一樣本空間下的任意兩對隨機事件（A，B）和（A，C），我們可用相依系數(shù)的絕對值的大小來比較兩對事件的相依程度，若

|rB(A)|≤|rC(A)|

則有隨機事件A對C的相依程度大于隨機事件A對B的相依程度。通過相依程度的比較和上面對相依程度的分級，我們建立相依事件的度量指標可用于公共社會學(xué)管理，決策科學(xué)、醫(yī)學(xué)統(tǒng)計推斷、刑事犯罪偵探學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域的應(yīng)用。

[1]周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，1985.

[2]Roger B.Nelsen Antroduction to Copulas[M].New York:Springer,2006.

[3]張堯庭.連接函數(shù)(copula)技術(shù)與金融風(fēng)險分析[J].統(tǒng)計研究，2002，(4).

[4]張堯庭.定性資料的的統(tǒng)計分析[M].南寧：廣西大學(xué)出版社，1991.

[5]何蘊理.隨機事件的相依性[J].西安統(tǒng)計學(xué)院學(xué)報，1994，(2).