住房抵押貸款保證險的鞅定價與保險精算定價的比較研究

陳麗萍 ，李 晨 ，楊向群

(1.湖南財經高等專科學校 基礎課部，長沙 410205；2.湖南農業大學 東方科技學院，長沙 410128；3.湖南師范大學 數學與計算機科學學院，長沙 410081）

1 住房抵押貸款保證險簡介

住房抵押貸款保證險(以下簡稱保證險)包括兩種類型：全額擔保和部分擔保。將抵押貸款期限T劃分為n段承保區間，這里僅研究n=1的情形。

1.1 全額擔保

若借款人在t=T時刻違約，保險公司可采取以下兩種方式履賠：

(1)保險公司向貸款人支付全部未償貸款余額，并取得房產權由自己實現抵押權。

(2)貸款人保留房屋產權，實現抵押權后，不足以補償貸款余額的部分由保險公司賠付。

無論哪種方式，保險公司應賠付金額均為：max(M(T)-αH(T)，0)。其中M(T)為T時刻未償付金額，H(T)為T時刻的房產價格，α為實現抵押權后所得住房價值比例，O為常數。貸款人持有的全額擔保保單到期收益為：

1.2 部分擔保

保險公司為減少承擔的信用風險，只對抵押貸款余額的一定比例實施擔保，若借款人在t=T時刻違約，保險公司可采取以下兩種方式履賠：

(1)保險公司向貸款人支付全部未償貸款余額，并取得房產權由自己實現抵押權。賠付額為max(M(T)-αH(T)，0)。

(2)向貸款人賠付所擔保比例的貸款額，銀行仍保留房屋產權。賠付額為：γM(T)，其中γ代表承保比例。此時，貸款人持有的部分擔保保單到期收益為：

2 數理金融模型的建立

考慮連續時間的金融市場，時間區間為[0，T]，0表示現在，T表示到期日。給定某完備概率空間(Ω，F，P)。設了時刻的未償付額M(T)=M為常數(可由風險信用評估得到)，無風險利率為常數r，房產價格為H(t)滿足如下隨機微分方程：

其中，B={B（t）}0≤t≤T是定義在完備概率空間(Ω，F，P)上的標準布朗運動，(Ft)0≤t≤T為相應的自然信息流，Ft=F。 μ，a，σ 為常數，且 a＞0，σ＞0。

引理1[5]設房產價格滿足式(1)，則有

3 兩類保證險的鞅定價

設市場完備、無套利，則可用鞅方法獲得保證險的無套利定價。

定理1 設市場完備、無套利，承保期為[0，T]，到期現金流滿足式(1)，無風險利率為常數r，未償付額恒為常數M，房格H(t)滿足式(1)，則全額擔保保證險的鞅定價公式(保費)為

綜上，定理得證。

定理2 設市場完備、無套利，承保期為[0，T)，到期現金流滿足式(2)，無風險利率常數r，未償付額恒為常數M，房產價格H(t)滿足式(3)，則部分擔保保證險的鞅定價公式(保費)為

綜上，定理得證。

4 兩類保證險的保險精算定價

定義 2 設 C（K，T）和 P（K，T）分別表示標的風險資產價格為H（t），執行價格為K，到期日為T的歐式買權和賣權在現在時刻的價值，則

這一定價方法稱為期權的保險精算定價方法。

定理3 設承保期為[0，T]，到期現金流滿足（1），無風險利率為常數 r,未償付額恒為常數 M，房產 H（t）滿足（3）,則金額擔保保證險的保險精算定價（保費）為

綜上，定理得證。

定理 4 承保期為[0，T]，到期現金流為(2)，未償付額恒為常數M，房產價格H(t)滿足(3)的部分擔保保證險的保費為

下面將分別給出上式中三項期望的值。由于η～N(0，1)，于是有

綜上，定理得證。

5 兩種定價結果的比較

本文引入期權定價思想，分別利用傳統的鞅定價方法和保險精算定價方法，探討了兩類住房抵押貸款保證險的定價問題，并且分別給出了兩種方法下保證險的定價公式。

將定理1與定理3、定理2與定理4進行對比，可以看出：在相同的市場模型下，保險精算定價和傳統的鞅定價(又稱無套利定價)有明顯區別。當房產價格服從指數O-U過程時，保險精算定價與房產預期收益率非線性漂移系數α和波動率σ有關，無套利定價僅與波動率σ有關，而與預期收益率無關。由于等價鞅測度存在且唯一，所以保證險有唯一的無套利定價，因此這里的保險精算定價實質上是有套利定價。

可見，當房產價格服從一般的隨機過程時，保險精算方法給出的保證險定價與傳統的鞅方法給出的定價(無套利定價)可能是不一致的。雖然用保險精算方法也能證明B-S公式，但對一般的風險資產價格模型，其定價可能是有套利的。

[1]侯新華，田策.住房抵押貸款保證險研究[J].中國房地產金融,2002，(11).

[2]錢乃余.發展我國住房抵押貸款保險之構想[J].濟南金融,200l，(6).

[3]陳麗萍，楊向群.房價服從非時齊Poisson住房抵貸款保證險的定價[J].應用概率統計,2007,23(4).

[4]李晨，陳麗萍，楊向群.隨機波動率與跳擴散相結合的保證險的鞅定價[J].系統工程，2009,27(3).

[5]閆海峰，劉三陽.廣義Black-Scholes模型期權定價新方法保險精算方法[J].應用數學和力學,2003,24(7).