一種新型2R完全解耦并聯機構的運動學和奇異性分析

范彩霞 劉宏昭 張彥斌 袁格俠,4

1.西安理工大學,西安,710048 2.焦作大學,焦作,454000 3.河南科技大學,洛陽,471003 4.寶雞文理學院,寶雞,721007

0 引言

相對于六自由度并聯機構,少自由度并聯機構具有結構簡單、制造成本低、控制容易等優點。因此,近年來,少自由度(自由度為2至 5)并聯機構已成為機器人和機構領域研究的熱點之一。

二自由度并聯機構可以分為平面二自由度并聯機構和二維轉動并聯機構。Asada等[1]研制了基于平面五桿機構的直接驅動的機器人手臂;Gao等[2]設計了一種新型的平面二自由度并聯平動機構;沈輝等[3]分析了平面四桿二自由度并聯機構的動力學特性;熊啟家等[4]提出了一類新型平面二自由度并聯機構,并進行了運動學和動力學的分析;Liu等[5]對2-P(Pa)機構進行了運動學和動力學的分析;余曉流等[6]提出了一種平面二自由度并聯機構,針對該機構提出了運動學標定的新方法。相對于平面二自由度并聯機構,關于二維轉動并聯機構研究的文獻資料較少。Gosselin等[7]提出了一種二自由度轉動球形定向機構,王冰等[8]對其運動學特性進行了分析;張進等[9]提出了一種二自由度球面運動并聯換擋機構。

本文提出一種新型完全解耦的二維轉動并聯機構,該機構由3條支路連接的動靜平臺組成。

1 機構設計

1.1 結構設計

圖1為所提出機構的簡圖,該機構通過3條支鏈將靜平臺與動平臺連接而成(桿L1固定且垂直于靜平臺)。第一條單開鏈支鏈為{-U1-},第二條單開支鏈為{-R2(⊥P3)//U4-},第三條單開支鏈為{-S5-P6-S7-},這里 P、R、U 、S分別表示移動副、轉動副、萬向節、球副,“⊥”和“//”表示相鄰兩運動副軸線垂直和平行。

第一條支鏈U 1與第二條支鏈R2P3U4構成一個平面回路,P3沿R2 U4移動,U 1的一條軸線、U4的一條軸線同軸與U1U4線段重合;U1的另一條軸線、U4的另一條軸線以及R2軸線相互平行且垂直于由第一支鏈和第二支鏈構成的平面。

圖1 新型2R并聯機構

1.2 自由度分析

運用自由度特征矩陣分析該機構的運動類型。機構自由度特征矩陣[10]的表達式為

矩陣的第一行表示動平臺沿x、y、z方向的三維移動輸出,第二行表示動平臺繞 x軸、y軸、z軸的三維轉動輸出。運動存在時,矩陣元素為1;運動不存在時,矩陣元素為0。

機構自由度特征矩陣是各分支自由度特征矩陣的交集。自由度特征矩陣的交運算滿足二值運算,即某位置所有元素為1,則結果為1,否則為0。根據圖1所示機構的結構配置可知,該并聯機構在3條分支作用下,其自由度特征矩陣為

其中,M 1、M 2、M 3分別為3個分支自由度特征矩陣。根據式(1),該機構具有分別繞 x軸、y軸的轉動輸出。

基于單開鏈法,計算該機構的自由度：

式中,F為機構自由度數;fi為第i個運動副的自由度;m為運動副數;ζj表示第j個基本回路的獨立位移方程數;為最小值的v個基本回路。

1.3 主動副選取

根據上面分析,若取P3、P6為主動副并剛化之,則剛化后的機構活動度F*為

因為F*=0,滿足主動副存在準則,故2條支鏈上的移動副P3、P6可同時為主動副。

2 動平臺位置分析

在靜平臺上建立固定坐標系oxyz,桿g1固定且垂直于靜平臺,原點o為桿g1與桿g2的垂直交點,y軸與桿g2軸線重合,z軸與桿g1軸線重合。動坐標系puvw附在動平臺上,原點p與U 1副的中心點重合,v軸與U1U4線段重合,w垂直于上平臺平面U1U4S7。

由oxyz至puvw的坐標變換過程如下：oxyz沿z軸向上移動L1成為pu1v1w1,再繞x1軸逆時針轉過α角成為pu2v 2w2,最后繞y2軸逆時針轉過β角成為puvw,中間過程的坐標系未在圖1中標出。

桿g1固定且垂直于靜平臺,靜動平臺均選為直角三角形,直角邊長為 L2和 L3。θ為y軸與R2 U4間的夾角。在靜坐標系中,S5的坐標為(-L2,0,0),動坐標系原點p的坐標為(0,0,L 1);S7在動坐標系中的坐標為(-L3,0,0)。那么S7在靜坐標系中的坐標為其中,T(x,α)為坐標系從pu1v1 w 1到 pu2v2 w2的轉動矩陣;T(y,β)為坐標系從 pu2v2w2到 puvw的轉動矩陣。

2.1 位置正解

(1)動平臺轉動輸出 α的求解。由于U1 R2 P3 U4構成一個平面回路,可得到如下關系式：

等式平方后相加并化簡得

簡化為

(2)動平臺轉動輸出β的求解。由機構運動的幾何條件,可知

將S5、S7在靜坐標系中的坐標代入式(9),得

簡化為

由式(8)、式(12),可知正解共有2組解。

2.2 位置逆解

(1)輸入位移q1的求解。由式(6)有

(2)輸入位移q2的求解。由式(10)有

可知逆解只有一組。

3 機構動平臺的速度分析

將式(6)、式(10)分別對時間進行一階求導得

對式(15)、式(16)求解,可得動平臺的輸出速度,若將式(15)、式(16)這2個速度方程合并為矩陣方程,則有

其中,v和q?分別為機構動平臺和輸入的速度矢量;J dir為機構的正雅可比矩陣;J inv為機構的逆雅可比矩陣,并且

式(17)表征了主動輸入速度和動平臺輸出速度之間的映射關系。

4 解耦性分析

如果正雅可比矩陣可逆,式(17)可變形為

式中,J為機構全局雅可比矩陣,J=J-1dirJinv。

由式(24)可知,機構全局雅可比矩陣是下三角矩陣,這表明該機構是完全解耦機構。

5 機構奇異性分析

機構在運動過程中,如果機構的運動學性能和動力學性能瞬時發生突變,機構或處于死點、或失去穩定、或自由度發生變化,這使得機構傳遞運動和動力的能力失常。機構此時的位形稱為機構奇異位形。機構奇異位形是機構運動過程中絕對要避免的現象,因此,奇異性分析是并聯機構設計的一個重要環節。

Gosselin等[11]根據機構正逆雅可比矩陣將機構的奇異性分為3類,本文運用這種方法對該機構的奇異性進行分析。

5.1 正運動學奇異

當det J dir=0,但det J inv≠0時,發生正運動學奇異。當發生此類奇異時,機構動平臺處于失控狀態,即使沒有主動輸入,動平臺也可產生瞬時運動。

由式(20)可知,當det J dir=0時,有

所以產生正運動學奇異的情況有2種：

(1)L 2 L3 sinα+L 1 L3 cosα=0,即 α=arctan(-L 1/L2)時,由圖1,令U 1 R2與 y 軸夾角為δ(x/2＞δ＞0),tanδ=L1/L2,那么 ,α=2π-δ或α=π-δ時機構處于奇異位型。也就是當動平臺與y軸夾角為π-δ或2π-δ,即動平臺的邊U1 U4線段與U1 R2線段重合時(U 1 U 4R2完全展開或完全折疊),動平臺處于極限狀態。α在[0,π-δ)∪(π-δ,2π-δ)∪(2π-δ,2π]范圍內時,可以避免這種奇異。

(2)L 2L 3sinβ+L 1L 3cosαcosβ=0,即 tanβ/cosα=-L 1/L 2時,由于 L 1＞0,L2＞0,α和β都在(π,2π)才能保證上式成立,所以在此區間,發生正運動學奇異。α和β都在[0,π]區間,可以避免該種奇異。

5.2 逆運動學奇異

當det Jinv=0,但 det Jdir≠0時,發生逆運動學奇異。當發生此種奇異時,即使動平臺的速度為0,機構的一個或多個主動副的速度也不為0。

由式(21)可知,當det J inv=0時,有

所以產生正運動學奇異有兩種情況：

(1)q1=0,此時 U4、P3和 R2位置重合 ,都處于R2的位置,對于實際機構,為避免它們發生干涉,要求q1＞0,所以這種奇異位形可以很容易避免。

(2)q2=0,此時 S5、P6、S7位置重合 ,都處于S5的位置,對于實際機構,為避免它們發生干涉,要求q2＞0,所以這種奇異位形可以避免。

上述分析表明,只要保證q1＞0,q2＞0,該機構就不存在逆運動學奇異位形。

5.3 混合奇異

當det J dir=0且det J inv=0,也就是正運動學奇異和逆運動學奇異同時發生時,才發生混合奇異。由逆運動學奇異性分析可知,只要保證q1＞0和q2＞0,逆運動學奇異就不會發生,相應地也不會發生混合奇異。

由上面3類奇異分析表明,若兩個主動輸入大于 0,并將α限制在[0,π-δ)∪(π-δ,π]內,β限制在[0,π]內,該機構就不會發生任何奇異。

6 結論

(1)本文提出了新型2R型并聯機構,該機構具有3條支鏈,兩條支鏈中的伸縮桿移動副可作為主動副。

(2)位置正逆解均為一元二次解析式,速度分析時的正逆雅可比矩陣都為三角陣。如果主動輸入大于0,逆運動學奇異和混合奇異都不會發生。

(3)機構全局雅可比矩陣為三角矩陣,該機構為完全解耦并聯機構,因此機構在控制和軌跡規劃等方面較為簡單,有利于進行實時控制。

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