支撐結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究

方子帆 楊 磊 杜道佳 何孔德 張 屹

三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,宜昌,443002

0 引言

支撐結(jié)構(gòu)是一個(gè)復(fù)雜組合結(jié)構(gòu),承受著被支撐物的所有動(dòng)態(tài)載荷和靜態(tài)載荷,其結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)對(duì)于整個(gè)裝置的性能起著重要的作用。支撐結(jié)構(gòu)在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中,沒有考慮結(jié)構(gòu)在運(yùn)行過程中載荷與約束的變化,并且為保證其安全性,設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)剛度、強(qiáng)度有較大富余,這樣浪費(fèi)了材料,增加了整體重量。為了改進(jìn)設(shè)計(jì)方法,得到更優(yōu)的結(jié)構(gòu)形式,在綜合考慮多工況的基礎(chǔ)上進(jìn)行了多目標(biāo)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì),在確保支撐結(jié)構(gòu)強(qiáng)度、剛度的前提下,使得結(jié)構(gòu)輕量化,達(dá)到減少材料用量,降低制造成本的目的。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)有設(shè)計(jì)變量、約束條件和目標(biāo)函數(shù)三要素。根據(jù)設(shè)計(jì)變量的不同,可分為尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)、形狀優(yōu)化設(shè)計(jì)和拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)三個(gè)層次,尺寸優(yōu)化是選取結(jié)構(gòu)元件的幾何尺寸作為設(shè)計(jì)變量;形狀優(yōu)化是選取結(jié)構(gòu)的幾何特征作為設(shè)計(jì)變量;而拓?fù)鋬?yōu)化則是選取結(jié)構(gòu)的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量。優(yōu)化的層次越高,優(yōu)化工作越難。Mlejnek等[1]從工程角度出發(fā)提出了結(jié)構(gòu)材料密度的冪次懲罰模型,通過在0～1離散結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題中引入連續(xù)設(shè)計(jì)變量,并加入中間密度懲罰項(xiàng),從而將離散結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為連續(xù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,這一方法構(gòu)成了后來密度法材料插值模型的基礎(chǔ)。Sigmund[2]對(duì)密度法材料插值模型進(jìn)行了深入研究,從理論上研究了各種不同的密度法材料插值方法,提出了一種基于正交各向同性材料密度冪指數(shù)形式的變密度法材料密度插值理論,又稱為SIMP理論。隋允康等[3]提出了一種獨(dú)立連續(xù)映射模型方法,成功解決了多工況應(yīng)力與位移約束下的桁架結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,并嘗試將此方法推廣到連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中,研究了位移和應(yīng)力約束下的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題。本文以支撐結(jié)構(gòu)為對(duì)象,通過建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型,研究了多工況下結(jié)構(gòu)材料的最優(yōu)布局和結(jié)構(gòu)固有頻率最大化的優(yōu)化問題。

1 基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

1.1 基于變密度法材料插值模型

變密度法是從均勻化方法[4]發(fā)展而來的,它定義了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式來表達(dá)每個(gè)單元的彈性模量與密度之間假定的函數(shù)關(guān)系,將材料的相對(duì)密度作為設(shè)計(jì)變量,結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題就轉(zhuǎn)換為材料的分布問題。變密度法[5]通過引入懲罰因子,假想一種相對(duì)密度在0～1之間可變的材料,并在材料的彈性模量和單元相對(duì)密度之間建立起顯式的非線性函數(shù)關(guān)系,當(dāng)設(shè)計(jì)變量在(0,1)之間時(shí),對(duì)中間密度值進(jìn)行懲罰,使中間密度值逐漸向0/1兩端聚集,將密度值趨近0的密度單元忽略,密度值趨于1的單元保留。

材料插值模型的懲罰函數(shù)定義為

式中,Ei(x)為第i個(gè)單元的密度;E0為單元滿材料時(shí)的彈性模量;x為材料的相對(duì)密度;p為懲罰因子。

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型

在一定材料用量條件下,以密度函數(shù)來尋找最大剛度的結(jié)構(gòu)材料最佳分布形式,以結(jié)構(gòu)應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù),體積為約束,相對(duì)密度為變量,基于變密度法的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

式中,x為設(shè)計(jì)變量,即式(1)中的材料相對(duì)密度;n為設(shè)計(jì)域中有限單元個(gè)數(shù);C(x)為目標(biāo)函數(shù),表示結(jié)構(gòu)的柔順度;K為結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣;U為結(jié)構(gòu)的總體位移向量;F為結(jié)構(gòu)所受的載荷向量;V為結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的體積;vi為結(jié)構(gòu)單元體積;p0為給定材料用量比率;V0為初始結(jié)構(gòu)體積;V*為體積上限;xmin為最小相對(duì)密度。

1.3 多工況應(yīng)變能拓?fù)鋬?yōu)化函數(shù)

通過對(duì)式(2)的迭代,得到結(jié)構(gòu)在體積約束下某單工況載荷作用下產(chǎn)生的最小靜態(tài)應(yīng)變能,結(jié)構(gòu)的靜態(tài)應(yīng)變能C可以通過下式表示[6]：

可以認(rèn)為應(yīng)變能是結(jié)構(gòu)剛度的倒數(shù),當(dāng)載荷給定后,結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能越小則表示系統(tǒng)的剛度越大。應(yīng)變能必須與靜態(tài)子工況相關(guān)。當(dāng)結(jié)構(gòu)工作于多工況載荷時(shí),每一個(gè)工況將對(duì)應(yīng)一個(gè)剛度的最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)?不同的載荷工況將得到不同的結(jié)構(gòu)拓?fù)洹Ｒ虼?多工況拓?fù)鋬?yōu)化問題屬于多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題。用折中規(guī)劃法[7]來研究多目標(biāo)優(yōu)化問題,構(gòu)建的多工況拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

式中,m為工況數(shù);wk為第k個(gè)工況的權(quán)重;Ck(x)為第k個(gè)工況的子應(yīng)變能優(yōu)化目標(biāo)函數(shù);Cmkin為第k個(gè)工況子應(yīng)變能目標(biāo)函數(shù)的最小值,即在多目標(biāo)問題中,只考慮其中一個(gè)目標(biāo)函數(shù),而暫不考慮其他子目標(biāo),但仍保留所有的約束條件得到的最佳解;Cmkax由優(yōu)化迭代中第0步的初值得到。

1.4 多目標(biāo)下的目標(biāo)函數(shù)

多目標(biāo)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)[8]是一個(gè)由子目標(biāo)構(gòu)成的向量,用剛度和頻率兩個(gè)子目標(biāo)作為優(yōu)化主體,以體積作為約束,得到的多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

式中,Λ(x)為設(shè)置的第一階固有頻率優(yōu)化變量;Λmax為單獨(dú)對(duì)第一階固有頻率優(yōu)化得到的最大值;Λmin為對(duì)優(yōu)化前的原模型進(jìn)行分析得出的最小值。

2 模型算法與流程

2.1 子目標(biāo)權(quán)重

分析層級(jí)法采用配對(duì)比較的方法,不同時(shí)比較所有的子目標(biāo),而是將子目標(biāo)兩兩比較,形成配對(duì)比較矩陣。

本文中有四個(gè)子目標(biāo)(三個(gè)剛度子目標(biāo)A1、A2、A3和一個(gè)頻率子目標(biāo)A4)的多目標(biāo)優(yōu)化問題,假設(shè)這四個(gè)子目標(biāo)的重要性權(quán)重分別為 α1、α2、α3、α4。先比較出各個(gè)子目標(biāo)重要性權(quán)重的兩兩相互比值,然后以這些比值作為元素,建立配對(duì)比較矩陣：

其中,矩陣A的元素aij(i,j=1,2,3,4)即為子目標(biāo)Ai對(duì)A j的重要性比重的比值。可以發(fā)現(xiàn),此比較矩陣是一對(duì)稱矩陣,對(duì)角線元素全為1,且此矩陣中的元素不具有一致性,即 aik=αi/αk≠(αi/αj)?(αj/αk),這種不一致性更加符合實(shí)際情況,且對(duì)主觀重要性的測(cè)量有“校調(diào)”作用。

將配對(duì)比較矩陣A右乘一個(gè)由所有子目標(biāo)重要性權(quán)重值組成的向量 α=(α1,α2,α3,α4)T,則有：由上式可知,所有子目標(biāo)重要性比重值所組成的向量α即是矩陣A的特征向量,求出此矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量,就是所要求的各子目標(biāo)的重要性的權(quán)重。

設(shè)三個(gè)剛度子目標(biāo) A1、A2、A3和頻率子目標(biāo)A4相互間兩兩比值分別為

則配對(duì)比較矩陣為

求出的矩陣最大特征值為λmax=4.14,對(duì)應(yīng)的特征向量為α=(0.22,0.55,0.34,0.72)T,此特征值即為四個(gè)子目標(biāo)重要性的權(quán)重值。

2.2 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程

在建立的材料插值模型基礎(chǔ)上,基于優(yōu)化準(zhǔn)則法的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化求解流程如圖1所示。

圖1 基于變密度法的拓?fù)鋬?yōu)化流程圖

3 實(shí)例研究

以某俯仰裝置支撐結(jié)構(gòu)為對(duì)象,初始結(jié)構(gòu)如圖 2所示,上板長(zhǎng) 1300mm,寬 1000mm,厚40mm,側(cè)板厚20mm,結(jié)構(gòu)材料為Q235鋼。

圖2 初始結(jié)構(gòu)模型

3.1 邊界條件

俯仰裝置在一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程,受到動(dòng)態(tài)載荷的作用。本文分析俯仰運(yùn)動(dòng)中三個(gè)典型工況,通過動(dòng)力學(xué)軟件提取載荷的最大值,作為靜態(tài)載荷加載在結(jié)構(gòu)上,進(jìn)行靜態(tài)應(yīng)變能工況優(yōu)化。三個(gè)工況分別是支架水平 0°、俯仰75°、俯仰37°。三個(gè)工況的載荷和約束情況如表1、圖 3 所示。

表1 三個(gè)工況下的載荷和約束

圖3 三個(gè)工況的載荷和約束情況

3.2 有限元模型的建立及分析結(jié)果

利用HyperWorks10.0軟件的Hypermesh前處理模塊進(jìn)行有限元處理,然后在OptiStruct優(yōu)化模塊環(huán)境下進(jìn)行優(yōu)化。根據(jù)支撐結(jié)構(gòu)的板結(jié)構(gòu)特點(diǎn),將板殼結(jié)構(gòu)通過抽取中面成為面單元,然后對(duì)面單元賦予厚度屬性,這樣可以提高計(jì)算結(jié)果精度和運(yùn)算速度。

表2為優(yōu)化前后的結(jié)果性能指標(biāo),圖4所示為多目標(biāo)評(píng)價(jià)函數(shù)的迭代歷程,圖5所示為結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果。

表2 優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)性能指標(biāo)對(duì)比

圖4 多目標(biāo)函數(shù)迭代歷程

4 結(jié)論

(1)經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化,結(jié)構(gòu)在三個(gè)工況下的靜態(tài)應(yīng)變能都得到了降低,對(duì)應(yīng)的剛度得到了提升,一階固有頻率得到了提升,更加遠(yuǎn)離了共振頻率區(qū)。

圖5 拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

(2)采用多目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化方法,能從多個(gè)角度較為全面地考慮結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài),有效降低單一工況優(yōu)化造成的設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)。

(3)結(jié)構(gòu)多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化方法適用于板殼類結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì),具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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