基于序列響應面方法的高強度鋼材料參數反求

張 勇 陸 勇

華僑大學，廈門，361021

0 引言

汽車碰撞安全性是汽車設計過程中主要考慮的因素之一［1］，隨著計算機硬件技術及數值仿真技術的快速發展，基于數值仿真技術的汽車安全性設計正逐漸替代傳統的物理整車碰撞安全性實驗。但是，整車碰撞安全性的仿真精度在很大程度上取決于所選材料的本構方程，而本構方程中的材料參數，如彈性模量、硬化指數、應變率、應變速度導致的溫度效應等將直接影響到仿真結果的精確性［2］，因此，準確獲得材料參數對提高碰撞安全仿真結果的可靠性有著顯著的科學意義和實際應用價值。

此外，準靜態工況下進行的單向拉伸試驗得到的材料參數，往往難于反映材料在大變形、大應變、材料快速變形過程中的發熱等對材料性能的影響。材料參數的諸多不確定性使得碰撞安全性仿真的結果時常與實驗結果具有較大的誤差。因此，本文采用有限元技術與數值優化相結合的方法來反求材料的各類參數。該方法采用優化方法進行迭代尋優，從而調整實驗曲線點與仿真曲線點的逼近程度。但是對于碰撞安全這類涉及大位移、大變形的高度非線性仿真問題，當數值優化方法需要成千次調用正問題的計算時，計算成本將成幾何級數的增長，導致優化設計不可行，此外，基于整個設計空間構造的近似模型的精度常常較低，導致基于該模型的優化解的精度差，且不易找到全局最優點［3］。因此，筆者采用逐次逼近的序列響應面方法，使其能在較小的設計空間中構建出高精度的近似模型，從而較好地解決上述問題。

基于物理實驗與數值仿真的幾何與材料參數的識別研究，已取得一些成果［4－13］，但是，基于近似模型方法的材料參數反求，特別對于高強度鋼板DP800的材料參數反求的文獻仍然鮮有報道。因此，筆者將序列響應面近似模型方法與小種群遺傳算法相結合，在基于DP800制作的薄壁吸能管碰撞試驗數據的基礎上，基于真實的試驗條件建立了相關的有限元仿真模型，從而來開展針對高強度鋼板DP800的各項材料性能參數的反求。

1 序列響應面方法

1.1 響應面模型的構建

響應面方法是一種將試驗設計與數理統計相結合來建立經驗模型的一種優化方法［3－4］，它采用擬合與插值的方法分析試驗設計點，從而構建出目標函數與約束函數的響應面近似模型，并以該模型來替代物理有限元模型進行尋優并預測非試驗設計點的響應值。

實際應用過程中，一般采用二階多項式響應面模型，其函數關系為

式中，j為設計變量的個數；β0、βi、βii、βil為待定系數。

當選取了n個試驗設計點時，響應面函數可以通過矩陣形式表示為

式中，ε為誤差矢量。

回歸系數β采用最小二乘擬合方法確定，即

1.2 響應面模型的更新與逐次逼近

設計空間的大小對響應面近似模型的精度具有重要的影響，本文采用在優化過程的不同階段逐步更新與縮放設計空間的方法，使優化設計問題的求解域從初始設計空間中一個較大的設計域轉化成一個較小的信賴域。與在整個設計空間構建的近似模型相比，較小的信賴域內構建的近似模型的精度更高。

設經過第k次優化設計后，設計空間將變為第k＋1次信賴域，而第k＋1次信賴域的中心即為第k次信賴域中的優化設計點x［k］，此次信賴域的縮放和移動關系可用下式表示［3］：

為了保證信賴域更新過程中各變量的縮放比例保持一致，取λ作為所有變量的部分因子，也稱之為變換因子，其表達式為

此時，第i個設計變量在第k＋1次設計子空間的上下界為

在優化設計過程中，整個信賴域的移動和縮放如圖1所示。

圖1 信賴域的變化示意圖

通過設計空間的逐步移動和縮放，優化問題將收斂在一個較小的信賴域中進行，得到精度較高的響應面近似模型與最優設計點，該方法能夠有效地消除噪聲，改善優化算法的收斂性能。

1.3 D最優試驗設計

在整個設計空間選取有限數量的樣本點，使之盡可能地反映設計空間的特性，即稱為試驗設計。試驗設計是構建近似模型的基礎，設計樣本點的選取是否合適對后續的響應面近似模型的構建起著非常重要的作用，它將直接影響構建的近似模型的精度，故試驗設計方法的選取也顯得尤為重要。因此，如何在設計空間內最優布置試驗設計點，也是當前試驗設計理論研究的熱點之一。本文采用了Draper等［14］提出的D最優試驗設計方法來獲取采樣點。

2 DP800高強度鋼材料參數的反求

2.1 DP800薄壁吸能梁的試驗與反求仿真模型

薄壁吸能梁的碰撞試驗示意圖以及它的幾何截面參數分別如圖2與圖3所示。其中，試件夾持在夾具中，其夾持長度L2＝100mm，碰撞吸能自由端的長度L1＝310mm，碰撞質量臺車的質量為600kg，它以15m／s的速度正面碰撞DP800吸能梁，碰撞過程中通過力與加速度傳感器采集碰撞力與減速度［4］。

圖3中，薄壁梁的截面寬度b1＝60mm，截面高度b2＝60mm，界面的圓角半徑R1＝3mm，R2＝2mm，其帽形梁的焊接法蘭長度為25mm，高強度鋼板DP800的板料厚度為1.2mm。碰撞試驗后得到的碰撞力及其變形量等相關試驗數據源于參考文獻［4］。

圖2 薄壁梁碰撞吸能示意圖

圖3 薄壁梁的幾何截面圖

為了模擬整個碰撞過程并反求DP800的材料參數，筆者按照試驗條件建立了其有限元模型，如圖4所示，其碰撞仿真過程在非線性有限元軟件LS－DYNA中進行。薄壁梁在高速碰撞過程中的快速塑性變形使得高強度鋼DP800的溫度迅速上升，導致材料產生溫度軟化效應，同時，高速碰撞過程中，高強度鋼DP800的應變率變化范圍也對仿真精度具有較大的影響。因此，本文采用綜合考慮了溫度軟化效應、應變強化效應、應變率強化效應等影響的Johnson–Cook（J－C）本構材料模型，并以它作為碰撞仿真模型中高強度鋼DP800的本構模型。

圖4 薄壁梁的有限元仿真圖

J－C模型是一種動態的本構模型，J—C模型的等效流動應力隨溫度、應變、應變率的變化而變化，其具體本構表達式為

2.2 DP800材料參數的反求方法

本文采用小種群遺傳算法對高強度DP800的材料參數進行反求，但是，如果遺傳算法直接針對圖4的有限元模型進行尋優，上千次的有限元模型的計算需要被執行，從而導致反求效率極其低下。因此，筆者采用序列響應面方法，在各次信賴域中構建設計目標的近似模型，而使得小種群遺傳算法在近似模型上尋優，從而來提高整個參數反求過程的計算效率。反求過程即是使仿真曲線與該碰撞力曲線相逼近的過程，其逼近示意如圖5所示。

圖5 仿真與實驗曲線逼近示意圖

由圖5可知，當實驗曲線上的插值點較多時，要使得仿真曲線上的對應點與其逼近，將會調用大量的有限元計算，這就需要在仿真曲線與實驗曲線的對應插值點之間都構建一個近似模型來解決該問題。由此可設立反求過程中的目標函數為

式中，K為插值曲線的點的個數；x為設計變量，x＝A，B，C，m，n；Wi為權重系數；fi（x）為響應面近似模型的計算值；Ti為實驗測試點的值；Si為殘差比例系數；ei（x）為殘差值。

因此，DP800高強度鋼板的材料參數反求問題即轉化為以材料參數A、B、C、m、n為設計變量，以式（9）為設計目標的優化設計問題。其數學模型可以表示為

DP800薄壁梁材料參數反求過程可以表示為：首先對DP800梁進行碰撞試驗，得到碰撞力與變形長度的試驗曲線；然后，在整個設計空間中采用D最優試驗設計采樣樣本點，從而構建DP800薄壁梁的各個試驗曲線點的近似模型，并按式（9）形成目標函數；最終，通過在小種群遺傳算法尋優及信賴域的移動和縮放來不斷更新近似模型，直到優化收斂為止。DP800高強度鋼材料參數反求的設計流程如圖6所示。

圖6 DP800材料參數反求流程圖

2.3 DP800材料參數的反求結果及分析

基于序列響應面方法在信賴域內構建了如式（10）所示的目標函數，由于小種群遺傳算法是通過交叉、變異等方式進行尋優的，不需要梯度信息，且在處理設計響應非線性程度高、不連續問題時，具有較好的全局最優搜尋能力，它也可以避免計算過早的收斂，并且在最優區域附近比普通遺傳算法有更好的收斂性［13，15］，因此，本文采用小種群遺傳算法迭代優化。經過8次設計空間的更新優化設計后，目標函數F收斂。DP800高強度鋼板的材料參數A、B、C、m、n的初始值、8次優化迭代過程中的取值、設計目標F的初始值及最優值如表1所示。

由表1分析可知，優化設計過程經過8次響應面近似模型的更新與優化，設計目標F的收斂曲線如圖7所示。材料參數A、B、C、m、n的信賴域的空間也逐漸縮小，材料參數反求過程共調用了81次DP800薄壁梁有限元計算模型，與直接采用傳統優化算法的反求方法相比，序列響應面方法所需調用正問題的次數極大地減少，從而大大提高了DP800高強度鋼板材料參數反求的效率。采用反求得到的材料參數A、B、C、m、n對薄壁梁進行有限元仿真計算，從而得到仿真運行的碰撞力與變形量曲線，它與試驗曲線的對比如圖8所示。

由圖8的試驗曲線與通過反求得到的材料參數A、B、C、m、n計算曲線的對比可以看出，兩條曲線整體趨勢上基本一致，各個峰值的位置也基本相同，從而驗證了基于序列響應面的材料參數反求方法以及基于該方法得到的材料參數值的可行性與正確性。

表1 材料參數及設計目標的優化歷程

3 結束語

本文提出了將序列響應面方法與小種群遺傳算法相結合的材料參數反求方法，將材料參數反求問題轉變為一優化問題，通過信賴域的縮放和更新來不斷地提高近似模型的精度，使整個反求過程的效率得到大大提高，通過對比反求得到的材料參數的碰撞力與變形量仿真曲線與試驗曲線可知，該方法反求的材料參數具有較高的精度，能夠較好地達到工程應用的要求。同時，該方法能有效地減少材料參數獲取過程中的試驗次數，節約成本。

圖7 目標函數收斂曲線

圖8 試驗與反求參數仿真曲線對比圖

［1］ 鐘志華，張維剛，曹立波，等.汽車碰撞安全技術［M］.北京：機械工業出版社，2003.

［2］ 曹銀鋒，李光耀，鐘志華.金屬成型材料參數的反求技術［J］.計算力學學報，2004，21（3）：292－296.

［3］ Kurtaran H，Eskandarian A，Marzouguiel D，et al.Crashworthiness Design Optimization Using Successive Response Surface Approximation［J］.Computational Mechanics，2002，29（4／5）：409－421.

［4］ Tarigopula V，Langseth M，Hopperstad O，et al.Axial Crushing of Thin－walled High－strength Steel Sections［J］.International Journal of Impact Engineering，2006，32（5）：847－882.

［5］ 鄭剛，李光耀，孫光永.基于近似模型的拉延筋幾何參數反求［J］.中國機械工程，2006，17（19）：1988－1992.

［6］ Nagel G M，Thambiratnam D P.A Numerical Study on the Impact Response and Energy Absorption of Tapered Thin－ walled Tubes［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2004，46（2）：201－216.

［7］ Abedrabbo N，Mayer R，Thompson A，et al.Crash Response of Advanced High－strength Steel Tubes：Experiment and Model［J］.International Journal of Impact Engineering，2009，36（8）：1044－1057.

［8］ Han Haipeng，Taheri F，Pegg N.Quasi－static and Dynamic Crushing Behaviors of Aluminum and Steel Tubes with a Cutout［J］.Thin－walled Structures，2007，45（3）：283－300.

［9］ 譚飛，韓旭.基于代理模型的功能梯度梁的材料特性參數反求［J］.復合材料學報，2008，25（5）：176－180.

［10］ 劉迪輝，汪晨，李光耀.薄壁鋼管材料參數反求［J］.中國機械工程，2008，19（6）：688－690.

［11］ Khalfallah H，Bel Hadj Salah H，Dogui A.Anisotropic Parameter Identification Using Inhomogeneous Tensile Test［J］.European Journal of Mechanics A／Solids，2002，21（6）：927－942.

［12］ Gelin J C，Ghouati O.An Inverse Method for Material Parameters Estimation in the Inelastic［J］.Computational Mechanics，1995，16（3）：143－150.

［13］ 韓利芬，高暉，李光耀，等.神經網絡與遺傳算法在拉延筋參數反求中的應用［J］.機械工程學報，2005，41（5）：172－176.

［14］ Redhe M，Forsberge J，Janssone T，et al.Using the Response Surface Methodology and the D－optimality Criterion in Crashworthiness Related Problems［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2002，24（3）：185－194.

［15］ Liu G R，Han X.Computational Inverse Techniques in Nondestructive Evaluation［M］.Boca Raton：CRC Press，2003.