一種軸系全息動平衡配重的多目標優(yōu)化方法

張西寧 趙 明 溫廣瑞

西安交通大學機械制造系統(tǒng)工程國家重點實驗室，西安，710049

0 引言

回轉(zhuǎn)機械軸系不平衡會引起轉(zhuǎn)子撓曲和內(nèi)應(yīng)力，加速軸承和軸封等零件的磨損，降低機器的工作效率，嚴重時會引起各種事故［1］。對于軸系失衡常采用影響系數(shù)法［2］、模態(tài)平衡法［3］、全息動平衡法［1］等方法進行現(xiàn)場校正。由于軸系動平衡本身與單個轉(zhuǎn)子動平衡存在差異，同時平衡還受到測量面選擇、軸系各支承狀況等因素的影響，故直接求解的平衡配重往往不能保證達到最優(yōu)。本文基于粒子群優(yōu)化算法研究解決全息軸系現(xiàn)場動平衡的多目標優(yōu)化問題。

1 全息軸系動平衡

為了消除傳統(tǒng)動平衡方法由于各向支承剛度相等假設(shè)所帶來的計算誤差［4］，本文以全息軸系動平衡方法為基礎(chǔ)展開平衡優(yōu)化。全息軸系動平衡計算需要用到轉(zhuǎn)頻橢圓、全息初相點和遷移矩陣等概念。轉(zhuǎn)頻橢圓是轉(zhuǎn)子各測量面上兩個相互垂直振動信號一倍頻分量合成的橢圓［5］。當轉(zhuǎn)子上的鍵相槽對準鍵相傳感器時轉(zhuǎn)子中心在轉(zhuǎn)頻橢圓上的位置為全息初相點。轉(zhuǎn)頻橢圓中心到全息初相點的向量為全息初相矢。遷移矩陣是在某加重面上添加1000g∠0°試重在各個測量面上引起的振動響應(yīng)矩陣。獲得機組遷移矩陣后，通過調(diào)整各加重面上試重的大小和角度，可減小或消除機組各測量面上的原始振動。

設(shè)軸系具有M個平衡面、N個測振截面，平衡方案中只有一個平衡轉(zhuǎn)速，那么我們期望尋找一組合適的配重向量（pij），使得配重后轉(zhuǎn)子系統(tǒng)滿足以下的振動方程：

式中，Ai0為i測振截面的原始振動；cij為遷移矩陣中j平衡面對i測振截面的影響系數(shù)；pj為在平衡面j上施加的配重。

傳統(tǒng)的影響系數(shù)平衡法根據(jù)M與N的不同，通過求解方程得到配重的解，或按照Goodman提出的最小二乘方法［3］求解殘余振動平方和最小意義下的配重解。全息軸系動平衡按照軸系失衡響應(yīng)的對偶性原則來初步確定平衡配重。

一般平衡的加重面數(shù)M都小于測振截面數(shù)N，因此，現(xiàn)場平衡不可能將各測量面的振動都完全抵消。不同的加重方案會得到不同的殘余振動，有必要對確定的平衡配重作進一步的優(yōu)化。在初步確定的平衡配重的基礎(chǔ)上進行優(yōu)化，進而可得到最優(yōu)平衡配重。

2 軸系平衡配重優(yōu)化

2.1 平衡優(yōu)化目標選擇

以往動平衡以殘余振動平方和最小來求解平衡配重。平衡結(jié)果雖然殘余振動平方和最小，但并不能保證每個測點的殘余振動都比較小，可能存在振動比較大的測點。為此我們選用最小化的殘余振動平方和殘余振動最大值minF2（X）＝min（maxxi）及各測點殘余振動差異性minF3（X）＝min（maxxi－minxi）來衡量機組殘余振動。這樣最優(yōu)配重方案的求解就成為一個多目標優(yōu)化問題。

對于多目標規(guī)劃問題可根據(jù)各個目標的重要程度設(shè)置不同的權(quán)重，通過線性加權(quán)求和法將多目標問題轉(zhuǎn)化為單目標問題求解。然而由于各目標函數(shù)項大小及量綱的差異，故容易造成一些目標函數(shù)總是處于支配地位，而其他的目標函數(shù)得不到有效的優(yōu)化［6］。為此，基于模糊數(shù)學原理建立了各目標函數(shù)的隸屬函數(shù)。各目標函數(shù)的隸屬函數(shù)構(gòu)造為下降半梯形模糊分布函數(shù)：

其中，Mj為目標函數(shù)Fj（X）在可行域內(nèi)的最大值；mj為可行域內(nèi)的最小值。由式（1）可知：某個解越接近目標函數(shù)的最優(yōu)解（最小值），其隸屬度越高。

采用線性加權(quán)和法對各目標的隸屬函數(shù)進行加權(quán)求和，得到總的平衡優(yōu)化目標函數(shù)：

其中，λ1、λ2、λ3分別為各隸屬度函數(shù)的權(quán)重系數(shù)，其取值取決于各目標函數(shù)的重要程度，在這里考慮到優(yōu)化目標F1（X）的主導作用，將權(quán)重系數(shù)定為λ1＝0.7，λ2＝0.2，λ3＝0.1，這能使H（X）取得較大值的配重方案是較優(yōu)的。

2.2 粒子群配重優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法［7-8］是基于對鳥群捕食行為模擬的演化算法。粒子群優(yōu)化求解時，問題解對應(yīng)于搜索空間中一只鳥的位置，稱這些鳥為“粒子”。每個粒子都有自己的位置、速度和一個由被優(yōu)化函數(shù)決定的適應(yīng)值。各個粒子記憶、追隨當前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。每次迭代過程不是完全隨機的，尋優(yōu)中將會以當前找到的較好解為依據(jù)來尋找最優(yōu)解。每次迭代中粒子按照公式，通過跟蹤兩個“極值”來更新自己的速度和位置：一個是粒子自身找到的最好解，叫做個體極值點；另一個是整個種群目前找到的最好解，稱為全局極值點。跟蹤公式如下：

其中，Xi＝ （xi1，xi2，…，xiD）和Vi＝ （vi1，vi2，…，viD）分別是粒子i的位置和速度是粒子i在第k次迭代中第d維的速度；c1、c2是加速系數(shù)，分別調(diào)節(jié)向全局最好粒子和個體最好粒子方向飛行的最大步長，若太小則粒子可能遠離目標區(qū)域，若太大則會導致突然向目標區(qū)域飛去，或飛過目標區(qū)域［7］，本文參考相關(guān)文獻取c1＝c2＝2.05；rand1、rand2是［0，1］之間的隨機數(shù)是粒子i在第k次迭代中第d維的當前位置；pbestid是粒子i在第d維的個體極值點的位置；gbestd是整個群在第d維的全局極值點的位置。為防止粒子遠離搜索空間，粒子的每一維速度vd都會被鉗位在［－vdmax，vdmax］之間，vdmax太大，粒子將飛離最好解，太小將會陷入局部最優(yōu)［7］，本文將vdmax設(shè)計為0.1xdmax。采用將慣性因子從1到0.2隨迭代過程線性減小的方法，使其在前期具有較高的搜索能力以得到合適的種子，在后期具有較高的收斂能力以加快收斂速度。

當加重面數(shù)為K時，粒子群優(yōu)化算法流程如下：

（2）根據(jù)遷移矩陣和原始振動計算配重。再根據(jù)計算配重和允許配重范圍確定粒子搜索空間。

（3）對粒子群體進行初始化，并確定各個子目標函數(shù)的最大值Mj和最小值mj。

（4）由原始振動、遷移矩陣和各粒子所對應(yīng)的配重計算出殘余振動。

（5）根據(jù)適應(yīng)度函數(shù)H（X）＝λ1μ（F1（X））＋λ2μ（F2（X））＋λ3μ（F3（X）），計算種群中各粒子的適應(yīng)度。

（6）按照規(guī)則調(diào)整各粒子的位置和速度，產(chǎn)生新一代群體。

（7）返回第（4）步進行迭代，最終求出模糊最優(yōu)解。

3 軸系動平衡粒子群優(yōu)化方法的驗證

2001年10 月某電廠2號汽輪發(fā)電機組振動實施動平衡，機組結(jié)構(gòu)和傳感器安裝示意見圖1。平衡目標是降低高中壓轉(zhuǎn)子的振動。使用的平衡面為1號軸承端面法蘭、2號3號軸承和4號5號軸承間聯(lián)軸器凸緣，依次記為A、B、C面。對機組進行人工現(xiàn)場動平衡，經(jīng)過多次加重，使得高中壓轉(zhuǎn)子的振動明顯減小，遠離報警水平。

圖1 300MW機組結(jié)構(gòu)示意圖

這里根據(jù)該機組當時動平衡過程中的加重數(shù)據(jù)和振動信號，計算出了機組各加重面的遷移矩陣，并采用粒子群方法進行平衡配重計算和優(yōu)化，表1是經(jīng)多目標優(yōu)化得到的平衡配重方案。機組現(xiàn)場平衡前后的振動及經(jīng)多目標優(yōu)化后的振動如表2和圖2所示。經(jīng)多目標優(yōu)化后機組的高中壓缸的振動顯著降低，同時各個軸瓦的振動也比較均勻一致，符合人們對平衡結(jié)果的期望。因此，使用多目標優(yōu)化，可以得到平衡效果更好、更滿足人們期望的配重方案。

表1 多目標優(yōu)化后的平衡配重方案

表2 機組現(xiàn)場平衡前后及多目標優(yōu)化后計算的振動

為了進一步驗證粒子群優(yōu)化方法的性能，這里又分別采用遺傳算法和粒子群優(yōu)化算法對該機組的平衡方案進行了優(yōu)化。遺傳算法優(yōu)化時的雜交率、變異率根據(jù)文獻［9］建議取為0.4和0.01。兩種方法的種群規(guī)模均設(shè)定為150。為了消除隨機性影響，結(jié)果是30次實驗數(shù)據(jù)的平均值。圖3是兩種方法優(yōu)化過程的收斂曲線。從圖3中可以看出，在種群規(guī)模相同時粒子群優(yōu)化算法的收斂速度明顯高于遺傳算法的收斂速度。

圖2 平衡前后機組的振動三維全息譜

圖3 粒子群優(yōu)化算法與遺傳算法的收斂過程比較

4 結(jié)論

（1）本文提出了評價軸系平衡效果的三個子目標：機組殘余振動平方和、殘余振動最大值、殘余振動差異性，滿足和符合現(xiàn)場機組平衡的實際要求。

（2）基于模糊數(shù)學方法構(gòu)造的平衡優(yōu)化總體目標可實現(xiàn)機組子目標間的優(yōu)化協(xié)調(diào)。

（3）實際平衡優(yōu)化案例驗證結(jié)果表明本文研究的全息軸系動平衡粒子群優(yōu)化方法可實現(xiàn)軸系動平衡多目標優(yōu)化；與遺傳算法比較，粒子群優(yōu)化算法具有計算量小、收斂速度快的特點。

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