全數字接收機中基于準自適應短時反饋的殘余頻偏糾正算法

孫文勝，劉 婷，徐福新

（杭州電子科技大學通信工程學院 杭州 310018）

1 引言

20世紀80年代中后期，一種新的接收機概念——全數字接收機[1～3]出現在人們的視野中。與傳統的無線電數字通信接收機不同，全數字接收機在數字通信接收機的模擬處理區引入了數字處理技術。在全數字接收機中，數字下變頻的本地振蕩信號是一個固定頻率的自由振蕩信號，它不可能和輸入信號的載波頻率完全相等，它們之間必然存在頻差，為了實現載波同步，必須估計和消除頻偏誤差。傳統的數字通信系統通常采用鎖相環實現載波同步[4]，受無線傳輸及相關器件的影響，用鎖相環鎖定載波相位和時鐘相位并非真正的無偏估計；而全數字接收機采用高速信號處理技術，可以更加精確地估計并糾正頻偏。

全數字接收機的開環頻率估計算法主要有數據輔助和非數據輔助兩種，從試驗結果來看，這些頻偏算法雖然大大降低了系統的頻偏，但是沒有完全解決頻偏估計問題，仍然有剩余頻偏無法得到糾正。由于這些殘余頻偏對系統造成的誤碼率影響很大，因此對殘余頻偏的糾正是一個不能忽略的問題。參考文獻[5]提出利用數據幀內各個OFDM符號的循環前綴分別進行殘余頻偏糾正的算法，該算法雖然能夠較好地糾正每個OFDM符號內的殘余頻偏，但是復雜度較高，在實際應用中較難實現。參考文獻[6]提出利用象限旋轉、坐標平移等操作從數據符號中提取相位信息來糾正殘余頻偏，其計算涉及符號取反、虛實交換、累加等，且僅適用于多徑衰落信道。參考文獻[7]提出基于NDA采用PLL的判決反饋結構對殘余頻偏進行估計補償，但采用基于判決的反饋結構可能會帶來錯誤傳播，惡化接收機性能。本文提出的糾正殘余頻偏算法采用均方誤差值作為衡量標準，通過調節步長來改善殘余頻偏，計算方法簡單，硬件容易實現，仿真結果顯示性能良好。

2 殘余頻偏

在全數字接收機中，設ck為發送的數據信號序列，Δω為載波頻偏，θ為載波初始相偏，n(k)～N(0,2σ2)為方差是σ2的加性高斯白噪聲，r(k)表示經定時恢復后的數據信號，則在定時恢復理想的條件下滿足以下條件。

在實際中，受所采用的頻偏估計算法的精度和噪聲等因素的影響，由頻偏估計算法計算得到的載波頻偏Δω并不等于真實存在的頻偏值，即接收信號經過頻偏糾正后仍存在剩余頻偏，此時實際的數據信號可表示如下。

式中，Δω′代替了原來的Δω，表示糾正后的殘余頻偏。

接收機的載波同步問題包括頻偏糾正和相位補償兩方面，一般來說，相位補償的前提是頻偏得到了很好地估計和校正，但在殘余頻偏的影響下，實際的相位補償應表示為：

將式（2）代入式（3）運算后得到：

從式（4）可以看出，殘余頻偏經過一段時間跨度后會轉化為殘余相位，用φk表示殘余相位，n(k)為相位噪聲，則有：

由于載波頻偏沒有得到很好的糾正，因此這種附加相位偏移不能用統計相位估計方法糾正。這些相位噪聲會導致星座圖模糊，影響系統的誤碼率性能。尤其在256QAM這樣的信號情況下，由于星座圖上的信號點分布密集，因此殘余頻偏轉換對相位噪聲的影響非常嚴重。

表1給出了在不同信噪比、初始頻偏不同的條件下，Kay估計器[8～9]的殘余頻偏Δf及誤碼率Pe（設實驗100次，估計結果取100次實驗結果的均值）。表1中ΔF為Kay估計校正前頻偏，SNR為信噪比，Δf為Kay估計校正后的殘余頻偏。從表1中可以看出，即使在高信噪比條件下，仍然存在幾Hz的殘余頻偏，其導致了解碼性能的下降。

3 均方誤差準自適應短時反饋算法

為了校正殘余頻偏，并且考慮到無線信道通常在緩慢地變化，本文提出了一種均方誤差準自適應短時反饋算法。這里的反饋與鎖相環的反饋不同，它是根據設定的均方誤差門限，用快速迭代法求出殘余頻偏，并以此值為基準對隨后的信號進行糾正，因求得的均方誤差時間及迭代時間極短，所以我們稱之為“短時反饋”；均方誤差的取樣數和取值間隔取經驗值，它們的取值對結果不會造成決定性的影響，這種方法我們稱之為“準自適應法”。在時間間隔到來之時，首先取樣進行運算，運算過程中信號的糾正按規定的步長值進行，運算后得到最新的殘余頻偏，后續的信號按此糾正，即后續的步長值取前一次糾正后計算出的殘余頻偏值。如此反復，既保證了在信道變化時能即時計算出殘余頻偏的大小，也讓計算簡單化，并且不用考慮時延的影響。下面詳細介紹這種算法。

數字化了的接收機基帶信號，通過載波頻差糾正、載波相位誤差糾正和時鐘誤差糾正后，符號輸出為{Ii(t)，Qi(t)}，如果{Ii(t)，Qi(t)}對應星座圖上的坐標點與星座圖上的標準信號點{aj，bj}距離最近，在數字通信中通常將{Ii(t)，Qi(t)}判決為信號{aj，bj}。定義接收機N（N是個經驗值）個信號的均方誤差為σ，σ的取值如下。

式（6）中的 σi由式（7）得到：

表1 Kay估計器的殘余頻偏及誤碼率

式（7）實質上是把解調后的信號點在星座圖上的位置與最近信號點（i、j不一定相同）的位置進行比較，記錄它們之間的距離差。連續N個信號點都進行這樣的誤差統計，然后按照式（6）求距離差的均方誤差。根據實際要求的誤碼率，規定一個誤差門限值（取經驗值），當σ大于此值時，就表示{Ii(t)，Qi(t)}距離參考信號點{aj，bj}較遠，誤碼率達不到要求，需要采用本算法進行糾正。

由于在接收機前采用了類似Kay估計器的頻偏估計算法，因此得到的頻偏值比較接近真實值，此時殘余頻偏是小頻偏，這個殘余頻偏值可能為正，也可能為負。在這種情況下，可以采取逐次逼近的方法進行頻偏糾正。現將算法步驟介紹如下。

①根據式（7）計算當前均方誤差σ。

②規定一個合適的步長L。第一次糾正L Hz，L取經驗值。由表1可知：原始頻偏越大，殘余頻偏越大；信噪比越小，殘余頻偏越大。因此，可根據原始頻偏及信噪比確定適合的步長。這里需要說明的是，L的大小并不影響算法的結果，僅影響迭代次數，在完成第一次殘余頻偏糾正后，可將上次糾正的殘余頻偏值作為下次的步長L。

③設本次糾正后的均方誤差為σ′，前一次糾正后的均方誤差為σ。首先糾正L Hz，計算σ′，把它與σ比較。如果σ′<σ，繼續按此步長糾正并計算均方誤差，直至 σ′>σ，此時改變步長值為-L/2 Hz，即縮小步長值為原來的1/2并向相反方向糾正頻偏，相反方向糾正頻偏至σ′>σ時，調整步長值為L/4，即步長值反向并縮小2倍，繼續迭代并比較σ′與σ之值。如此反復至σ′的值小于規定的均方誤差判決門限值即可。

④如果第一次糾正L Hz后σ′>σ，則說明糾正方向不對或者步長過大，此時直接將步長調整為-L/2進行糾正，其余操作如③。

此算法的關鍵在于不斷比較后一次與前一次均方誤差值，當后一次均方誤差值比前一次小時按原來步長糾正頻偏，當后一次均方誤差值大于前一次時，糾正方向改變，糾正數值減小為原來的一半。通過不斷迭代，殘余頻偏得以良好的消除。把每次反饋進行頻偏糾正的值累加起來就可以得到殘余頻偏值。

一般在信道不改變的情況下，殘余頻偏的變化是緩慢的，可以認為在一段時間內殘余頻偏值是不變的，所以一次殘余頻偏糾正具有一定時間的持續有效性。這就是說適當的糾正間隔也是必要的。雖然通過短時反饋能夠較準確地計算出殘余頻偏，但是在對后續接收信號的糾正中如何判斷糾正的有效時間以及如何利用均方誤差閾限準確地判決殘余頻偏并進行計算顯得非常關鍵。在實驗中對均方誤差閾限值進行研究，發現它受某些參數的影響。下面就MPSK和MQAM說明均方誤差閾值實驗取得的過程。

（1）MPSK解調碼元周期與均方誤差閾限的關系

首先探究在MPSK解調中碼元周期、預設頻偏同均方誤差之間的關系，這里以解調8PSK信號為例進行說明，并用碼元速率來表達碼元周期，碼元速率與均方誤差值的關系如圖1所示，不同碼元速率與誤碼率的關系如圖2所示，三條曲線分別代表三種不同的預設頻偏下的曲線。

在圖1可以發現，當碼元速率達到某一個固定值的時候，如果繼續下降，均方誤差值出現顯著上升的趨勢并隨著碼元速率減小到一個峰值然后驟然下降。當均方誤差從峰值下降時，對應的圖2的誤碼率仍然保持很快的增長趨勢，甚至當均方誤差值低于判決閾限時（如圖1中表示的0.3），圖2中的誤碼率攀升到接近于10-1。這個問題很重要，它關系到在什么情況下可以使用提出的均方誤差短時反饋算法糾正殘余頻偏。

以8PSK為例，將解調后的點與8PSK星座圖上8個標準點進行比較，并且計算解調后的點與標準星座圖上點的距離差，將距離標準點最近的點判定為屬于此標準點，正是因為這樣，在偏差大時判定可能出錯。如圖3所示，解調后本應為A位置的點在不同頻偏情況下分別偏移到了a、b、c，可以看出 a點與 A點的位置非常接近，根據式（6），當大部分解調后的點處于這種情況（其他標準點B、C、D、E、F、G、H同A點）時，生成的均方誤差值一般低于判決閾限，此時可認為無需進行頻偏調整。當偏移點為b時，如果解調后的點均為這種情況，顯而易見均方誤差值要高于判決閾限，這時候就要對其進行殘余頻偏糾正，使解調后的點最大程度地向A點靠近。但當點的位置偏移到c時，判決時與它對應的標準點為B，如果大部分解調后的點的情況如此，雖然系統的均方誤差值會很小，但是誤碼率極高，這種情況無法利用均方誤差短時反饋算法進行殘余頻偏糾正。

同時將圖2中碼元速率的臨界值對應到圖1中不難發現，對應系統要求的誤碼率可得到對應的均方誤差值，此值即可作為均方誤差閾限值。實驗中預加的不同頻偏值對應的曲線在近乎零誤碼率下的均方誤差值的閾限是相同的，這說明系統中的頻偏值不影響均方誤差短時反饋算法中判決閾限值的設定。從圖1中可以看出：當預設頻偏為700 Hz時，判決閾限約為0.35；當預設頻偏為500 Hz時，判決閾限約為0.35；當預設頻偏為100 Hz時，判決閾限仍約為0.35。

（2）MQAM解調M值與均方誤差閾限的關系

在MQAM中不同的M值所對應的零誤碼率下的均方誤差閾限隨著M值的變化而變化。假設已調制的信號最大幅度為1，則MQAM為矩形的最小碼距為：

式（8）說明，隨著M值的增大，各標準點之間的最小碼距是逐漸遞減的，也就是說M值越大，其抗干擾能力越差。如圖4所示，未糾正殘余頻偏前，很小的殘余頻偏也會導致256QAM的星座圖十分模糊。

由于高階的MQAM系統其碼距很小，因此算法所要求的均方誤差閾值也應相應減小。實驗得出在MQAM中M值與均方誤差閾值的關系如圖5所示，可以看出在MQAM中零誤碼率的均方誤差閾值是隨著M值的增加而減小的。

圖6給出了256QAM殘余頻偏調整之后的星座圖，與圖4對比可明顯看出去除殘余頻偏的256QAM星座圖比有殘余頻偏的256QAM星座圖清晰，也就是說去除殘余頻偏后得到的碼元誤碼率明顯降低。

表2給出了利用均方誤差反饋算法經多次實驗后得到256QAM系統的誤碼率等相關實驗數據。

需要注意的是，本文提出的這種殘余頻偏糾正算法不能獨立地成為一種頻偏算法解決方式，它的應用必須建立在系統已經通過較為有效的頻偏估計算法對頻偏進行糾正的基礎上，只有這樣才能對頻偏進行更有效的糾正。

4 結語

本文提出了一種糾正殘余頻偏的均方誤差反饋算法，并說明了均方誤差閾值的選取方法。此算法以一定的運算量為代價，達到對殘余頻偏有效糾正的目的。Matlab仿真結果表明，利用此算法糾正殘余頻偏后系統誤碼率明顯降低。

在實際應用中，可利用一個適當大小的存儲器來存儲每次經過頻偏糾正后的數據，以備下次反饋之用。在信道條件相對穩定的情況下，殘余頻偏的變化是緩慢的，可以認為在一段時間內殘余頻偏的頻偏值是固定的，這時利用已得到的殘余頻偏值直接對信號進行糾正，只需進行一兩次迭代即可，也就是說在信道條件穩定的情況下，較小的計算量也能彌補系統誤碼率性能不足之處，滿足實時處理的要求。

表2 256QAM均方誤差反饋算法實驗數據

1 張公禮.全數字接收機理論與技術.北京:科學出版社,2005

2 戈穩.雷達接收機技術.北京:電子工業出版社,2005

3 Tsui J著，楊小牛等譯.寬帶數字接收機.北京:電子工業出版社,2002

4 陳紅.鎖相環同步檢波技術及在視頻檢波中的應用.現代電子技術,2008（15）：184～192

5 彭小勇.一種新的基于循環前綴的殘余頻偏糾正算法.中國電子學會第十一屆青年學術年會論文集,2005：215～219

6 李穎.相干QPSK/QAM OFDM系統中的殘余頻偏補償算法.2005年通信理論與信號處理年會論文集,2005：275～281

7 Linling K.A time-frequency decision-feedback Loop for carrier frequency offset tracking in OFDM systems.IEEE Transactions on Wireless Communications,2005,4(2):367～373

8 Gini F,Giannnakis G B.Frequency offset and symbol timing recovery in flat-fading channels：a cyclostationary approach.IEEE Transactions on Communications,1998,46（3）:400～411

9 Kay S.A fast and accurate single frequency estmator.IEEE Transactions On ASSP,1989,37（12）:1987～1990