晶體熱膨脹的研究

尹會聽，方正華

（安徽師范大學物理與電子信息學院，安徽蕪湖 241000）

熱膨脹是晶體最重要的基本性質之一。掌握晶體熱膨脹的變化規律，對生產實踐中合理選擇和使用材料有著重要的意義[1]。

晶體溫度上升體積膨脹，晶體平均原子間距在增加，原子的振動能量上升。嚴格來說，原子若作簡諧振動，則振幅關于原子平衡位置對稱，溫度升高并不會使晶體體積膨脹。實際上原子的振動勢能曲線并不是對稱的拋物線，而是越向右越平滑，如圖1中實線所示。

圖1 原子振動勢能曲線實線為非簡諧振動勢能曲線，虛線為簡諧振動勢能曲線.Fig.1 The curve of atomic vibration potential Solid lines for non-simple harmonic motion and dashed line for the simple harmonic motion.

水平直線與勢能曲線的交點即為原子間距的最大值與最小值，其平均值可近似視為該溫度下的原子平衡間距。實線描述了原子非簡諧振動勢能，隨著溫度的上升，其橫坐標的平均值均大于r0，說明原子間平均距離加大，這正是熱膨脹。

1 線膨脹系數的計算

原子在平衡位置r0時能量最低，原子由平衡位置向右偏離δ位移時，其勢能為U（r0+δ）。將勢能函數按泰勒級數展開如下[1]：

式中第一項為常數，即原子的最低勢能，可取作零勢能；第二項為零，表示原子處于平衡位置時只有動能；第四項為原子相互排斥的非諧項；第五項將反映晶體膨脹隨溫度的變化關系。

2 NaCl晶體的線膨脹系數β

以NaCl晶體為例，根據公式（7）計算不同溫度下的線脹系數，所需參數見表1[3-4]。

實驗中測得不同溫度下NaCl晶體的體膨脹系數[5]，考慮到各向同性晶體體膨脹系數為線膨脹系數的3倍，可求出其線膨脹系數，見表2。

表1 線膨脹系數β計算參數Tab.1 Parameters for the linear expansion coefficient β calculation

表2 膨脹系數——溫度關系（P=0 kbar）Tab.2 The coefficient of expansion and temperature relationship（P=0 kbar）

從圖2線膨脹系數β-T關系曲線可以看出理論計算結果與實驗值在室溫下符合較好，隨著溫度的升高偏差明顯增大。

如果在推導線膨脹系數的計算公式時，勢函數U（r0+β）的泰勒展開式中保留到更高級次項，則線膨脹系數的計算結果將會和實驗值符合的更好；另外，短程勢模型Morse勢的表達式中參量α控制著勢阱寬度，其值與固體物質體積彈性模量的一階導數B＇有直接關系，存在α=B＇0-1。上面計算線膨脹系數過程中將α取作常數，而BOEHLER和KENNEDY發現B＇。隨溫度的增加并不穩定，且在200℃以上隨溫度的增加而逐漸減小，由此可得到表3[5]：

將在高溫段緩慢減小的α值帶入公式（7），計算出相應的線膨脹系數值，經修正后得到的線膨脹系數值見表4。

從圖3線膨脹系數β-T關系曲線可以看出，經參量α修正后得到的理論計算結果與實驗值在室溫和高溫下都符合較好。

圖2 線脹系數β-T關系曲線Fig.2 The coefficient of linear expansion vs temperature

表3 參量α隨溫度變化值Tab.3 The value of parameter α following temper ature

表4 修正后膨脹系數——溫度關系（P=0 kbar）Tab.4 The corrected coefficient of expansion and temperature relationship（P=0 kbar）

3 結果與分析

晶體溫度升高，將具體物質的各相應參量代入由玻耳茲曼統計得到的原子平均位移公式，δ不為零，表明晶體中原子的振動主要表現為非諧振動，因而更合理地研究晶體的熱膨脹，須考慮原子相互作用勢的非諧項。在選用具體短程勢模型Morse勢計算NaCl晶體的線膨脹系數時，考慮到參量隨溫度的變化，計算的結果在室溫和高溫時和實驗值都符合的較好，因此實踐中可以用此法計算NaCl晶體或與其結構相同的晶體的線膨脹系數。

理論計算結果和實驗值還存在的細微差別，主要考慮在理論推導時勢函數按泰勒級數展開后應保留比δ更高的級次以更好反映非諧振動對晶體膨脹的貢獻；還可以考慮選用更好的短程勢模型來替換Morse勢進行計算。另外，實驗必然存在誤差，因此也期待會有更好的熱膨脹系數實驗值出現。

圖3 修正后線脹系數β-T關系曲線Fig.3 The corrected coefficient of linearexpansion vs temperature

[1]鄭國楨,林苗華,林德明.金屬材料熱膨脹系數經驗公式的探討[J].廣東工業大學學報,1999,16(3):1-8.

[2]RUFFA A R.Thermal expansion and melting in cubic crystals[J].Physical Review B,1981,24(12):6 915-6 925.

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[4]RUFFA A R.Thermal expansion in insulating materials[J].Journal of Materials Science,1980,15:2 258-2 267.

[5]BIRCH F.Equation of state thermodynamic parameters of nacl to 300 kbar in the high-temperature domin[J].Journal of Geophysical Research,1986,91:4 949-4 954.