諧波級數表示與周期時變參數模型間關系

曲 強， 金 明 錄

（1.大連理工大學 信息與通信工程學院，遼寧 大連 116024；2.遼寧科技大學 電子與信息工程學院，遼寧 鞍山 114051）

0 引 言

循環平穩隨機過程的研究主要起始于20世紀70年代，最初的研究主要集中在循環平穩隨機過程的分解上，將循環平穩隨機過程分解為一組平穩隨機過程的表達式，這些平穩隨機過程之間是相關的.之后研究的重點又放在信號的自相關函數和功率譜上，由于信號是周期的或幾乎周期的，可以用傅里葉級數來表示.隨后Gradner又提出了譜相關理論和譜冗余概念，并將其應用于解決各種實際問題之中［1］.

循環平穩隨機過程的分析與處理已經廣泛應用于生產和生活的各個領域，越來越受到各學科對其研究的重視，并成為信號處理學界近年來感興趣的研究熱點之一［2～4］.對于循環平穩隨機過程的模型已有眾多研究，文獻［5］研究了適用于循環平穩隨機過程的線性時變周期系統的周期濾波器的設計問題，提出了采用直接型和時間基函數展開型自適應濾波器設計問題，文獻［6、7］分別研究了采用周期自回歸模型和向量自回歸模型實現對二階循環平穩隨機過程的建模問題，文獻［8］研究了線性周期時變模型與線性時不變多輸入多輸出結構間的等價性關系.此外，文獻［9、10］將諧波級數表示應用到電磁場分析與計算之中并獲得較好的效果.

諧波級數表示（HSR）和周期時變參數模型是描述循環平穩隨機過程的兩種常用參數化方法，本文從循環平穩隨機過程的諧波級數表示出發，研究諧波級數表示與周期時變參數模型間的關系，并提出一種構造周期時變參數模型的方法，最后通過仿真驗證這兩種模型的一致性.

1 循環平穩隨機過程及諧波級數表示

1.1 循環平穩隨機過程的定義

若一個隨機過程x（t）的均值Mx（t）與時間有關，是時間t的周期函數，則稱該隨機過程為一階循環平穩隨機過程，即其均值滿足

其中Mx（t）＝E［x（t）］，是隨機過程x（t）的統計均值；T表示周期；k＝1，2，3，….

若一個隨機過程x（t）的時變自相關函數定義為

當對于每一個固定的延時τ，rx（t，τ）是關于時間變量t的周期函數，則稱該隨機過程是二階循環平穩隨機過程.既然rx（t，τ）是關于t的周期函數，rx（t，τ）可以表示為傅里葉級數的形式.令α＝n/T，n＝1，2，3，…，T是rx（t，τ）的周期，則有

其中（τ）被稱為循環自相關函數，α為循環頻率.當α＝0時，Rαx（τ）就是通常的自相關函數.對于一個循環平穩隨機過程而言，必定存在一個循環頻率α≠0，使得循環自相關函數Rαx（τ）不為零.

1.2 循環平穩隨機過程的諧波級數表示

由文獻［1］可知，周期為T的循環平穩隨機過程x（t）可以用一組聯合平穩隨機過程｛xp（t），p＝0，±1，…｝表示，即

其中

由式（6）可知，諧波級數表示中的第p個分量xp（t）ej2πpt/T可以看做是輸入x（t）通過理想帶通濾波器的輸出.該帶通濾波器的傳遞函數為

這樣，從頻域很容易理解諧波級數表示的本質，它是將x（t）分解為以1/T的整數倍頻率為中心頻率及帶寬為1/T的分量之和.雖然式（5）適用于任意的隨機過程，但它特別適用于周期為T的循環平穩隨機過程，這時xp（t）之間是聯合平穩的，它們之間存在相關性；當xp（t）之間不相關時，x（t）為平穩隨機過程.

2 理論分析

循環平穩隨機過程除了可以采用諧波級數表示外，周期時變參數模型（周期自回歸模型、周期滑動平均模型以及周期自回歸滑動平均模型）也是表示循環平穩隨機過程的常用方法.接下來，將從循環平穩隨機過程的諧波級數表示出發，證明通過適當的變換可以將諧波級數表示轉化為相應的周期時變參數模型，進而得到一種求取循環平穩隨機過程周期時變參數模型的方法.

對式（5）中的x（t）以Ts＝T/M為周期進行采樣可得

令p＝rM＋m，上式可化為

由于平穩隨機過程的和還是平穩的，定義M個新的過程式（9）可化為

將nTs簡寫為n，并令n＝cM＋d，式（10）可以表示為

根據Wold分解定理，平穩隨機過程ym（cM＋d）可以采用滑動平均（MA）模型來表示，即

其中w（·）為白噪聲序列.將式（12）代入式（11）可得

盡管式（13）中的b（m，l）是時不變的，但ej2πmd/M是時變的，因此式（13）本質上還是一個時變參數模型.另一方面，因為ej2πmd/M關于d的周期是M，因此也是周期的，令

因為b（d＋cM，l）＝ … ＝b（d＋M，l）＝b（d，l），所以式（13）可以表示成如下的周期滑動平均（周期MA）參數模型的形式：

若令n＝cM＋d，則式（15）可以表示為

至此證明了由諧波級數表示可以獲得相應的周期 MA參數模型.在假設多項式B（z）＝b（n，0）＋b（n，1）z－1＋…＋b（n，q）z－q＋… 所有的根都位于單位圓內時，式（16）所示的周期MA模型是可逆的，可以表示為如下周期自回歸滑動平均（周期AR）模型形式：

其中每個a（n，i）均可由全部b（n，l）的某種函數來表示，由于b（n，l）是周期的，a（n，i）也是周期的，且它們的周期相同.周期自回歸滑動平均（周期ARMA）模型是周期AR模型和周期MA模型之和，因此下面的周期ARMA模型將具有更廣泛的代表性.

考慮到實際應用的需要，周期ARMA模型的階數可以取保證一定精度情況下的有限值.設AR部分和MA部分的階數分別為p和q，則式（18）所示的模型可以表示為

綜上可知：對循環平穩隨機過程的諧波級數表示進行適當的變換，可以得到相應的周期MA模型、周期AR模型和周期ARMA模型表示.

3 仿真研究

為了驗證上述方法的正確性，對由循環平穩隨機過程的諧波級數表示獲得的周期MA參數模型的性能進行仿真.考慮如式（20）所示的諧波級數表示：

其中a（n）為平穩隨機過程，該信號是按照如下方法產生的：首先產生一段在［－1，1］均勻分布的白噪聲，將該白噪聲通過傳遞函數為H（z）＝1/（1－0.9z－1）的低通濾波器后而得到.由式（20）可知，該循環平穩隨機過程的歸一化循環頻率為α＝0.2，經過簡單的推導可以得出其循環自相關函數為

式中：ra（τ）為平穩隨機過程a（n）的自相關函數，其表達式為

其中為平穩隨機過程a（n）的方差.在仿真中＝0.33，樣本點數為1 000，最大延時為40，歸一化循環頻率（按采樣頻率進行歸一化處理）采樣間隔為0.1，并采用高階AR模型來逼近MA模型的方法建立平穩隨機過程a（n）的MA模型，選擇高階AR模型的階數為100，MA模型的階數為16，當獲得MA模型的參數估計后，采用式（16）構造周期MA模型，則所獲得的周期MA模型輸出信號的循環自相關函數如圖1所示.

圖1 循環自相關函數的幅值Fig.1 Amplitude of cyclic autocorrelation function

由圖1可知，當α＝0和α＝±0.2時，周期MA模型估計的信號循環自相關函數不為零，而其他α值的循環自相關函數均為零，與式（21）所示的理論結果相一致，從而說明了本文方法的有效性.

為了進一步驗證諧波級數表示與周期MA模型間的一致性，仿真中選取另外100組與辨識模型無關的樣本進行模型校驗，校驗結果如圖2所示，其橫坐標為樣本點數，縱坐標為輸出信號的幅值.由圖2可知，周期MA模型的輸出與諧波級數模型的輸出基本一致，從而進一步說明了本文方法的有效性.

圖2 模型校驗結果Fig.2 Checked results of model

4 結 論

本文從循環平穩隨機過程的諧波級數表示出發，給出了在一定精度要求下，由循環平穩隨機過程諧波級數表示獲得周期時變參數模型的方法，并通過仿真驗證了該方法的有效性.

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