非最小相位系統的自適應逆控制

楊巧德，張侃健

（東南大學自動化學院, 南京 210096）

1 引言

動態系統的逆模型問題一直是工業控制策略中重要的組成部分。逆模型的精確程度在一定程度上影響了整個控制系統的性能，尤其對于高性能運動控制，其前向控制器的補償很大程度上依賴于逆模型的結構。

對于最小相位系統，其逆是穩定的因果的，而非最小相位系統因不穩定零點的存在，使得系統存在兩種逆，一為因果的但不穩定，二為穩定但非因果，這在實際中是無法實現的。很多文獻對該系統的逆模型進行了討論，文獻[1]針對SISO對象的逆模型提出了各種不同的控制算法，包括精確的和近似的逆模型算法，其中零相位誤差跟蹤控制（ZPETC）得到了大量的應用。文獻[2]將非最小相位系統的逆問題轉化為了H∞范數優化的最優模型匹配問題，這類問題的求解大部分要借助于Nevanlinna-Pick插值或者迭代方法。文獻[3]借助于神經網絡來直接或間接地辨識模型的逆。文獻[4]結合Widrow和Walach提出的自適應逆控制的方法，將神經網絡用于模型的辨識和逆控制。但是這些方法適合于離線的學習，當模型結構具有不確定性或模型不匹配時，實際系統的調節時間要比仿真的結果差，因此，在線學習則需要相應地改變。

與最小相位系統相比，非最小相位系統的一個最大特征就是階躍響應呈現負調或反向響應特性。該負調是無法避免的，而且在某些系統中是十分不利的，必須對過大的負調加以限制[5]，許多文獻恰恰忽視了這方面的限制[6]。消除負調最理想的方法就是零極點對消，但在實際中是不可行的，因為這會使得控制器中含有不穩定的極點，從而使得級聯的系統具有無界的內部信號，這實際上使整個的系統隱藏了不穩定部分[7]。雖然非最小相位系統的逆不易獲得，但可以用近似的逆來代替，特別是自適應逆控制、神經網絡的發展，使得控制實現更加容易。

針對非最小相位系統逆的問題，本文采用N拍帶延遲的FIR濾波器結構近似逆系統，使得逆控制器本身是穩定的，又避免了直接的零極點對消。逆建模時，首先根據對象的先驗知識離線訓練對象的逆模型，然后作為一個前向控制器，再通過LMS算法在線調節控制器中的參數。離線階段，通過RLS濾波算法最小化模型輸出誤差，得到對象的近似逆模型；在線階段，通過LMS算法反傳對象的誤差信號最小化系統的輸出誤差。仿真發現，自適應逆控制既克服非最小相位的負調現象，又使得系統具有較快的響應速度。

2 自適應逆控制結構及算法

2.1 自適應逆控制

自適應逆控制是一種基于動態逆概念的設計方法，其基本的思想就是把對象動態特性看成映射，控制器逼近逆映射，使對象的輸出跟隨指令輸入[8]。它本質上屬于開環控制，利用對象特性的逆作為控制器，與被控對象串聯。與傳統的控制系統相比，自適應逆控制最大的優點在于被控對象動態響應和消除擾動控制可以單獨設計，互不影響，一種控制的最優不會犧牲另一種控制的最優。

完整的自適應逆控制包括被控對象的辨識、逆控制器、擾動消除器三部分。對于自適應逆控制來說，它本質上是屬于開環系統，必須對擾動加以抑制，否則擾動會毫無保留地出現在輸出端。與常規的擾動消除不同，常規的擾動消除只需要從外部獲取其參考信號，用此信號按前饋濾波來實現擾動消除；自適應逆控制中的對象輸出擾動消除則要從對象輸出中獲得相應的擾動參考信號，再用此信號按反饋濾波并從對象輸入中減去來實現。

2.2 自適應逆控制系統

對于一個連續時間的未知對象，設傳遞函數為P( s)，經離散化后得到系統的離散模型為：

系統跟蹤的誤差為：

根據Parserval定理可知：

即

整個控制系統的目標就是使得誤差逼近于0，對于最小相位系統， C ( z)= 1 P( z)，滿足該準則。但對于非最小相位系統，由于零點位于單位圓外，使得系統的逆是不存在的。但是我們通過近似的逆來逼近非最小相位系統中不可逆的部分，目前，常借助于零相位跟蹤誤差控制（ZPETC）、神經網絡、IIR或FIR濾波器方法，而DSP中濾波器設計方法相對成熟，實現更加方便。FIR濾波器只需要選擇合適的參數和濾波器的階數就可以使得輸出誤差最小化。本文模型辨識、逆建模過程均采用自適應FIR濾波器的設計方法。

2.3 對象的正建模

正模型是逆模型的前提，逆模型辨識的好壞取決于正模型辨識的結果。對于具有先驗知識的系統，為了利用有限的觀測值來估計未知的參數，采用遞推加權最小二乘算法。

由（1）式可知系統的輸出為

向量θ代表對象未知的參數，向量φ是由濾波器的輸入輸出信號構成的。遞歸加權最小二乘算法(RWLS）算法如下：

2.4 逆建模

逆模型的建立是以正模型為基礎，圖1為對象的離線情況下逆建模結構圖，其中包括穩定對象和不穩定對象的情況。

自適應逆控制的前提是要保證系統是穩定的，否則，必須采用傳統的反饋控制方法來鎮定系統，控制結構如圖1a所示。只有滿足穩定的條件，才能保證自適應算法在不同的環境下是平穩收斂的。

對于非最小相位系統而言，對象的逆是不穩定的或非因果的。依據Shannon-Bode法，采用FIR濾波器構造近似逆模型是容易實現的，但有時候均方差誤差會很大，若在控制系統中加入適當的延遲環節，可以降低最小均方誤差。本文采用遞推最小二乘的算法構造FIR濾波器實現非最小相位系統最優的延遲逆模型。

圖1

3 對象逆模型的在線調整

離線建模時，逆模型對正模型的誤差非常敏感，使得逆控制的效果有限。而在線調整可以解決兩個問題：（1）單純的FIR可能造成大的跟蹤誤差，（2）當系統隨時間改變時，FIR濾波器的性能會降低[9]。為了提高收斂速度和獲得好的動態性能，可采用LMS算法，以離線建模所得濾波器權值作為在線求逆控制器的初值，或者把LMS的輸出作為控制量輸入的一部分，最終可獲得較為精確的逆模型，如圖2所示。

圖2 逆模型的在線調整

下面給出在線調整算法可行性的證明。

對于SISO系統y=Pu

輸出完全跟蹤輸出時，存在最優的*w使得，

令α=Pr，離散化后得到：

最小均方(LMS)算法是一種隨機梯度算法，滿足了在線更新的要求。它每次迭代時權矢量沿誤差性能曲面的梯度估值的負方向更新，不需要計算有關的相關函數、矩陣求逆。簡單易用，已在自適應濾波、自適應逆控制中得到了非常廣泛的應用。

圖3 自適應線性組合器

4 仿真實例

水輪發電機組系統是典型的非最小相位系統之一，該對象一直是控制中常用的控制模型[10]。該系統主要包括引水系統、水輪機、執行機構、電網（負荷）等幾部分，圖4為水輪機控制系統圖，Mt是水輪機力矩，Qt為流量，H為水頭，而水輪機的模型為：

圖4 水輪機控制系統

考慮壓力引水系統、發電機、負載及電液隨動系統的動態特性，將系統進行線性化處理，得到如圖5所示的線性化方框圖，將圖5化簡得到系統的數學模型為（mg= 0 ）:

水輪機系統在某一實際工況下的參數[10]為：

圖5 水輪機線性化控制方塊圖

FIR濾波器采用128抽頭的結構，系統的離散時間取為0.01s，采用白噪聲作為輸入，對象辨識的仿真結果如圖6所示。

圖6 對象辨識結果

圖7 自適應逆控制仿真

圖8 逆模型中估計權值的輸出

圖9 輸入信號為方波時系統的輸出

圖7是系統在階躍信號下的輸出結果，圖8則為系統逆建模過程中RLS濾波器的估計權值。圖9為系統在跟蹤方波信號的輸出圖形。可以看出，系統能在很短時間內快速地跟蹤輸入信號，有較好的動態性能。

5 結論

本文針對非最小相位系統的特點，采用了自適應逆控制的方法，先通過FIR濾波器離線構造系統近似逆模型，再結合自適應LMS算法實施在線調整，而在線調整算法的加入使系統具備了一定的自適應和魯棒性。仿真發現，該方法不僅解決了非最小相位系統的負調與調節時間耦合的問題，而且還使系統具有較好的動態性能。

[1][1]Brian P. Rigney. Adaptive Seettle-Optimal Control of Servomechanisms[D], 2008.

[2]吳旭東, 鐘宜生, 解學書. 非最小相位不穩定對象的魯棒最優模型匹配[J]. 自動化學報，1999, 25 (2):162-168.

[3]K. Lau, H. Middleton, and H. Braslavsky.Undershoot and Settling Time Tradeoffs for Non-minimum Phase Systems[J]. IEEE Transaction On Automatic Control, Vol.48, No.8, Augst 2003.

[4]Gregory L. Plett. Adaptive Inverse Control of Linear and Nonlinear Systems Using Dynamic Neural Networks[J]. IEEE Transaction On Neural Networks,Vol.14, No.2, March 2003.

[5]Ferry Hadary, Yasuhiro Ohyama, Shinji Hara.Undershoot Reduction for Plants with Real Unstable Zeros[C]. SICE Annual Conference in Fukui, Augst 4-6, 2003.

[6]M. Hanmandlu, Himani Goyal. Proposing a new advanced control technique for micro hydro power plants[J]. Electrical Power and Energy Systems, 2008,(30): 272-282.

[7]Nonminimum-phase Zeros[J]. IEEE Control Systems Machine.

[8]WIDROW B, WALACH E. 自適應逆控制[M]. 劉樹棠，韓崇昭，譯. 西安交通大學出版社，2000.

[9]John T. Wen and Ben Potsaid. An Experimental Study of a High Performance Motion Control System[C]. Proceeding of the 2004 American Control Conference Boston, 2004, 5158-5163.

[10]Variable Structure Neuron Control for Hydraulic Turbine Generators[C], Proceedings of the First International Conference on machine Learning and Cybernetics, Beijing, 2002, 1550-1553.