帶有阻尼項(xiàng)的三維歐拉方程組球?qū)ΨQ解

俞銀晶,朱旭生,李 翠

(華東交通大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院,江西南昌330013)

本文研究了一類帶有球?qū)ΨQ性質(zhì)的等熵可壓縮氣體動(dòng)力學(xué)的歐拉方程組,方程組形式為

式中:標(biāo)量函數(shù)ρ,u分別表示氣體密度、速度;r＞0為空間變量;t＞0為時(shí)間變量;P表示氣體壓強(qiáng),并滿足P(ρ)=a2ργ;a為正常數(shù);γ為絕熱指數(shù);-α ρ u表示阻尼項(xiàng);α為常數(shù)。

對(duì)于一維歐拉方程,經(jīng)典解的存在性和爆破問題已經(jīng)被很多人研究過了,在文獻(xiàn)[1]中研究了一維帶阻尼項(xiàng)的Euler方程組初邊值問題的齊次Dirichlet邊值情形。當(dāng)初值在平衡解附近小擾動(dòng)時(shí),得到了時(shí)間整體解的存在唯一性,在文獻(xiàn)[2]中介紹了大初值條件下,一維歐拉方程組經(jīng)典解的爆破。因此,本文考慮把三維歐拉方程轉(zhuǎn)化為一維歐拉方程,即通過球?qū)ΨQ變換,降低維數(shù),進(jìn)而簡化運(yùn)算,得到解的存在性。

首先,方程組(1)轉(zhuǎn)化為對(duì)稱雙曲型方程,進(jìn)而得到局部解的存在性;其次,在等溫情形下,利用方程的轉(zhuǎn)化和在文獻(xiàn)[3]中提到的Lagrangean質(zhì)量坐標(biāo)的引入,方程組(1)被轉(zhuǎn)化為p-系統(tǒng)。考慮到p-系統(tǒng)的研究成果很多,本文通過已研究的帶線性阻尼項(xiàng)的p-系統(tǒng)的理論,以及文獻(xiàn)[4]對(duì)非齊次項(xiàng)的考慮,得到了方程的近似解,最后,推得在有限時(shí)間區(qū)間里,近似解收斂,并證明它為一個(gè)弱解。

1 局部解存在性

沿著粒子軌跡,對(duì)密度求導(dǎo)得

解此常微分方程得

由此可見,引理成立。

由對(duì)稱雙曲型方程組Cauchy問題解的局部存在性理論[5],上述式子(3)(4)有關(guān)于時(shí)間的局部存在性結(jié)論。

2 弱解的存在性

已知對(duì)于三維歐拉方程組,整體解的存在性很難得到,下面證明三維等熵歐拉方程組整體弱解存在。首先,把方程組轉(zhuǎn)化為p-系統(tǒng)。

由方程組(1)可知,在r=0處有奇異點(diǎn)。因此,設(shè)1≤r＜∞,也就是在單位球的外部討論該方程的初邊值問題:

由文獻(xiàn)[3],引入lagrangean質(zhì)量坐標(biāo)

計(jì)算得

下面考慮方程組(7)的初邊值問題:

證明 先給出弱解的定義。

引理3[6]如果存在,使得

那么稱u,v為式子(7)(8)的弱解。

為了證明定理2,我們利用Glimm模式[7]先建立一組近似弱解;然后由其收斂,并通過細(xì)致的驗(yàn)算可以得到式子(9)成立。具體過程如下:

根據(jù)文獻(xiàn)[7]中定理5.1.3有:

4.4 對(duì)同一年份春季干旱評(píng)估，相對(duì)濕潤度指數(shù)(M指數(shù))及標(biāo)準(zhǔn)化降水指數(shù)(SPI指數(shù))的等級(jí)劃分不同，天峻地區(qū)春季“十年九旱”的實(shí)際情況，相對(duì)濕潤度指數(shù)(M指數(shù))對(duì)天峻干旱等級(jí)的評(píng)估更合理。

存在收斂于0+的數(shù)組使得對(duì)所有 m,當(dāng)變量時(shí),有

黎曼問題的中心在t=0,x=jΔx,這里j為奇數(shù)。

對(duì)于初邊值問題:

假如 uh,vh已經(jīng)被定義在0＜t＜nΔt,對(duì)于nΔt≤t＜(n+1)Δt,jΔx≤x ＜(j+2)Δt,這里j為奇數(shù)。定義

這里uh0,vh0表示如下:

于是就得到了近似解uh,vh,再由定理的條件以及引理4,可得uh,vh有界。那么存在u,v,使得 uh,vh在局部可積空間中唯一收斂到u,v。

下面證明u,v為弱解,也就是式子(9)成立。令函數(shù)φ,ψ為對(duì)于區(qū)間{(x,t):0＜x＜∞,0＜t＜T}的緊集,并有先證方程組(9)中第一式,由于 uh為弱解,那么滿足:

對(duì) n求和,有

這里 N=T/Δt,當(dāng)N →∞時(shí),上述方程的右邊趨向于零,左邊 uh→u,vh→v,則

由于 vh為弱解,滿足

等式右邊 =-I1-I2。這里

當(dāng)N →∞時(shí),Δ t→0,表示了網(wǎng)格分得足夠細(xì)時(shí)I1→0。

當(dāng)N →∞時(shí),Δt→0,表示了網(wǎng)格分得足夠細(xì)時(shí)I2→0。

式子(16)左邊當(dāng)N→∞時(shí),uh→u,vh→v,那么方程組(9)的第二式成立。

綜上可知,定理2成立。

[1]朱旭生.帶阻尼項(xiàng)的Euler方程組初邊值問題的經(jīng)典解[J].數(shù)學(xué)雜志,2004,24(4):370-374.

[2]朱旭生,熊顯萍,傅勇.一維可壓縮歐拉解的爆破[J].華東交通大學(xué)學(xué)報(bào),2009,26(2):111-114.

[3]ALI G,TORCICOLLO I.Global solutions to a hydrodynamical model for semiconductors in Lagrangian mass coordinates[EB/OL].[2010-01-15].http://www.na.iac.cnr.it/rapprti/2006/RT312-06.pdf,2006.

[4]YING L A,WANG CH.Global solution of the cauchy problom for a nonhomogeneous quasilinear hyperbolic system[J].Comm Pure ApplMath,1980,33(5):579-597.

[5]KATO T.The Cauchy problem for quasi-linear symmetric hyperbolic systems[J].Arch Rational Mech Anal,1975,58(3):181-205.

[6]TETU MAKINO,KIYOSHI,MIZOHATA,SEIJI UKAI.The Global Weak Solutions of the Compressible Euler Equation with Spherical Symnetry[R].日本:數(shù)理解析研究所,1992:1-28.

[7]DENIS SERRE.Systems of Conservation Laws[M].英國:劍橋大學(xué)出版社,2000:146-182.

[8]朱長江.Convergence rates to nonlinear diffusion waves for weak entropy solutions to p-system with damping[J].Science in China,2003,46(4):562-575.

[9]KENJI NISHIHARA.Boundary Effect on Asymptotic Behavior of Solutions to the p-system with Linear Damping[R].日本:數(shù)理解析研究所,1999:78-94.

[10]KENJI NISHIHARA.Lp-convergence Rate to Nonlinear Diffusion Wavea for p-system with Damping[R].日本:數(shù)理解析研究所,1999:95-113.

[11]JIALE HUA,TONG YANG.An improved convergence rate of Glimm scheme for general systems of hyperbolic conservation laws[J].Journal of Differential Equations,2006,231(1):92-107.

[12]LING HSIAO,TAO LUO,TONG YANG.Global BV solutions of compressible euler equations with spherical symmetry and damping[J].Journal of Differential Equations,1998,146(1):203-225.