薄膜二次屈曲行為的數值仿真分析

李云良，譚惠豐，譚憶秋，魯明宇，歐進萍

(1.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，哈爾濱 150090，liyl－hit@163.com;2.哈爾濱工業大學土木工程博士后流動站，哈爾濱 150090;3.哈爾濱工業大學復合材料與結構研究所，哈爾濱 150001;4.香港理工大學機械工程學院，香港;5.大連理工大學土木水利學院，大連 116023)

薄膜二次屈曲行為的數值仿真分析

李云良1，2，譚惠豐3，譚憶秋1，魯明宇4，歐進萍2，5

(1.哈爾濱工業大學交通科學與工程學院，哈爾濱 150090，liyl－hit@163.com;2.哈爾濱工業大學土木工程博士后流動站，哈爾濱 150090;3.哈爾濱工業大學復合材料與結構研究所，哈爾濱 150001;4.香港理工大學機械工程學院，香港;5.大連理工大學土木水利學院，大連 116023)

建立了薄膜二次屈曲分析的數值方法.采用施加面外擾動力的方式在薄膜中引入任意的初始缺陷，分析了薄膜的二次屈曲現象.分析表明，在薄膜的后屈曲過程中，由于初始缺陷的存在，褶皺構形不穩定，出現二次屈曲現象，產生了新的褶皺.后屈曲平衡路徑呈現多階段的特點.在不同的初始缺陷和加載過程的情況下，薄膜的后屈曲過程會出現連續的二次屈曲現象.二次屈曲過程中薄膜可能是穩定的也可能是不穩定的，與初始缺陷及加載過程有關.

薄膜;褶皺;二次屈曲;數值方法

當結構進入到后屈曲階段時，一些結構可能出現屈曲模態突然的變化，這一現象被稱為模態跳躍.Stein［1］曾發現，隨著加載過程的延續，矩形板在后屈曲階段會出現縱向波形的突然變化，這種現象后來被稱為二次屈曲.Keller和Reiss［2］在進行軸對稱圓盤的實驗中也出現了二次屈曲現象，在邊緣處出現了環向的褶皺變形.此后，Stoll和Olson［3］在進行薄板的單軸壓縮實驗中也都發現了二次屈曲現象.

針對實際存在的二次屈曲現象，很多研究者進行了理論研究和數值模擬分析［4－7］.對于某些板殼結構在二次出現過程中，其承載能力有所提高，并沒有失穩，因此研究二次屈曲具有工程意義.在實際的屈曲行為中，存在著一類特殊的屈曲現象，即薄膜的屈曲.在薄膜結構中，由于薄膜的彎曲剛度很小，所以當薄膜中出現壓應力時，薄膜會產出面外變形而形成褶皺，這一特殊的面外變形現象，可以處理為薄膜的屈曲行為，對于薄膜屈曲行為的分析可以獲得薄膜的褶皺變形模式［8－9］.除了對褶皺的面外變形進行預測分析之外，通過對薄膜的后屈曲過程的分析可以預知，當薄膜中出現褶皺進入到后屈曲階段時，薄膜的屈曲模態并不一定是穩定的.即隨著加載過程的延續，其后屈曲的褶皺模式并不一定是單純的褶皺幅度的變化，有可能出現波形的跳躍，即有新的褶皺出現.也就是在后屈曲的過程中，通過進一步的屈曲而產生了新的褶皺，本文將這一過程定義為薄膜褶皺的二次屈曲.目前對于薄膜褶皺的二次屈曲現象還沒有進行較為深入的研究.

本文考慮了薄膜具有微小的初始面外變形，采用有限元軟件，分析了不同加載過程中薄膜的二次屈曲過程，研究了二次屈曲平衡路徑的特點，并分析了二次屈曲過程中褶皺的變形模式.

1 薄膜二次屈曲分析模型

本文所建立的薄膜二次屈曲的分析模型如圖1所示.薄膜的尺寸為380 mm×120 mm.材料常數如彈性模量、泊松比、及薄膜厚度分別為:E=3.53 GPa，μ =0. 3，t=50 μm.位移邊界條件為:左右邊界為自由邊界;上邊緣首先向y方向拉伸一個小的距離δ2，以使薄膜中產生一定的初始應力，然后上邊緣向x方向產生剪切變形δ1.此時在薄膜中會產生與底邊成θ角的斜向褶皺.通過本模型分析后屈曲過程中的二次屈曲現象.

圖1 剪切矩形薄膜

2 二次屈曲的數值分析方法

對于圖1所示的剪切薄膜褶皺二次屈曲分析模型，基于ANSYS程序建立的二次屈曲數值分析流程如圖2所示.首先采用殼單元建模，考慮薄膜微小的彎曲剛度;施加初始張緊力，使薄膜具有一定的初始幾何剛度，使分析能夠啟動;施加初始缺陷，本文考慮的薄膜不是完全的平面薄膜，而是具有一定的微小的面外變形(其量級與薄膜的厚度相當)，對于這樣微小的面外變形，在建模的過程中是無法考慮的，所以本文采用載荷步中施加的方法，即施加垂直于薄膜表面的面外擾動力，使薄膜產生任意形式的面外變形來作為其所具有的初始缺陷.擾動力的具體施加方式為:選取若干個節點，在每個節點上施加垂直薄膜表面的集中力，力的大小為0.01 N，并使正負集中力的數量相同，以保持薄膜所受的面外合力為零;施加邊界上的剪切載荷;進行非線性后屈曲分析，為了獲得二次屈曲的平衡路徑和平衡位形，使分析能夠收斂，要采取控制收斂的措施，最主要的就是采取位移控制收斂的方式，并結合二分法、重啟動分析及N－R法，綜合采取些措施可以使分析獲得收斂;后處理，得到二次屈曲的平衡路徑及其平衡位形.

圖2 二次屈曲分析流程

分析中采用殼63單元建模，考慮薄膜的彎曲剛度.單元數量為5 080個，采用的邊界載荷為δ1=0～3 mm，δ2=0.1 mm.

3 二次屈曲分析

3.1 單次二次屈曲

采用圖2所示的二次屈曲分析流程對薄膜的二次屈曲現象進行分析.剪切距離為1 mm和3 mm時薄膜的縱向中線面外變形曲線如圖3和圖4所示.從圖上可知，當剪切距離為1 mm時薄膜產生了24個褶皺，而當剪切距離為3 mm時產生了26個褶皺.由此可見，當剪切距離從1 mm至3 mm的加載過程中，由已有褶皺分岔產生了新的褶皺.當剪切距離為1.265 mm時，薄膜縱向中線的面外變形曲線如圖5所示.從圖上可以看出，由既有褶皺通過分岔產生了新的褶皺，即出現了二次屈曲現象.

圖3 褶皺構形(δ1=1 mm)

圖4 褶皺構形(δ1=3 mm)

圖5 褶皺構形(δ1=1.265 mm)

選取薄膜上3個節點，其屈曲平衡路徑如圖6所示.粗實線為基本路徑，帶標記的細線為分岔路徑.其中節點C位于分岔區內.從曲線的變化趨勢來看，可以分為五個區:I前屈曲過程;II后屈曲波動過程;III二次屈曲過程;IV二次屈曲波動過程;V穩定后屈曲過程:

前屈曲過程(I區):由于薄膜具有微小的初始缺陷，且有一定的初始面外變形，所以其前屈曲平衡路徑略微偏離了基本平衡路徑;

后屈曲波動過程(II區):由于具有初始缺陷，所以其分支點不是很明確.并且在這個過程中，曲線出現了拐點，即屈曲模態出現了波動，褶皺構形不穩定;

二次屈曲過程(III區):過了P2點之后，3個節點處的面外變形迅速增加，但其承受的外載荷卻沒有明顯的增加，并且馬上又出現了拐點，說明在這個過程中出現了二次屈曲現象.P2點至P4點所對應的薄膜面外變形等高線如圖7所示.從圖上可以看出，二次屈曲首先在邊緣處產生，然后沿著波峰和波谷的中間處向薄膜中心擴展，到達P5點時，二次屈曲已經完成，產生了新的褶皺.

二次屈曲波動過程(IV區):二次屈曲完成后，依然有一個小的波形的波動過程，但這種波動不像后屈曲波動過程那么顯著.

穩定后屈曲過程(V區):過了P6點之后，褶皺的面外變形隨著載荷的增加單向連續的變化，沒有出現拐點，此時褶皺構形已比較穩定，薄膜進入穩定的后屈曲狀態.

另外，從平衡路徑上也可以看出，整個后屈曲過程中，其承受的外載荷是不斷的增加的，可見在這種情況下，薄膜的后屈曲過程依然是穩定的.

圖6 具有初始缺陷的屈曲平衡路徑

3.2 連續二次屈曲

對于不同的初始缺陷，在大范圍的后屈曲過程中薄膜可能出現連續的二次屈曲現象，通過下面的例子可以說明.

在上述的分析過程中，當剪切距離為1 mm時薄膜中將產生24個褶皺，然后改變加載方式，固定薄膜上邊緣x方向的自由度，并施加y方向的張拉作用，張拉至0.5 mm.分析其張拉階段的后屈曲過程.圖8為薄膜上3 045節點N在張拉階段的后屈曲平衡路徑(橫坐標軸為y方向的張拉作用力).從圖上可以看出其后屈曲過程中出現了兩次二次屈曲現象，即AB點之間和CD點之間.ABCD點對應的薄膜面外變形等高線如圖9所示.從圖上可以看出，這種二次屈曲首先在邊界上產生，然后隨著加載過程的延續向中心擴展，產生新的褶皺.

從圖8中也可以看出，在二次屈曲過程中(AB段曲線及CD段曲線)，y方向的張拉作用力稍有下降，說明在二次屈曲發生的過程中結構是不穩定的.

圖8 后屈曲平衡路徑

圖9 二次屈曲構形

4 結論

本文建立了薄膜二次屈曲的分析模型和分析流程，并分析了具有任意初始缺陷的薄膜二次屈曲現象.結果表明，由于初始缺陷的存在，薄膜的后屈曲過程中褶皺模式不穩定，出現了二次屈曲現象.薄膜的平衡路徑呈現多階段的特點.在不同加載方式下，二次屈曲過程中結構可能是穩定的，也可能是不穩定的，并且在薄膜中會出現連續的二次屈曲現象.

［1］STEIN M.Loads and deformation of buckled rectangular plates［R］.Washington:National Aeronautics and Space Administration，1959.

［2］KELLER H B，REISS E L.Nonlinear bending and buckling of circular plate［C］//Proc 3d，U.S.Nat Cong Appl Mech.［S.l.］:American Society of Mechanical Engineers，1958:375－385.

［3］STOLL F，OLSON S E.Finite element investigation of the snap phenomenon in buckled plates［C］//Proceedings of the 1997 38thAIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference.Kissimmee:［s.n.］，1997:2703 －2712.

［4］CHAI H.On the post-buckling behavior of bilaterally constrained plates［J］.International Journal of Solids and Structures， 2002，39:2911 －2926.

［5］CHAI H.Contact buckling and postbuckling of thin rectangular plates［J］.Journal of the Mechanics and Physics of Solids， 2001，49:209 －230.

［6］TIWARI N，HYER M W.Secondary buckling of compression － loaded composite plates［J］.AIAA Journal， 2002，40:2120－2126.

［7］王長國，杜星文，萬志敏.薄膜褶皺的非線性屈曲有限元分析［J］.計算力學學報， 2007，24(3):269－274.

［8］李云良，譚惠豐，王曉華.矩形薄膜和充氣管的屈曲及后屈曲行為分析［J］.航空學報， 2008，29(4):886－892.

［9］LI Yunliang，TAN Huifeng，WANG Changguo，et al.Membrane buckling patterns and secondary buckling analysis［J］.International Journal of Space Structures， 2008，23(3):183－191.

Numerical simulation analysis of membrane secondary buckling behavior

LI Yun-liang1，2，TAN Hui-feng3，Tan Yi-qiu1，LU Ming-yu4，OU Jin-ping2，5

(1.School of Transportation Science and Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China，liyl-hit@163.com;2.Post-doctoral Research Center in Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，Harbin 150090，China;3.Center for Composite Materials，Harbin Institute of Technology，Harbin 150001，China;4.Dept.of Mechanical Engineering，Hong Kong Polytechnic University，Hong Kong，China;5.School of Civil and Hydraulic Engineering，Dalian University of Technology，Dalian 116023，China)

Numerical analysis method of membrane secondary buckling was developed.Arbitrary initial flaw was introduced into membrane by applying outside disturbance，and the phenomenon of membrane secondary buckling was analyzed.It is indicated that in the process of membrane post-buckling，the phenomenon of membrane secondary buckling appears because of initial flaw，wrinkle configuration is instable，and new wrinkles are produced.Post-buckling equilibrium path presents the multistage characteristic.In the case of different initial flaws and loading processes，the phenomenon of continuous secondary buckling emerges in the process of membrane post-buckling.It is concluded that membrane can be stable or not in the course of secondary buckling，which depends on initial flaw and loading process.

membrane;wrinkle;secondary buckling;numerical method

O343

A

0367－6234(2010)05－0784－04

2009－03－11.

新世紀優秀人才支持計劃資助項目(NCET-08-0150).

李云良(1973—)，男，講師;

譚惠豐(1969—)，男，教授，博士生導師;

譚憶秋(1968—)，女，教授，博士生導師;

歐進萍(1959—)，男，教授，中國工程院院士.

(編輯 張 宏)