一種簡便的含裂紋梁的有限元模型

吳國榮，戎瑞亞，劉俊梅

(浙江海洋學院船舶與建筑工程學院，舟山 316004)

裂紋問題廣泛存在于實際工程結構中，特別是巖體工程中的軟弱結構面、結構工程及大型水工建筑物中的施工縫或開裂面、機械工程中的接觸面和航天航空工程中復合材料的層面等均可能出現位移不連續現象，其中有些裂紋危及結構的安全，甚至導致突發的災難性后果，因此，如何有效地識別和檢測裂紋就具有十分重要的工程意義[1]。常見的裂紋識別方法有很多，如超聲檢測法、熒光劑檢測、電渦流與聲發射檢測等,這些方法在裂紋檢測上已取得了很好的效果，然而，這些傳統的裂紋檢測方法都存在著工藝復雜，難以定量分析等缺陷,很容易出現漏檢和誤判。基于振動特性的裂紋檢測法作為一種在線的無損檢測方法近年來越來越受到重視[2-7]。如何建立裂紋的力學模型準確計算裂紋對結構特性的影響是這種無損檢測方法獲得好的效果的前提條件。許多學者對此進行了大量的研究，從解析解、半解析解到數值計算方面提出一系列解決策略[8-10]。

本文研究了含常開裂紋梁的彎曲變形問題，建立起含裂紋的梁單元模型，基于斷裂力學中的含裂紋梁的能量表達式，利用卡氏定理導出了含裂紋梁單元的柔度矩陣；基于力的平衡方程，利用柔度矩陣和剛度矩陣的物理含義導出了含裂紋梁單元的剛度矩陣。基于Matlab軟件進行了數值模擬運算，給出了裂紋對梁撓度的影響。

1 柔度矩陣

對于含有裂紋的梁單元，由于裂紋處截面的轉角不連續，要構造一個恰當的形函數是非常困難的。斷裂力學對由于裂紋尖端的應力集中而引起的應變能的增加作了深入的研究，給出了其計算表達式。從而可以方便地導出含裂紋梁單元的柔度系數。

考慮一含裂紋梁單元，將右邊的單元作為對含裂紋梁單元產生主動載荷，左邊的單元則對其起固定約束作用，建立圖1所示的懸臂梁模型。不考慮裂紋時，該梁單元的變形能為：

圖1 含裂紋梁單元模型Fig.1 The model of the cracked beam element

其中，EI為梁的抗彎剛度，Q和M分別為右端截面上的剪力和彎矩，Le為單元的長度。對于矩形截面梁，由于裂紋而額外增加的變形能為：

式中，a和b分別為裂紋的深度和截面的寬度，ГⅠ和ГⅡ分別為與張開型和滑移型裂紋相對應的應力集中因子，其表達式分別為：

這里，a 為裂紋深度，b 和 h 分別為截面的寬和高，系數 ξ=a/h。函數 FⅠ(ξ)和 FⅡ(ξ)分別為[11]：

記C*為該梁單元的柔度矩陣，由卡氏定理，可得：

式中，

2 剛度矩陣

圖 2 為一含裂紋梁單元，記 F=[Q(1)M(1)Q(2)M(2)]T和X=[v(1)θ(1)v(2)θ(2)]T分別為其節點載荷列陣和位移列陣。由力的平衡方程，可得：

圖2 含裂紋梁單元Fig.2 The cracked beam element

式中，

這里上標“T”表示矩陣的轉置。注意到圖1模型中對節點1處位移的約束，則有：

式中，

由柔度系數的物理含義，有：

由(9)式、(10)式和(11)式，可得：

其中

為含裂紋梁單元的剛度矩陣。當a=0時，則退化為：

這正是采用三次插值形函數的無裂紋梁單元剛度矩陣。

3 數值算例

分別就含常開裂紋的簡支梁和懸臂梁進行了數值模擬運算。梁的幾何尺寸及材料常數為：長L＝1.0 m、高h＝0.04 m及寬b＝0.02 m，彈性模量E=200 GPa。梁受一均布外載q=1.0 kN/m荷作用。表1給出的是無量綱最大撓度(最大撓度與無裂紋梁的比值)隨裂紋深度的變化。表2和表3分別給出的是ξ=0.2時簡支梁和懸臂梁的無量綱最大撓度隨裂紋位置的變化。圖3給出是ξ=0.2和無裂紋梁的撓曲線。圖3和表1 ～3中的xc分別表示裂紋所在的位置對于簡支梁為到支座的距離和對于懸臂梁為到固定端的距離。

表1 無量綱最大撓度隨裂紋深度的變化Tab.1 The variation of the dimensionless deflection with the crack depth

表2 簡支梁的無量綱最大撓度隨裂紋位置的變化Tab.2 The variation of the dimensionless deflection with the crack position of the simple supported beam

表3 懸臂梁的無量綱最大撓度隨裂紋位置的變化Tab.3 The variation of the dimensionless deflection with the crack position of the cantilever beam

圖3 梁的撓曲線：實線為含裂紋梁，虛線為無裂紋梁Fig.3 The beam deflections:solid line for the cracked beam,dashed line for the uncracked beam

4 結論

本文提出了一種簡便的含裂紋梁的有限元模型，基于斷裂力學理論和力的平衡方程，利用柔度矩陣和剛度矩陣的物理含義，導出了含裂紋梁單元的剛度矩陣。分別就簡支梁和懸臂梁進行了數值計算，從結果可以看出：隨著裂紋深度的增加，撓度也隨之增加；對于簡支梁，裂紋在中間位置對撓度的影響最明顯，對于懸臂梁，裂紋在根部位置影響最明顯。

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