基于隨機過程分析的項目投資柔性決策

向鵬成，向 敏

（1.重慶大學 建設管理與房地產學院，重慶 400045；2.重慶郵電大學 自動化學院，重慶 400065）

1 產品價格變動的隨機過程

項目服務年限短則幾年長則十幾年甚至幾十年，在這漫長的壽命周期中，價格受到許多隨機因素的影響而波動，對這種波動進行準確的描述是非常困難的。在產品價格的長期預測實踐中，經常用到時間序列法和供需平衡分析法，但它們的準確性都很不理想。這促使人們去尋求新的思路，即是放棄精確地預測出產品價格的某一水平的企圖，而是考慮價格在項目壽命期內各種可能的波動過程，然后用統計模擬法來分析項目的不確定性，即采用基于隨機過程分析的項目風險評價方法。

在經濟研究中，產品價格變動通常被假定為服從對數正態擴散過程[1]（或稱布朗幾何漂移運動），在這種情況下，可以用如下偏微分方程來描述其隨機波動過程：

式中：Pt為時間t時的產品價格；

dPt為在某一短時間間隔內的價格增量；

dz為在某一短時間間隔內的標準維納過程增量；

μ為價格漂移率；

σ為價格波動率。

上述隨機過程是一種連續的隨機游走，偏微分方程中包含了價格變動的一般趨勢及其隨機擾動兩個因素，從而使它更能反映出價格在時間序列上的動態特征。這一過程從性質上來說屬于馬爾柯夫過程，這就意味著價格的所有未來值只與當前時點價格、漂移率、波動率有關。這樣，只要有了這三個參數，就可以用Monte Carlo模擬出今后的波動情況。

2 價格隨機游走的模擬

在式（1）中，Pt是所欲模擬的某時點價格，dPt是某時點價格增量，μ、σ是給定的參數，dt為模擬過程的時間間隔。由此可見，欲獲得價格的模擬值，關鍵就在于獲得韋納增量dz。由定義可知韋納增量是標準正態變量x與時間增量dt平方根的乘積，即：dz=xdt，所以只要獲得標準正態分布變量即可。一個標準正態分布的密度函數為

其隨機數可用以下方法模擬產生：設r∈[0,1]的分布變量，n為獨立分布隨機變量數，那么近似地服從標準正態分布的變量。當n越大時，其準確度越高，實踐表明，當時，其近似程度就相當不錯了。這時有

通過上述的隨機模擬方法，可以得到在項目壽命期內各年度產品的點價格系列，從而得到產品價格的變動趨勢。

3 項目柔性決策與風險評估

傳統的項目經濟評價中，人們常用一恒定的價格來衡量項目產出的收益，以NPV為準則，并進行不確定性分析。這種方法簡單易行，但反映不出投資者在風險條件下投資行為的主動性，這種主動性能使投資者在很大程度上駕馭風險，比如可以在產品價格較低的時候停止生產，而到價格較高時再進行生產。在實際的投資活動中，有許多項目都具有這種選擇性，這種在投資決策過程中的選擇性也就是我們通常所說的決策柔性，投資者在這種情況下對投資進行的管理就稱為柔性管理。在進行項目決策時也應當考慮這種柔性帶來的經濟效益[2-3]。

對于某一建設項目，按傳統項目經濟評價準則只需滿足NPV≥0，就可以進行投資。由于給定的投資項目的NPV是由項目壽命期內各年的凈現金流所決定的，其凈現金流往往由產品價格所決定。產品價格一般會受到各方面因素的影響而成為一個不確定量，在未來的時間里，產品價格可能上漲也可能下降，這就使得投資項目未來的凈現金流也將變成一個不確定量。如果未來產品價格有明顯下降趨勢可能使得凈現金流小于零，最終可能導致投資項目的NPV＜0；另一方面，未來產品價格盡管有上升趨勢，但價格變動幅度不是很大，在項目整個壽命周期內也不足以收回期初投資，從而使得項目NPV＜0。因此，按傳統項目經濟評價方法進行決策將放棄該項目的投資。如果引入現代企業管理理念，加強管理的主動性，進行柔性管理，情況將會發生很大變化。

項目決策者利用充分利用市場信息得到產品的當前價格，可以模擬出今后的產品價格波動情況，從而進行決策。當未來第t年的產品價格下降使得凈現金流Rt＜0時，決策經營者進行柔性管理，決定停止生產，此時令Rt=0，并將第t年的生產推遲到期末進行。這樣，通過柔性管理可使項目的凈現值NPV≥0或者大于采用傳統決策方法時的凈現值。這就是說利用傳統評價方法經濟上不可行的項目，如果加強管理的主動性進行柔性管理可能變成盈利的項目，或者說進行柔性管理可以使項目得到更多的盈利。

通過價格隨機游走的模擬，可以得到項目未來各年的點價格系列，利用這些點價格便可計算出相應的評價指標，如NPV、IRR等。每一次點價格系列模擬得到一個指標值，依此可重復模擬N次，獲得N個指標值。將這N個指標值作為樣本點，可以估計其均值、標準差、指標值小于零的概率等，從而達到項目決策和風險評估的目的。這一過程涉及偽隨機數的產生和大量的數據計算，由此需要借助于電子計算機。可以通過MATLAB 6.5軟件編程對NPV、IRR等評價指標進行隨機模擬，并計算各指標的均值、標準差及小于零的概率等[4-6]。

4 案例實證研究

在此以某金礦開采投資項目為例，其有關數據如下：

基本建設投資500萬元；年運營成本400萬元；年生產能力為5萬g；假設項目建設期為1年；項目服務年限為10年；預計金礦投產時的價格P0=100元/g；資本折現率為8%。

在本例中假定黃金價格與國際市場價格相同，并按固定的匯率換算成人民幣。從近幾十年來國際黃金價格變動趨勢來看，其增長速度為一個很小的價值，或者可以說黃金的實際價格有顯著的上揚或下跌長期趨勢，因此在本例分析中假定價格漂移率，并根據其波動的歷史數據設置波動率基本值σ=10%，然后對u,σ作不同水平的分析。

利用價格隨機游走的模擬方法，考慮柔性決策的需要，可以獲得未來第1～15年金礦的可能價格，并據此可計算出項目各年的凈現金流量，進而得到項目的凈現值。按上述方法進行重復模擬，一般來說模擬500次能基本反映出真實情況。在此借助MATLAB 6.5軟件進行隨機過程模擬，為了更精確地反映實際情況，在本案例中模擬1000次，從而得到1000個凈現值，將這1000個凈現值作為樣本計算其期望值、標準差和項目NPV＜0的概率。項目NPV＜0的概率對于決策者來說是一個非常重要的信息，因為它能告訴人們此項目在多大程度上失效，反映項目的風險程度。通過隨機模擬可以得到傳統決策方法與柔性決策方法的結果比較，如表1所示。

從表1可以看出，項目的效益與風險狀況隨著μ、σ的變化會發生變化。采取傳統決策方法時，當波動率σ一定時，隨著價格漂移率的增加，NPV的期望值隨之增大，標準差增大但變化不是很明顯，NPV＜0的概率隨之減小；當μ一定時，隨著σ的增加，NPV的期望值隨之增大，標準差也增大，NPV＜0的概率也隨之減小。最希望看到的是σ很小、μ較大（σ=5%,μ=2%），此時，NPV＜0 的概率僅為 5.2%，這時項目的投資風險是很小的。這表明，在波動率σ一定的條件下，隨著價格漂移率μ的增長對項目投資越有利，項目的風險越小。

表1 各種不同μ、σ組合的模擬結果

當進行柔性決策時，NPV的變化趨勢與傳統決策方法時變化趨勢是一致的，但其NPV的期望值將增大，標準差將減小，NPV＜0的概率也將減小。進行柔性決策所帶來的效果也隨著的變化而變化。當u一定時，隨著σ的增加，進行柔性決策所帶來的效果也隨之增大，當波動率一定時，隨著價格漂移率增大，進行柔性決策所帶來的效果將減小。當μ很小、μ較大時（μ=0、σ=15%）時，進行柔性決策所帶來的效益最大；當μ較大、σ較小時（μ=0、σ=5%），進行柔性決策所帶來的效益不是很明顯。這也就是說項目風險較大的情況下進行柔性決策會帶來較好的效益，而在項目風險較小時進行柔性決策所帶來的效益不是很明顯。表1所反映的項目效益與風險狀況隨著存在很大差異，其原因在于在對項目服務期內產品價格的模擬過程中對隨機游走選取了不同的參數所致。由此可見，考慮項目壽命期中的價格變動情況對項目決策和風險分析是非常重要的。

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