統一的傅里葉分析法量化骨料形狀棱角度和紋理

□文/胡建強 邵海成 周立明 項利南

近幾年，成像技術和圖像分析廣泛用于骨料評價中，許多方法可以量化骨料的尺寸、形狀、棱角度和表明紋理。這些方法大體分為2類：第1類采用直接測量線性維數、周長和面積來計算代表形狀、棱角度和表面紋理的圖像指標；第2類要求額外測量邊界條件或強信號的處理過程來匹配形狀、棱角度和表面紋理。第2類方法采用的技術有霍夫變換、傅里葉分析、投影內插、增量邊界分析、子波轉換、快速傅里葉變換、灰度計算和三維層析X射線照相法。

對剖面采用統一的傅里葉分析法可以表征骨料的形態特征，包括形狀、棱角度、表面紋理。此法主要解決2個基本問題：（1）此表征是否能夠得到與定性分類或評價相一致的量；（2）采用不同方向上的剖面而獲得的量是否與眾不同。

傅里葉形態分析的一般理論

骨料顆粒剖面（圖1）可以用一個傅里葉級數表示，如式（1）

式（1）中，坐標的起點統一設于重心。式（1）的優點是每個條件都有一個明確的物理意義，α0為平均半徑，具有旋轉不變性而非起始變異性；（αmcosmθ+bmsinmθ）反應了一個特殊顆粒剖面的特性，其中αm、bm代表量值，m代表頻率，這些條件具有起始和循環移位性。

圖1 傅里葉邊界表示

在顆粒剖面的典型傅里葉分析中，式（2）～（4）分別描述了顆粒剖面的形狀（塊度）、棱角度（粗糙度）和表面紋理。

剖面輪廓的橫斷面面積（A）和平均半徑（α0），具體表示為

這個參數也被認為是m或n的函數并且可以表征顆粒剖面的形狀、棱角度和表面紋理。

重新排列式（7）得

其中

式（9）～（11）分別表示形狀、棱角度和表面紋理。實際上，用[(1+αs)]作為形狀因子以便于理想圓的形狀因子為1。式（8）可以概括為

顆粒特征參數是比例均等的；換言之，一旦所有的條件都歸一化為式（6）所定義的特征長度a0時，它并不隨著各向同性膨脹和收縮的變化而變化。然而，它通常取決于放大的程度和數字化的精確性。為了比較不同骨料的形狀、棱角度和表面紋理特性，必須采用相同的放大率。

如果重心是坐標的起點，那么這個特征是形狀、棱角度和表面紋理的非常好的描述。根據獨立變量m（具有頻率的物理意義）的范圍，式（8）中的每個條件表示歸一化振幅。式（12）反應了傳統定義（2）～（4）中并沒有的一個關系。從這點來看，這個討論將建立在式（9）～（11）中所定義的量的基礎之上。主要的焦點將是確定臨界頻率n1、n2和n3，正是這些頻率將形狀、棱角度和表面紋理區分開。

具有am、bm不同組合和條件數的式（1）可以用來表示復雜變化的形狀。圖2中的剖面反應了頻率m和量級am、bm對剖面形狀、棱角度和表面紋理貢獻的不同。圖2的所有圖像中，平均半徑a0為100個單位。當m=3時，圖2a為三角形；當m=4時，圖2b為矩形；當m≥5時，圖2c和圖2d為模擬骨料剖面棱角度的多角；但是當m＞25時，頻率如此大以至于角落變得如此接近，如圖2e和圖2f所示。

圖2 頻率和數量級對形狀、棱角度和表面紋理的影響

因此，定義低頻率條件1≤m≤4為形狀條件；中頻率條件5≤m≤25為棱角度條件；高頻率條件m＞25為表面紋理條件。

通常情況下，在傅里葉表達法中，大量值和低頻率與邊界的形狀有關；而小量值和高頻率與棱角度和表面紋理有關。傅里葉系數的特性防止了大數量級與高頻率的聯合。

本文的目的之一是評價定量的測量是如何與基于肉眼觀察的定性人工判斷相容的。肉眼可觀察的空間間距為0.2 mm。這就意味著，直徑為25 mm的顆粒，頻率變化（波峰至波谷）不應該超過180。

直徑為25 mm的顆粒的周長大致為78.5 mm。如果取樣間隔為1°（波峰至波谷），那么邊界上兩點間的間距大約為0.22 mm。取樣間隔＜1°用肉眼將無法察得。這就意味著m=180，因為對于正弦函數和余弦函數而言，波峰—波谷的間隔是π；換句話說，在表面波峰和波谷點的總數為360。

對于直徑約為25 mm的剖面，應該采用下列范圍的頻率來定義形狀、棱角度和表面紋理。

（1）形狀條件：m≤4。

（2）棱角度條件：5≤m≤25。

（3）表面紋理條件：26≤m≤180。

敏感度測試

為了評估此法的有效性，尤其它對于分級骨料的一致性，評價了具有清晰形狀、棱角度和表面紋理特性的三種骨料顆粒。圖3所示為顆粒的剖面圖像及它們相應的形狀、棱角度和表面紋理。顆粒1相對比較等軸或圓順、較少的棱角和平滑的表面紋理，具有最小的形狀、棱角度和表面紋理因子。顆粒2比顆粒1更細長，因此具有較大的形狀因子（形狀因子對延展率最敏感）。顆粒2比顆粒1更具棱角而且紋理也更粗糙，所以顆粒2具有更大的棱角度和表面紋理因子。顆粒3最具棱角并且紋理最粗糙，因此具有最大的棱角度因子和表面紋理因子。顆粒3接近于顆粒1。總的來說，定量分類與定性分類一致。

圖3 形狀、棱角度和紋理的定量評估與定性評估

剖面在不同排列方向上的影響

當顆粒處于最穩定位置時，將其固定于平臺上，這樣就可以獲得顆粒的剖面圖像。當剖面處于不同排列方向時，可能具有不同的形狀和棱角度，這可能導致在樣品剖面中存在偏差，見圖4。

圖4 顆粒在3個相互垂直的排列方向上

為了評價不同排列方向上的剖面是如何影響量化參數，分析了石灰石67（LS67）和砂石 78（SS78）的 10個顆粒的3個相互垂直的剖面。為LS67骨料選擇的篩的尺寸變化范圍為9.5～12.5 mm，而為SS78骨料選擇的篩的尺寸變化范圍為12.5～19.0 mm。結果見表1。

表1 2個骨料以不同排列方向獲得的剖面的統計結果

表1表明，樣品在x、y和z方向的平均值并不明顯。這就意味著，讓最穩定方向不同顆粒的剖面來評價它們在沒有引入明顯偏差情況下的形狀、棱角度和表面紋理因子成為可能。表1還表明，不同篩尺寸范圍內（例如，粗骨料和細骨料），骨料顆粒的形狀、棱角度和表面紋理可能存在明顯的不同。這可能歸因于：（1）越小的顆粒通常具有越多的壓碎表面或者說壓碎的更徹底；（2）在工業和材料科學領域對表面紋理定義上的差異。在工業上，河礫石比碎礫石具有更粗糙的表面紋理，但是在化學上，兩者具有相同的表面紋理。

結論

傅里葉形態學分析法是量化骨料形狀、棱角度和表面紋理因子的一個統一法。敏感性測試表明：這種方法能夠取得與建立在性質和過程基礎上的定性分類相一致的骨料分類效果；也發現形狀、棱角度和表面紋理因子的統計有效值可以用來評價任意方向上的30個剖面。

[1]胡江萍.應用傅立葉分析方法描述混凝土集料形狀[J].建材技術與應用,2006，（6）：1-4.

[2]胡江萍.基于圖像處理的混凝土骨料分析[J].武漢工業學院學報，2008，27（2）：66-68.