電池老化時歐姆表測量誤差式的推證、詮釋和例算

潘積亭

(杭州第十四中學,浙江杭州 310006)

關(guān)于舊電池對歐姆表測量的影響,討論甚多,卻未見誤差算式出現(xiàn).其中不少導(dǎo)出以測量時表中電流與表內(nèi)阻關(guān)系[1]的半成品形式出現(xiàn),這只能對測值大小偏向予以定性分析,不能作定量計算;雖也有文曾推出了用電池電動勢表達的相對誤差算式,卻是以串聯(lián)調(diào)零的簡單歐姆表[2]為模型.一些萬用表書在對歐姆檔計算時,更把調(diào)零中表總阻的變化率替代誤差[3、4].而測量誤差的算式卻是一切討論的的基點.故本文重點是沿電池老化時對實際歐姆表測量誤差產(chǎn)生的物理過程來推證誤差算式.

1 誤差算式推導(dǎo)

設(shè)歐姆表的表頭滿偏電流 Igm,標稱值時:表內(nèi)電池電動勢E,內(nèi)電阻 r,在某擋正確調(diào)零時(圖1)Ω表總電流Im,表內(nèi)總電阻 Rm;串入被測電阻 Rx時,表頭電流和Ω表總電流分別為 Ig和 I,則有為表內(nèi)電路中電流變換系數(shù)由調(diào)零電路參數(shù)決定).再由歐姆定律

圖1

在調(diào)零時,有

串入電阻 Rx后

由(1)、(2)式得

或變?yōu)?/p>

(3)式與(4)式雖是數(shù)學變換,卻反映兩個不同的物理過程.(3)式表示串入電阻Rx后電路內(nèi)變成電流訊號的過程,Rx可看作是被測電阻的真實值;而(4)式表示電流訊號在Ω表尺上轉(zhuǎn)換成電阻值的過程,是畫制Ω表尺(R中=RM)的依據(jù),其 Rx應(yīng)看作是測量值(在 RM未變時,兩者顯然相等).

當電池老化時,電動勢降為 E′,內(nèi)電阻增為 r′,經(jīng)調(diào)零Ω表總電流變?yōu)?Im′,表內(nèi)總阻變?yōu)?RM′.串入同一被測電阻 Rx時表頭電流和Ω表總電流分別變?yōu)?Ig′和I′,這時有隨調(diào)零時分流電路結(jié)構(gòu)參數(shù)而變化),類似上面對(3)式的推導(dǎo)可得此時表頭中電流的關(guān)系式為

或變?yōu)?/p>

如果這時重新以(6)式為依據(jù)畫制以中刻度為 R中′(=RMˊ)的Ω表尺.則測 Rx時在新表尺上所示的電阻值(即(6)式左邊的量)仍是 Rx,無測量誤差.而實際上,反映Ig′量的表針卻仍在該表的原Ω表尺(R中=RM)上(即按(4)式)示值,所得測量值將變?yōu)榱硪恢?Rx′(≠Rx),這樣就產(chǎn)生了誤差.反應(yīng)在算式上是將 Ig′換以(4)式中 Ig,其左端的 Rx變?yōu)?Rx′.即

再具體將(5)式中的 Ig′代入(7)式,即得在電池老化的Ω表上測電阻 Rx時(在原表尺上的指示值)的測量值 Rx′為

測量的絕對誤差為

測量的相對誤差為

2 對誤差算式的詮釋

(1)在(3)～(10)式中均無電流變換系數(shù)k,表明實際歐姆表(圖1)與簡單表(圖2)在測量原理和誤差算式上均相同.

圖2

(2)由(10)式知,測值的相對誤差與本文始述的表內(nèi)阻變化率不僅概念上不同,且表達式也有異(具體表現(xiàn)符號和分母均不同),因此將此兩者混同是不妥當?shù)?

(3)(10)式中ΔRM=(RM′-RM)指的是電池用舊經(jīng)調(diào)零歐姆表總阻 RM′對標稱總阻RM(即 R中,等于表尺中刻度值乘該擋倍率)的變化量.而不是對新電池(E可達1.6 V)或標稱電池(E為1.5 V,這時表內(nèi)總阻不一定恰等于標稱總阻 R中)時表總阻的變化量.

3 誤差算式的簡單例算

實際歐姆表與簡單表雖在測量誤差算式上相同.但在具體計算電池老化表內(nèi)阻的變化量ΔRM時,其值和偏向卻因兩者在調(diào)零結(jié)構(gòu)等的差異而大有不同.

對簡單表來說,在電池老化電動勢從標稱值E=1.5 V降到 E′=1.25 V時,由(10)式得測量誤差(偏大),與電池內(nèi)阻變化無關(guān).

對實際歐姆表來說,因是并聯(lián)調(diào)零,由電動勢降低通過調(diào)零引起表內(nèi)阻變化(多為減小)量并不大,且主要表現(xiàn)在(沒有配擋分流電阻或高限流電阻串接的)較高擋(多為R×1 kΩ擋),且多數(shù)表測值偏大(偏值與偏向均與調(diào)零電路參數(shù)有關(guān),與電池內(nèi)阻變化影響甚小).以常用MF-30表(圖3)為例,在 R×1 kΩ擋(RM=R中=25 kΩ),當 E=1.25 V時,由電路參數(shù)算得 RM′=24.73 kΩ,這時由(10)式得測量誤差

最大誤差發(fā)生在極限調(diào)零(對應(yīng) E=1.24 V)時,RM′=

對實際歐姆表來說,電池內(nèi)阻增大的影響主要表現(xiàn)在最低擋(這里調(diào)零對表內(nèi)阻的影響甚小,可略計),且多為先偏大后偏小.仍以MF-30表為例,在×1 Ω擋(RM=25 Ω),在電池用舊不能調(diào)零時,內(nèi)電阻增量(對各電池是不一樣的)以Δr=0.5 Ω計(此時 E=1.35 V),由(10)式得測量誤差為(偏小).有的表歐姆擋電源用 2節(jié) 5號電池串成,在 R×1 Ω擋 RM又不大時,測量誤差就會大些.但若配用新型堿性電池(容量大、內(nèi)阻小)時,誤差會明顯減小.

附:MF-30(B型)歐姆擋電路

圖3

表頭:Igm=37.5 μ A,Rg0=2 kΩ.電池(標稱值):E1=1.5 V,r1=1.8 Ω(含熔絲和表筆等電阻),E2=15 V,r2=1 kΩ.Rs0=4.3 kΩ,RD=1.7 kΩ,Rf1=23.2 kΩ,Rf2=224 kΩ.(各擋分流電阻)RT1=23.2 Ω,RT2=251 Ω,RT3=2.77 kΩ.(調(diào)零回路各電阻和)R回=Rg0+Rs0+RD=8 kΩ.(調(diào)零回路分流電阻)Rs=Rs0+RD1.(調(diào)零電位器始滑點間電阻)RD1=Rs-Rs0.(調(diào)零回路表頭支路電阻)Rg=R回-Rs.

1 羅賢輝.結(jié)論恰恰相反—再談舊電池對歐姆表測量結(jié)果的影響.物理通報,2008(11).

2 戴統(tǒng)一.歐姆表測量誤差原因分析.物理教師,1993(9).

3 沙占友等.萬用表的功能擴展與應(yīng)用.北京:電子工業(yè)出版社,2005.23～24

4 趙寶義.萬用電表.上海:上海人民出版社,1979.67～78