類比法認(rèn)識振動(dòng)方向上存在恒力的簡諧運(yùn)動(dòng)

楊 陽 劉成華

(江蘇省前黃高級中學(xué),江蘇常州 213161)

類比是一種邏輯推理,也是抽象思維中的一種基本形式.它通過聯(lián)想,把未知的事物(研究對象)對比尋常的、熟悉的事物(類比對象),然后依據(jù)兩個(gè)對象之間存在著的某種類似或相似的關(guān)系,從已知對象具有的某種性質(zhì)推出未知對象具有相應(yīng)的性質(zhì).

類比推理有兩個(gè)基本環(huán)節(jié):

(1)選擇類比對象.類比推理是以兩個(gè)對象的比較為基礎(chǔ)的,因此必須根據(jù)研究目的,從研究方法、形成結(jié)構(gòu)、功能特征、因果聯(lián)系等方面的相似之處出發(fā),選擇熟悉的、直觀的事物作為類比對象.

(2)進(jìn)行類比推理.如果對象 X有屬性a,對象X′有屬性a′,則對象 X有屬性b時(shí),對象 X′也可能有屬性b′.

我們先回憶豎直彈簧振子的振動(dòng).

如圖1(甲),當(dāng)物體在平衡位置時(shí)彈簧伸長量為x0,重力和彈力相平衡,則 mg=kx0;

如圖1(乙),當(dāng)物體向下拉一小段距離 x(x＜x0),放手后物體所受合力 F=k(x0+x)-mg=kx,方向向上,指向平衡位置,而位移方向向下;

如圖1(丙),物體在平衡位置上距離為 x時(shí),物體所受合力F=mg-k(x0-x)=kx,方向向下,指向平衡位置,而位移方向向上.

圖1

從整個(gè)振動(dòng)過程來分析,物體所受的合力跟它離平衡位置的位移x成正比,而方向始終跟位移相反,即F=-kx,所以豎直方向的彈簧振子的振動(dòng)是簡諧運(yùn)動(dòng).

與水平彈簧振子的振動(dòng)比較,在振動(dòng)方向上的恒力——重力,改變了簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡位置,沒有改變運(yùn)動(dòng)的性質(zhì).

豎直彈簧振子就是我們的類比對象.

例如,一些彈簧振子受到大小不變而方向隨速度方向變化的滑動(dòng)摩擦力、空氣阻力等有阻力的振動(dòng)問題,這與豎直彈簧振子受到的重力類似,因此通過類比分析,先來研究這個(gè)問題.

如圖 2,在水平面上,勁度系數(shù)為 k的彈簧左端固定,右端振動(dòng)的物體質(zhì)量為m,與水平面的動(dòng)摩擦因數(shù)為 μ.物體靜止在O點(diǎn)時(shí)彈簧處于原長狀態(tài),現(xiàn)將彈簧拉長 A(彈簧彈力kA＞滑動(dòng)摩擦力也是最大靜摩擦力 f=μ mg)到達(dá)P點(diǎn)由靜止釋放.

物塊在最右端P點(diǎn)靜止釋放,由于向左彈簧拉力F大于向右摩擦力 f,物塊將向左加速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過程中摩擦阻力 f不變,與豎直彈簧振動(dòng)類比,易證明物塊做簡諧運(yùn)動(dòng),其平衡位置不是O點(diǎn),而是在O點(diǎn)右方的O1點(diǎn),設(shè) OO1=x0,則振動(dòng)振幅為 A1=A-x0(注意:振幅的計(jì)算是取平衡位置O1為起點(diǎn)),周期 T=但振動(dòng)時(shí)間只有半個(gè)周期,即

圖2

物塊到達(dá)最左端 Q點(diǎn),如果向右的彈簧彈力F大于向左的摩擦力f,物塊將向右加速運(yùn)動(dòng),易知物塊也是做簡諧運(yùn)動(dòng),但其平衡位置既不是O點(diǎn),也不是O點(diǎn)右方的O1點(diǎn),而是在 O點(diǎn)左方的O2點(diǎn),且振幅為 A2=A1-2x0=A-3x0(注意:振幅的計(jì)算是取平衡位置 O2為起點(diǎn)),周期不變,時(shí)間不變,仍然為

物塊到達(dá)最右端后,如果在 OO1的外側(cè),則向左彈簧拉力F一定大于向右摩擦力f,物體運(yùn)動(dòng)就重復(fù)著上面的振動(dòng)過程,平衡位置 O1、O2不變,周期 T也不變,每次振動(dòng)時(shí)間不變,只是每次變換方向后振幅都減少 2x0=即每次改變方向后的振幅為等差數(shù)列.

例1.一勁度系數(shù)為 k的水平輕質(zhì)彈簧,一端固定,另一端連接一質(zhì)量為m的物塊,物塊可在有摩擦的水平面上滑動(dòng),原長時(shí)位于O點(diǎn),現(xiàn)拉離物塊到距離O點(diǎn)為A的P點(diǎn)釋放,如圖3,設(shè)物塊在第2次通過O點(diǎn)前,在O點(diǎn)左方停住.

圖3

(1)物塊與桌面的摩擦因數(shù)μ應(yīng)在什么范圍內(nèi)?

(2)求物塊停住點(diǎn)與O點(diǎn)的最大距離,并回答這是不是物塊在運(yùn)動(dòng)過程中所能到達(dá)的最大距離.(認(rèn)為滑動(dòng)摩擦因數(shù)與靜摩擦因數(shù)相等)

分析:(1)物塊只可能振動(dòng)1次或2次.

(2)物塊靜止區(qū)域?yàn)镺1O2,物塊最遠(yuǎn)只能停在O2點(diǎn),對應(yīng)第(1)問第1種情況,此時(shí)應(yīng)有 A1=A-x0=2x0,所以最遠(yuǎn)點(diǎn)距離 O點(diǎn)為這并不是物塊在運(yùn)動(dòng)過程中所能到達(dá)的最大距離,在第(1)問第2種情況中物塊可以越過O2點(diǎn)到達(dá)O2點(diǎn)左方.

下面再從能量的角度分析這種運(yùn)動(dòng).

豎直彈簧振子在振動(dòng)過程中動(dòng)能與勢能(包括重力勢能和彈性勢能)相互轉(zhuǎn)化,總能量守恒,振幅不變,稱為等幅振動(dòng)、無阻尼振動(dòng).具有常量阻力的彈簧振動(dòng)由于阻力的存在,阻力始終做負(fù)功,機(jī)械能減少,轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,是阻尼振動(dòng),而且從前面的分析我們也可以看出其振幅是逐漸減小的.

但是我們知道阻力做功與振子走過的路程有關(guān),完成振動(dòng) n次,其路程為 s=2n(A-nx0),阻力做負(fù)功-μ mgs,機(jī)械能減少 μ mgs,轉(zhuǎn)化為內(nèi)能 μ mgs=μ mg×2n(A-nx0),又第n次振動(dòng)結(jié)束位置與O點(diǎn)距離即彈簧的伸長量(或縮短量)為 An-x0,由能量守恒定律得

例 2.如圖 4,將一水平放置的輕質(zhì)彈簧(勁度系數(shù)為k)一端固定,另一端連接一質(zhì)量為m的物塊,物塊與地面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,在彈簧伸長到最大距離瞬間,用手指彈物塊使物塊以速度 v0開始向墻運(yùn)動(dòng).為保證物體多次往復(fù)運(yùn)動(dòng),試確定速度v0.

圖4

分析:物塊從P點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí),根據(jù)能量守恒關(guān)系有

其中 A是彈簧的最大壓縮量.

物塊從 Q點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí),由于保證物體多次往復(fù)運(yùn)動(dòng),物塊最遠(yuǎn)到達(dá)P點(diǎn),因?yàn)?P點(diǎn)位置是彈簧最大伸長位置,如果到達(dá) P點(diǎn)右側(cè)彈簧將發(fā)生不可恢復(fù)的形變.則QO2≤O2P,即解得

從前面的分析我們可以得到以下結(jié)論:

物塊第n次振動(dòng)振幅An=A-(2n-1)x0,呈現(xiàn)等差數(shù)列.(注意:振幅的計(jì)算是取平衡位置O1與 O2為起點(diǎn));

第n次振動(dòng)結(jié)束位置與O點(diǎn)距離即彈簧的伸長量(或縮短量)為 An-x0,也是等差數(shù)列;

振動(dòng)路程s=2(A1+A2+…+An)=n(A1+An)=2n(A-nx0).

物塊最終要靜止,靜止的位置不可能在區(qū)域O1O2以外,因?yàn)樵趨^(qū)域O1O2以外彈簧彈力大于摩擦力,合外力不為零.靜止的位置只可能在區(qū)域O1O2以內(nèi),或者說,物塊如果在區(qū)域O1O2以內(nèi)瞬間速度為零,物體就會(huì)靜止.則

(1)如果第n次振動(dòng)結(jié)束位置與O點(diǎn)距離An-x0＞x0,即 An＞2x0,物塊第 n次振動(dòng)結(jié)束位置在區(qū)域O1O2以外,將繼續(xù)反向做第n+1次振動(dòng);

(2)如果第n次振動(dòng)結(jié)束位置與O點(diǎn)距離An-x0≤x0,即 An≤2x0,物塊第 n次振動(dòng)結(jié)束位置在區(qū)域O1O2以內(nèi),并且停在區(qū)域 O1O2以內(nèi)(An=2x0時(shí)對應(yīng)停在平衡位置O1或O2).此時(shí)停止位置與O點(diǎn)距離即彈簧的伸長量(或縮短量)為 An-x0(x0＜An≤2x0)或者 x0-An(An≤x0).

圖5

例3.圖5是放置在水平面上的兩根完全相同的輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量為 m的物體組成的振子,每根彈簧的勁度系數(shù)均為k,彈簧的一端固定在墻上,另一端與物體相連接,物體與水平面間的靜摩擦因數(shù)和滑動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ.當(dāng)兩彈簧恰為原長時(shí),物體位于O點(diǎn).現(xiàn)將物體向右拉離O點(diǎn)至x0處(不超過彈性限度),然后將物體由靜止釋放.設(shè)彈簧被壓縮及拉長時(shí)其整體并不彎曲,一直保持在一直線上.現(xiàn)規(guī)定物體從最右端運(yùn)動(dòng)到最左端(或從最左端運(yùn)動(dòng)到最右端)為一個(gè)振動(dòng)過程.求:

(1)從釋放到物體停止運(yùn)動(dòng),物體共進(jìn)行了多少個(gè)振動(dòng)過程?

(2)從釋放到物體停止運(yùn)動(dòng),物體共用了多少時(shí)間?

(3)物體最后停在什么位置?

(4)整個(gè)過程中物體克服摩擦力做了多少功?

分析:以彈簧為原長時(shí)物體(視作質(zhì)點(diǎn))的位置O為坐標(biāo)原點(diǎn),物體的運(yùn)動(dòng)軌跡為 x軸,并規(guī)定向右為正,如圖6所示.

圖6

物體在水平面上做直線運(yùn)動(dòng).它受到彈力與摩擦力的作用,取力的正方向與 x的正方向一致,則物體運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的合力為

物體向左運(yùn)動(dòng)時(shí),第 2項(xiàng)取正號,物體向右運(yùn)動(dòng)時(shí),第2項(xiàng)取負(fù)號.

當(dāng)物體向左(右)運(yùn)動(dòng)時(shí),在 x=a(x=-a)處所受合外力為零,由此得

當(dāng) x處于±a之間的區(qū)域時(shí),即當(dāng)-a＜x＜a時(shí),物體所受彈力的大小小于最大靜摩擦力(亦為μ mg,與滑動(dòng)摩擦力相同),在此區(qū)域物體一旦速度為零,便永久地停在那里,因?yàn)橐疬\(yùn)動(dòng)趨勢的彈力將被靜摩擦力抵消掉.

現(xiàn)在,物體由 x0處靜止釋放向左運(yùn)動(dòng),物體所受的合外力為

與豎直彈簧振子類比,物體在做簡諧運(yùn)動(dòng),其平衡點(diǎn)為x-a=0,即 x=a處,其振幅為

周期為

物體一直運(yùn)動(dòng)到最左端,即第1個(gè)振動(dòng)過程的最末一點(diǎn) x1,這時(shí)其速度成為零.x1點(diǎn)在 x=a點(diǎn)左方,與 x=a點(diǎn)的距離為振幅A1,則

物體在x1點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)即不再是上述的簡諧運(yùn)動(dòng),因?yàn)檫@時(shí)摩擦力反向,物體所受合力變?yōu)?/p>

同樣與豎直彈簧振子類比,這個(gè)新的簡諧運(yùn)動(dòng)的平衡點(diǎn)在 x+a=0,即 x=-a處,其振幅為

周期為

直到運(yùn)動(dòng)到右端第2個(gè)振動(dòng)過程的最末點(diǎn) x2=A2-a=x0-4a.第3個(gè)振動(dòng)過程又是另一振幅的同頻簡諧運(yùn)動(dòng),以后依此類推,由圖6可以看出,有

而

下面回答本題的4個(gè)問題:

若 x0＜a,則物體將于 x0處靜止不動(dòng);若 x0＞a,則物體將做前面分析的簡諧運(yùn)動(dòng).

(1)物體停止運(yùn)動(dòng)的條件是當(dāng)其位置 x滿足-a＜x＜a時(shí)其速度為零,即某一個(gè)振動(dòng)過程的末一點(diǎn) xn落入-a與a之間,而前一振動(dòng)過程的末端xn-1尚在此區(qū)間之外.

這樣的 N應(yīng)滿足AN-1＞a,AN＜a,由An=x0-(2n-1)a知,上式即

亦即 x0+a＞2Na,x0-a＜2Na.由此得

式中Int(C)即為C的整數(shù)部分.

而每個(gè)振動(dòng)過程均歷時(shí)半個(gè)周期,因此物體在停止運(yùn)動(dòng)前共用時(shí)間為

(3)物體停止的位置即為第 N個(gè)振動(dòng)過程的最末點(diǎn)xN.xN可用An的通式計(jì)算得出xn=(-1)n(x0-2na),由此得xN=(-1)N(x0-2Na).

(4)物體克服摩擦力所做的功可有兩種計(jì)算方法.

第1種:摩擦力所做的功等于物體開始時(shí)的能量與停止時(shí)能量之差,而這兩個(gè)時(shí)刻物體只有彈性勢能,于是

第2種:直接用摩擦力乘以物體走過的總路程

類比是科學(xué)研究中十分有用的一個(gè)方法.對于陌生的物理情景,通過與我們熟悉的模型類比,找出規(guī)律,比較相同點(diǎn)和不同點(diǎn),是使學(xué)生快速理解掌握未知的陌生的物理情景的有效方法.