高中數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用研究

肖軍委

（河南省臨潁縣第三高級中學(xué)，河南 臨潁 462600）

在第一章集合與邏輯中，我們在研究點集合之間的關(guān)系時會用到數(shù)形結(jié)合的思想，通常是運用圖像來做，下面我們看一例題

例1設(shè)M，P是兩個非空集合，定義兩集合的差M-p={x|x∈M且x埸P}則M-(M-p)等于

A P B M∩P C MUP D M

解本題運用集合的文氏圖來做，直接了當(dāng)?shù)玫酱鸢笧锽同時是對新概念的理解的考察。

在數(shù)列這章中我們在處理等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項和求和時會用到二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)類型的圖象，現(xiàn)舉一例

例2已知{an}是遞增數(shù)列，且對任意的正自然數(shù)n都有an=n2+αn恒成立。則實數(shù)α的取值范圍為解本題可以利用函數(shù)的圖像來做，將數(shù)列的通項看為n的二次函數(shù)，只需對稱軸比大即可，得到實數(shù) 的范圍為，也可利用函數(shù)的單調(diào)性定義來做差求解，注意本題不可用導(dǎo)數(shù)求解（想想為什么?）。

在對三角函數(shù)的性質(zhì)的研究時，我們通常利用函數(shù)的圖像來幫助研究函數(shù)的對稱軸、周期、單調(diào)區(qū)間等。

例 3 已知三角方程 sinx+2｜sinx｜-k=0 x∈[0,2π]的解有且僅有兩個時的k的取值范圍是什么？

解本題從方程求解來看比較復(fù)雜，若用數(shù)形結(jié)合思想就簡單多了，將它們看為兩個函數(shù)f(x)=sinx+2｜sinx｜,x∈[0,2π]的圖像與函數(shù) y=k 的圖像有且僅有兩個不同的交點的問題，易得k的取值范圍是0

在向量這一章中，數(shù)形結(jié)合的思想得到了充分的利用，因為向量本身就是數(shù)與形的一個載體，具有形的運算，也有坐標(biāo)的運算（數(shù)的運算），我們在處理該類型的問題時一定要注意結(jié)合。

解若運用向量的夾角公式去求較復(fù)雜，若用圖形去做知它們的終點在單位圓上，并且和向量為菱形的對角線，向量與向量的夾角為故與的夾角應(yīng)為對角線與邊的夾角為

在不等式這一章中，我們在處理不等式的證明與解不等式時會用到數(shù)形結(jié)合的思想，特別是含根號的類型和兩邊式子看為函數(shù)時類型不一樣經(jīng)常用到該思。比如例如

證明該不等式就可以聯(lián)想到兩點之間的距離公式，不等式的左端看為點(a,b)和點(c,d)到原點(0,0)的距離和，而右端看為點(a,b)與點(c,d)的距離，顯然當(dāng)它們共線時可取等號，若不共線兩邊之和大于第三邊即得證，相比其它方法來講計算量最小。

在直線與圓的方程這一章中，特別是直線與圓的位置關(guān)系的問題和線性規(guī)劃問題，都突出了數(shù)形結(jié)合的思想，當(dāng)然在直線的最值問題（直線上動點到兩定點距離的和差最值及到定點距離最小等）的研究時也時常用到。

例6若方程x2+ax+b-2=0在（-∞，-2）u(2,+∞)上有實根，則a2+b2的最小值

解本題若用方程根角度來考慮，可能需要分情況來處理，現(xiàn)在我們發(fā)現(xiàn)所求的式子具有明顯的幾何意義，即為點（a,b)到點(0，0)的距離平方，因此將原方程看為二元方程（直線方程）xa+b+x2-2=0時，點在該直線上移動，故最小值應(yīng)為點(0，0)到直線距離最小其中x的取值范圍為（-∞，-2）∪(2,+∞)得函數(shù)具有單調(diào)性為增函數(shù)，故的，所以即為所求。

在圓錐曲線這一章中，數(shù)形結(jié)合思想也有重要的應(yīng)用，特別是與向量結(jié)合時會用到圖形的性質(zhì)，在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時有充分的利用，下面我們看一小題。

本題若用方程的根的思想時，計算量稍大一些，若用數(shù)形結(jié)合時思想計算量較小，我們發(fā)現(xiàn)動直線過定點（0，1），要使有公共點，只需定點在橢圓的內(nèi)部或在橢圓上即可，將定點代入橢圓方程小于等于1即可得m>1，注意橢圓方程的要求m≠5即可。

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合設(shè)計的大題中，我們經(jīng)常用數(shù)形結(jié)合的思想來研究方程的根與一些式子的范圍，當(dāng)然函數(shù)的圖像的考察也經(jīng)常體現(xiàn)出來，下面我們來看一高考試題。

例8設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3bx2+3cx在兩個極值點x1，x2且 x1∈[-1,0]，x2∈[1,2]。

（I）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標(biāo)平面內(nèi)，畫出滿足這些條件的點(b、c)的區(qū)域；

分析（I）這一問主要考查了二次函數(shù)根的分布及線性規(guī)劃作可行域的能力。

大部分考生有思路并能夠得分。f'(x)=3x2+6bx+3c由題意知方程f'(x)=0有兩個根x1、x2且x1∈[-1，0]，x2∈[1,2].

則有 f'(-1)叟0

右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區(qū)域。

(II)這一問考生不易得分，有一定的區(qū)分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標(biāo)f(x2)=x23+3bx22+3cx2中的b，（如果消c會較繁瑣）再利用x2的范圍，并借助（I）中的約束條件得 c∈[-2，0]進(jìn)而求解，有較強(qiáng)的技巧性。

又 ∵x2∈[1,2]，且 c∈[-2，0]∴-10燮f(x2)燮-通過這一高考試題來看在大題中，該思想也是非常重要，望大家多總結(jié)，能夠熟練的掌握該思想，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中得以應(yīng)用。最后用華羅庚的名言：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休”來提醒大家，數(shù)形結(jié)合數(shù)是基礎(chǔ)，是關(guān)鍵，既要以形助數(shù)，又要以數(shù)定形。復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合的思想解題的意識，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點來精確確定圖形間的位置關(guān)系。

[1]鐘健.數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)個案測評與分析研究[J].廣西教育學(xué)院學(xué)報，2006-05-10.