OFDM系統中考慮信源編碼特性的多播資源分配方案

許文俊，賀志強，牛凱，林家儒，吳偉陵

（北京郵電大學 信息與通信工程學院，北京100876）

1 引言

近年來，OFDM系統中的資源分配為無線通信領域的研究熱點。目前大部分研究者的焦點主要集中在單播系統的資源分配[1～6]。通過充分利用不同用戶信道增益的瞬時差異，單播OFDM系統能夠獲得明顯的多用戶分集增益，從而顯著提高系統的和速率容量[1～5]。其中，和速率容量(the rate-sum ca-pacity 或者 the sum capacity)為多個用戶容量性能的整體度量指標，一般定義為所有這些用戶獲得的容量的加權求和。典型情況下，每個用戶的權值相等[2～4]。單播OFDM系統的資源分配可以歸結為數學上的優化問題，一般分為2類：速率需求限制下的和功率最小化[1]以及總功率約束下的和速率容量最大化[2,3]。在單播系統中，除了考慮系統的總功率或總容量等系統指標，還應當考慮用戶之間的公平性等用戶指標，才能使得研究更有實際意義。所以，近來的 OFDM 單播系統資源分配被附加上了各種公平性約束條件[3,6]，以期在系統指標與用戶指標之間獲得良好的折中。

無線傳播不同于有線傳播最大的特點在于前者具有天然的開放性，非常適合多播/廣播業務（單播和廣播可視為多播的特例，因此以下只討論多播情況）。對于多播業務，單OFDM子載波發送的相同內容能夠同時為多個用戶接收，即單子載波可以同時為不同用戶使用，與單播業務有著本質的不同。如果將單播資源分配方案直接照搬到多播系統使用會導致系統資源的極大浪費。所以，OFDM系統中針對多播資源分配的方案研究越發受到重視[7～10]。文獻[7]研究了對數比例公平目標下廣播業務的資源分配；而文獻[8]利用多播特性，合理安排移動臺接收數據的時間，以實現移動臺功率消耗最小化；文獻[9]給出了其規定多播場景中的最優資源分配方案，并提出了一種次優方案降低算法的復雜度；文獻[10]擴展了文獻[9]的模型，以確保不同多播組最少子載波數目的方式考慮了多播組間的公平性。從以上文獻可以得出結論：相對于單播系統，多播系統發掘了無線傳播的天然優勢，從很大程度上提高了系統的和速率容量。

在OFDM多播系統中，處于同一多播組的用戶期望從基站獲得相同的內容。所以，對于每個子載波，存在方案的基本做法為：按照最差用戶的信道條件發送數據，保證同一多播組的所有用戶都能正確解調數據。即子載波的容量受限于最差用戶的信道增益，這種多播方式稱為傳統多播[7～10]。雖然它相對于單播已經很明顯提高了系統容量[7～10]，但其對于無線傳播的開放性優勢并沒有最充分地利用[11]。最新的進展為：采用多描述信源編碼以后，由于不同描述之間可以聯合解碼，OFDM多播系統能夠提供更好的容量性能[11,12]，本文稱該多播方式為考慮信源編碼特性的多播，簡稱信源編碼多播。

為了后續更加清楚地闡述信源編碼多播的系統模型，將多描述編碼與傳統信源編碼比較如下：傳統信源編碼一般假定信道傳輸沒有差錯，所以編碼的主要任務就是盡可能地壓縮數據，減少數據之間的相關性。而多描述編碼在設計信源編碼的同時還要考慮信道的特性，將單一的信息源編碼分割成一些同等重要的數據集合(稱為描述)。每個描述都具有自身的一組編解碼函數，可以獨立編解碼；且都包含一些別的描述所沒有的信息，它們之間可以相互增強。因此，只要接收到一部分描述的信息，解碼端就能夠通過這些信息對信源進行一定質量的重建。重建的效果會隨著接收到的描述數量的增多而得到改善，更多的關于多描述編碼的介紹可以查閱文獻[13]。

鑒于多描述信源編碼的靈活性，文獻[11,12]將其引入多載波系統，研究一種全新的多播資源分配模型。文獻[11]研究了系統中只有一個多播組(即廣播)情況下信源編碼多播的性能，指出了信源編碼多播相對于傳統多播容量優勢相當明顯。但由于其研究的系統中只包含有一個多播組，不具備一般性，沒有涉及多播組間的資源分配，很難與實際場景對應，不易直接應用于實際通信系統。文獻[12]中，討論了信源編碼多播的性能，但其研究對象為一般化的多載波系統，并未給出與OFDM系統直接相關的子載波/功率分配方案。

本文結合信源編碼多播 OFDM 系統的研究進展，提出了一種系統具有多個多播組的資源分配方案。該方案在兼顧多播組間公平性的同時，盡量提高系統的和速率容量。而且，因為方案考慮了多個多播組，研究場景更加一般化，可以直接應用到實際無線通信系統之中。

2 系統模型

本文研究OFDM下行多播系統，假設系統中總用戶數目為K，總子載波數目為N，多播組數目為M，第m多播組的用戶集合為Ωm，相應的用戶數目為

圖1 OFDM下行多播場景示意圖

按照多播的定義，相同多播組中的用戶從基站接收相同的節目內容。令

表示第m多播組中第k個用戶在子載波n上的信道增益，相應的hk(m,n)表示信道系數。定義

表示在子載波n上第m多播組中信道增益比第k( m, n)個用戶大的用戶集合。定義

表示在子載波n上第m多播組中比第k (m,n)個用戶信道增益大的用戶數目。如果以第k (m,n)個用戶的信道增益作為資源分配依據，則第m多播組在子載波n上獲得的和速率容量為其中，0N為噪聲功率譜密度，0B為單個子載波的帶寬，np表示子載波n上的發射功率。式(5)暗含的意義為：如果用戶l(m,n)的信道增益比用戶k(m,n)小，則用戶l(m,n)在子載波n上獲得的容量為 0。該假設非常合理，因為用戶l(m,n)低于信噪比門限不能正確解調數據，所以容量為0[11,12]。對于傳統多播，第m多播組在子載波n上獲得的和速率容量為[9, 10]

其中，k*(m, n)滿足：

即傳統多播方式選擇多播組中最低信道增益作為數據傳送的參考，保證組中所有用戶都能正確解調數據，它是一種最保守的多播方式。因為處在相同多播組內用戶的信道條件一般存在很大差異，傳統的最低信道增益傳送很難充分發揮無線多播的巨大優勢。

對于信源編碼多播傳輸，用戶收到的不同描述之間可以聯合解碼，用戶最終接收節目內容的質量(多媒體音頻或視頻等)與正確接收數據的總量直接相關，可以認為：用戶最終的節目質量正比于獲得的總和速率容量[11]。用戶之間節目質量允許存在差別，所以資源分配不必要在每個子載波上保證組內所有用戶都能正確接收。信道條件很差的用戶最終能接收到的數據較少，收聽到的節目質量則較差；反之，節目質量則較好。不能因為多播組內存在一個信道差的用戶，使得整個多播組都只能收聽最差質量的節目。這種用戶間的質量差異多播非常符合實際，在互聯網上已經得到廣泛應用，也能充分發揮無線多播的優勢[11]。

進一步，第m多播組的總和速率容量為

式中，δm,n=1或0分別表示子載波n是否被分配給多播組m使用。

根據上面的討論，用戶收聽節目的質量正比于最終的和速率容量。所以，很自然地，本文以系統和速率容量最大化為優化目標。同時，不同多播組間相互競爭共有的無線資源，必須保證各自的公平性，本文考慮多播組間的比例公平[12]。系統模型的數學表達為

式(9)中， Ptotal表示基站的總發射功率。C1表示總功率約束； C2表示子載波功率分配的可行取值范圍；C3表示子載波分配指示因子的可行取值范圍； C4表示一個子載波只能分配給一個多播組。因為不同多播組需要接收不同的節目內容，多個多播組之間子載波共享需要其它信息處理技術的支持，而且會導致系統總和速率容量的降低[2]； C5表示子載波n上所選中用戶編號的可行取值范圍；C6表示多播組間比例公平約束，組內因為信道存在多樣性，允許用戶間節目質量差異。而且，與文獻[9～12]相同，假設基站能夠得到用戶反饋的完美信道狀態信息，資源分配信息可以通過專用信道傳送給用戶。

3 資源分配方案

3.1 問題分析

式(9)給出的優化問題為單播資源分配問題的擴展與延伸，明顯比單播資源分配復雜。單播資源分配是組合優化問題，獲得最優解需要付出沉重的計算代價。通常對于單播資源分配的處理方法是將資源分配劃分2個階段：子載波分配和功率分配，目的為減小資源分配的復雜度，在性能與復雜度之間取得良好折中[3,4]。優化問題(9)比單播情況更加復雜，所以本文方案也采用2階段方法：子載波分配和功率分配。子載波分配通過對單播子載波分配算法修正得到，功率分配因為與單播場景相差很大，下面進行解析地推導。

假設子載波分配階段已經完畢，即δm,n與k( m, n)已經確定，則優化問題(9)變為

優化問題(10)的優化變量為各子載波上分配的功率pn，優化目標為在保證多播組間比例公平的同時最大化系統的和速率容量。對于多播組內，允許用戶之間接收節目的質量差異，其最優的功率分配可以采用拉格朗日乘子法推導。假設多播組m被分配的總功率為Pm，則令

對L求偏導數得到：

式(13)為多播最優功率分配應當滿足的必要條件，在 Kk(m,i)= Kk(m,j)= 1時，退化為單播情況[2～4]。結合功率約束：

得到：

其中，注水水平mΔ為

在 Kk(m,i)= 1 時，式(15)及式(16)與單播情況吻合[2～4]，驗證了推導的正確性。

至此，多播組m的最優和速率容量 Rm可以進一步表示為

其中，最后一步通過代入式(15)得到。考慮到功率注水水平Δm的可能取值范圍并嚴格保證容量結果有意義，引入二值變量。如果pn＞ 0 ，則 ρpn=1；如果 pn= 0 ，則 ρpn=0。從式(17)可以看出：和速率容量Rm為Δm的嚴格單增函數，而且式(15)表明：功率分配pn與Δm直接相關。因此，對于優化問題(10)，可以先求解如下關于的非線性方程組：

得到Δ，然后根據式(15)獲得在子載波分配給定前提下的最優功率分配方案pn。其中，[·]T表示矩陣的轉置。下面分別介紹本文設計的多播子載波和功率分配方案。

3.2 子載波分配

在子載波分配階段，目前文獻基本均假設每子載波具備相等的功率分配p=Ptotal/N，以解除子載波與功率分配的耦合[2～4,9]。因為子載波分配屬于離散顆粒度的資源分配，很難做到絕對公平，一般文獻采取的方法為：在保證資源基本公平性的同時最大化系統的和速率容量[2～4,9]。本文延續存在的資源分配思想，根據信源編碼多播的自身特點，結合文獻[3]的單播資源分配算法，提出多播資源分配算法如下。

1) 初始化：設置 A={1 , 2,…,N}和 Rm=0,δm,n= 0 ,Pm= 0 ,m=1 ,2,… ,M。

2) 在A≠?時，執行如下步驟：

① 找到m滿足 Rm/r m ≤ Ri/ ri, 1≤i≤M；

② 對于找到的m，尋找 n, k滿足 Ck(m,n)≥ Ci(m,j),j∈ A ,1≤ i≤ Km；

③ 對于上面找到的 m , n, k，設置 δm,n= 1 ,并記錄對應的k值。令 A=A -{ n},Pm=Pm+ p ，更新 Rm。

對于以上算法，②中 Ck(m,n)表示子載波n上以多播組m中第k個用戶信道增益作為資源分配依據，所得到的容量大小指示因子，其計算方法如下：

子步驟③中更新mR的方法為

子載波分配算法中，1)為算法的初始化；2)中子步驟①選擇具有最小比例容量的多播組m，以保證基本的多播組間公平性；子步驟②替選中的多播組m再選擇最好的子載波以及最優的多播用戶數目，以最大化系統和速率容量；子步驟③將子步驟②的結果更新保存，以維持算法迭代的延續性。

該算法與單播資源分配[3]相比，首先子步驟①中 Rm的意義不同，本文 Rm表示多播組的和速率容量，對于單播其表示單個用戶的和速率容量，所以保證不同級別的公平性；其次，子步驟②中，選擇子載波的方法不同，單播資源分配只需要比較信道增益即可[3]，但本文需要計算容量指示因子 Ck(m,n)。

本文子載波分配算法中，1)的復雜度為O( MN )；2)中子步驟①的復雜度為 O (M )，子步驟②的復雜度為 O ( NKm)，子步驟③的復雜度為 O(1)。2)需要執行N次，所以算法總的復雜度為O( MN +N2)。其中，表示子步驟①選擇的多 播組中用戶數目的平均值。為了給出直觀的估計，假設= K / M，則子載波分配算法的復雜度大致為O( MN +N2K/ M)。

3.3 功率分配

在子載波分配確定以后，由前面的推導知道：最優功率分配等價于求解式(18)和式(19)。基于文獻[3, 14]，本文給出Newton-Raphson方法迭代求解，主要過程如下。

首先，計算 f=[f,f , … ,f ]T， f的具體定義12Mi參見式(18)和式(19) (不包括右邊等于0部分)。

其次，計算偏導得：

令

然后，求解如下線性方程組：

因為J只在第1行、第1列及對角元素非零，所以得到：

其中，u= [u1,u2,…,uM]T為Δ的更新向量，Ji,j表示矩陣J的第i行第j列元素。

最后，如下更新Δ：

重新計算f和J，反復迭代直到Δ收斂。因此，采用 Newton-Raphson方法進行功率分配的算法流程如圖2所示。

Δ是否收斂的判斷標準為計算更新向量u的二范數，然后與設定的誤差門限比較，滿足要求則視為收斂。圖2中，“Δ越界檢測與恢復”判斷Δ的各維分量Δ是否滿足i如果超出上界或下界，說明迭代步長過大，需要分別重新恢復為上界或下界，以維持算法的收斂性。

圖2 功率分配算法流程

功率分配算法使用 Newton-Raphson方法迭代求解式(18)和式(19)，所以在子載波分配給定的情況下屬于最優功率分配。而且，從式(24)和式(27)知道，因為雅可比矩陣J大部分元素為0，所以每次迭代只需要線性復雜度O(M)。Newton- Raphson方法單次迭代更新Δ的每一維元素，收斂速度較快，要求的迭代次數較少。結合前面關于子載波分配算法復雜度的分析，本文資源分配方案(包括子載波分配算法及功率分配算法)整體復雜度較低，具有實用價值。

4 仿真結果

本文仿真條件為：頻率選擇性信道包含6條獨立的瑞利多徑，多徑功率分布滿足車載信道B[15]，并假設最大的時延擴展為5μs。仿真中，對于單個用戶與基站之間的多徑信道，根據6徑的時延位置及功率分布產生6個獨立的復高斯隨機變量模擬多徑信號[15]，并在沒有多徑信號的位置補零，然后做N點FFT，得到單個用戶與基站之間的頻率選擇性信道衰落。一般地，不管用戶是否屬于同一多播組，均假設不同用戶之間的信道衰落相互獨立[9,10]，因此可以分別單獨產生不同用戶與基站之間的信道。進一步，假設系統總發射功率為1W。仿真結果經過1 000次信道實現平均獲得，以確保穩定可靠的性能。

為了對所提的信源編碼多播方案進行客觀的評價，本文還仿真了文獻[9,10]的方案以及比例公平傳統多播方案。其中，比例公平傳統多播方案由文獻[9]的方案加上比例公平約束而得到，用來在相同比例公平約束條件下對比信源編碼多播方案的容量性能。

圖3展示了不同多播方案的多播組間公平性分布。仿真條件包括：用戶數目K為32，多播組數M為8，即每組4個用戶，速率容量比例滿足r1= 4 ,r2= 2 ,ri= 1 ,3≤ i≤ M，子載波數目N為32，系統平均子信道信噪比為9dB。從圖中可以看出：信源編碼多播在子載波分配階段只能獲得比較粗糙的公平性，因為子載波對于資源的劃分粒度相對較大；而功率分配采用Newton-Raphson方法，能夠達到與理想容量比例相同的公平性。文獻[9]沒有考慮公平性因素，所以多播組間不能保證任何公平性；文獻[10]引入了保證多播組最少子載波數目的公平性機制，但子載波數目與容量大小不能等同，而且功率分配階段沒有再考慮公平性指標，導致其只能保證粗糙的公平性。綜合上面的分析：在公平性方面，本文功率分配算法已經獲得最優的性能。結合前面的推導知道：本文功率分配算法在容量性能方面同樣具有最優性(在子載波分配給定的前提下)。

圖3 不同多播方案的多播組間公平性比較

圖4顯示了容量比例對于系統和速率容量的影響。仿真條件為：用戶數目K為32，多播組數目M為 17，多播組內用戶數目設置為 K1= 1 6,Ki=1,2≤i≤M，容量比例滿足ri= 1 ,2≤i≤ M ，r1的不同取值如圖 4，子載波數目N為 256。由圖可以分析出：無論比例公平傳統多播還是信源編碼多播，均比單播有巨大的性能提升，多播發揮了無線傳播的天然優勢。對于同種多播方式，隨 r1取值的增大，系統和速率容量逐步提高，并收斂到不考慮比例公平的情況。這主要因為第1多播組內用戶數目最多(K1= 1 6)，其他組內只有1個用戶，應當給予第1多播組更大的容量比例(例如：至少大于 K1才能明顯發揮多播的優勢)。增加 r1則放松對于多播性能的限制，所以它從另外一個方面說明了多播的好處。而且，在相同參數配置下，信源編碼多播均相對于比例公平傳統多播有非常明顯的容量提高，證明其更加充分地利用了無線多播的有利條件。同時，本圖的參數設定與文獻[9]的圖3一致，所得結果(空心圓圈虛線)也與文獻[9]完全吻合，驗證了本文仿真結果的正確性。

圖4 容量比例對于不同多播方案和速率容量影響示意圖

圖5為不同多播方式和速率容量累積分布函數圖。本圖的仿真條件為：每多播組用戶數目固定為4，多播組數目取值為 6、8、10，相應地用戶數目取值為24、32、40，容量比例為 ri=1(1≤i≤M)，子載波數目為256，系統平均子信道信噪比為12dB。從圖中可以看出：無論哪種多播方式，多播組數目的增加導致了系統和速率容量分布曲線的右移，即提高了系統的容量。該點與單播資源分配的多用戶分集[3～5]原理相同，可以理解為多播組數目變大使系統得到了更多的“多播組分集”。同時，還可以看出：信源編碼多播性能明顯優于比例公平傳統多播，與圖4的結論一致。即使信源編碼多播在 6M=的條件下仍然相對于比例公平傳統多播 10M= 場景高出0.5 bit/s/Hz的容量。

圖5 多播組數目對于不同多播方案和速率容量分布影響示意圖

圖6仿真了不同多播方案的系統和速率容量隨用戶數目的變化關系。仿真參數設置為：每多播組用戶數目固定為6，多播組數目取值為2～10，相應地用戶數目取值為 12～60，容量比例為ri=1,1≤i≤M，子載波數目為N=256。基于等比例，文獻[10]方案中不同多播組最少子載波數目設定為 N / M的下取整，系統平均子信道信噪比為6dB及 9dB。從圖中可以看出：文獻[10]方案的容量性能次于文獻[9]方案，因為其額外增加了基于最少子載波數目的公平性約束。而無論哪種信噪比設置，信源編碼多播均獲得了最高的系統和速率容量，而且比文獻[9]方案有比較明顯的容量提升，說明其能更充分地利用無線多播的有利條件。主要原因為：多描述編碼增加了無線多播的靈活性，使得多播用戶能夠從有利于自己的信道接收到更多的數據，因此提高了系統的和速率容量。

圖6 不同多播方案的系統和速率容量比較

5 結束語

本文基于已有文獻的成果，研究OFDM系統中具有多個多播組場景下，兼顧多播組間比例公平的資源分配問題。通過修改已存在的單播子載波分配算法，提出了信源編碼多播子載波分配算法；并根據理論推導，采用Newton-Raphson方法設計提出了多播功率分配算法。在子載波分配給定的前提下，該功率分配算法能夠給出最優解。子載波分配算法和功率分配算法共同構成了本文的資源分配方案。仿真結果表明：本文的資源分配方案能夠獲得完美的多播組間公平性；并充分發掘了無線多播的天然優勢，相對于傳統多播方式可以明顯提高系統和速率容量。同時，本文的資源分配方案具有較低的計算復雜度，適合實際通信系統的應用。

本文資源分配方案以信源編碼為前提，所以與傳統方案相比會增加信源處理的復雜度。如何在設計資源分配方案同時，將信源處理復雜度聯合考慮為下一步要研究的內容。

[1] WONG C, CHENG R, LETAIEF K B, et al. Multiuser OFDM with adaptive subcarrier, bit, and power allocation[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 1999, 17(10)∶1747-1758.

[2] JANG J, LEE K B. Transmit power adaptation for multiuser OFDM systems[J]. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, 2003,21(2)∶171-178.

[3] SHEN Z, ANDREWS J G, EVANS B L. Adaptive resource allocation in multiuser OFDM systems with proportional rate constraints[J].IEEE Transactions on Wireless Communications, 2005, 4(6)∶ 2726- 2737.

[4] LETAIEF K B, YING J. Dynamic multiuser resource allocation and adaptation for wireless systems[J]. IEEE Wireless Communications,2006, 13(4)∶38-47.

[5] ZHANG X, CHEN F, WANG W. Outage probability study of multiuser diversity in MIMO transmit antenna selection systems[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2007, 14(3)∶161-164.

[6] KANEKO M, POPOVSKI P, DAHL J. Proportional fairness in multi-carrier system∶ upper bound and approximation algorithms[J].IEEE Commun Lett, 2006, 10(6)∶ 462-464.

[7] SUH C, PARK S, CHO Y. Efficient algorithm for proportional fairness scheduling in multicast OFDM systems[A]. IEEE Vehicular Technology Conference 2005[C]. Stockholm, Sweden, 2005. 1880- 1884.

[8] KIM J Y, WON K T, CHO D H. Resource allocation scheme for minimizing power consumption in OFDM multicast systems[J]. IEEE Communications Letters, 2007, 11(6)∶ 486-488.

[9] LIU J, CHEN W, CAO Z, et al. Dynamic power and sub-carrier allocation for OFDMA-based wireless multicast systems[A]. ICC 2008[C].Beijing, China, 2008. 2607-2611.

[10] NGO D T, TELLAMBURA C, NGUYEN H H. Efficient resource allocation for OFDMA multicast systems with fairness consideration[A]. IEEE Radio and Wireless Symposium[C]. San Diego, CA,United states, 2009. 392-395.

[11] SUH C, MO J. Resource allocation for multicast services in multicarrier wireless communications[A]. INFOCOM 2006[C]. Barcelona,2006. 1-12.

[12] WON H, CAI H, EUN D Y, et al. Multicast scheduling in cellular data networks[A]. INFOCOM 2007[C]. Anchorage, AK, United states,2007. 1172-1180.

[13] GOYAL V K. Multiple description coding∶ compression meets the network[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2001, 18(5)∶ 74-93.

[14] BALDICK R. Optimization of engineering systems course Notes[EB/OL].http∶//www.ece.utexas.edu/ ～baldick/, 2009.

[15] IEEE WORKING GROUP 802.20. IEEE 802.20 PD-08 Channel Models Document for IEEE 802.20 MBWA System Simulations[S].2005.