基于JADE算法的盲DOA估計

趙佳，楊景曙，金家保

（電子工程學院 信息對抗研究所，安徽 合肥 230037）

1 引言

在實際環境中多徑現象是普遍存在的，如在雷達測高或低角跟蹤的應用中，目標直接回波與地面反射波是強相關或相干的，類似的例子還有通信中基站與移動臺之間的信號傳輸。此時，若干強相關或相干的信源會合并成一個信源使信號子空間秩虧損，故不能通過一般的 DOA估計方法（如MUSIC、ESPRIT等）對信源進行分辨或測向。現有處理方法主要分為2大類[1]：降維處理和非降維處理。降維類（如空間平滑類算法）方法[2～4]較為簡單，但陣列孔徑損失較大；非降維類（如Toeplitz近似算法）方法[5,6]雖不損失陣列孔徑，但穩定性較差，估計偏差大。在實際環境中，由于無線信道傳播環境的復雜性，入射到天線陣列的信號中可能存在同向信號；此外，由于多徑相干信號的存在，還容易導致過載現象，即天線陣收到的信號數大于陣元數。在這種情況下，現有的這些解相干類 DOA估計方法都不能有效地進行DOA估計。因此，有必要探索新的DOA估計方法。

盲源分離技術是在源信號信息及混合過程都未知的情況下，僅對觀測信號進行處理就可以實現對源信號和系統的辨識，在被動目標的檢測與估計中具有優勢。因此，這里考慮將盲源分離技術應用到 DOA估計中。獨立分量分析(ICA, independent component analysis)是近年來由盲源分離技術發展起來的多道信號處理方法，在語音識別、通信、圖像處理、醫學信號處理等領域受到了廣泛的關注。JADE算法[7]是由Cardoso提出的一種基于矩陣聯合對角化的ICA方法。該算法的主要特點是加強了算法的代數概念——引入了多變量數據的四維累積量矩陣，并對其作特征分解，簡化了算法，也提高了結果的穩健性。

本文提出了一種基于JADE算法的DOA估計新方法。該方法是利用JADE算法對陣列流型矩陣進行盲辨識，并將該陣列流型中的方向矢量看成是由多路復正弦信號線性混合而成，進而利用頻譜分析的方法對各信源進行DOA估計。經過仿真驗證，新方法不僅可以實現對來波方位相同信號的分辨，且具有較好的穩定性，在信源數大于陣元數時仍然可以使用。

2 相干信號源的數學模型

窄帶陣列信號處理的模型如下：

其中，A為陣列流型；s(t)是信號矢量；n(t)是加性高斯噪聲矢量。

其中，天線陣列的陣元數為M，接收的信號數為N，第i路信號的波達方向（DOA）為iθ。

若 s1(t)和 s2(t)是由同一源發射經不同路徑傳輸到天線的強相關或相干信號，則有 s2( t) = αs1( t)，其中，α為復數幅度因子，表征了2個信號間的增益和相位關系。此時，信號模型中陣列流型式和信號矢量式可寫為

其中，混合信號1()t′s的來波方向既不是1θ也不是2θ。

3 基于JADE算法的DOA估計

假設信號模型中源信號各成分1s(t)之間互不相關，且均值為零，則其協方差陣為

那么，天線接收信號中的信號部分y(t)的自相關矩陣為

假設加性噪聲 n(t)為歸一化白噪聲，與信號相互獨立，則

在上面2個假設的前提下，陣列觀察信號的協方差陣可以寫為

3.1 球化數據

球化是JADE方法的第一步，通過球化可以消除各通道數據間的二階相關。假設N×M維球化矩陣為W，則球化就是使輸出 z =Wy的各分量 zi(t)的方差為1，且互不相關（但未必相互獨立）。

不失一般性，可以假設各源信號方差都為 1，則

所以

其中U=WA是一個酉矩陣。對任意的球化矩陣W都存在一個酉矩陣使得

其中，#表示偽逆，W#=W*( WW*)-1。

3.2 JADE算法

由式(13)可知：求出酉矩陣U便可對陣列流型矩陣A實現辨識。JADE算法的主要特點是引入了四階累積量矩陣。令為球化后的天線陣觀測矢量，M為任意M×M矩陣。則z的四階累積量矩陣第 i, j個元素定義為其中，Kijkl(z)是矢量z中第 i, j, k, l 4個分量的四階累積量， mkl是矩陣M的第 k, l個元素。

酉矩陣U = W A=[u1u2…uM]，ui=[ui1ui2…uiM]T，則

可以證明[7]：以M為權重矩陣構成的累積量矩陣 Θz( M)必可分解為

其中，λ= k4(sm)是信源 sm的峰度，M稱為 Θz(M)的特征矩陣，k4(sm)是對應的特征值。因此 Θz(M)可表示成 U Λ(M) U*。

其中

由此可見，U矩陣在這里起著將 Θz(M)對角化的作用。如果各信源的峰度互不相同，則um和λm也就各不相同，那么就能得到酉矩陣U，進而可以求得陣列流型矩陣A和各獨立分量。

3.3 DOA估計的實現

天線陣為均勻直線陣，陣元間距為d，則陣列流型矩陣中的的方向矢量可以看成是對復正弦曲線的均勻采樣，采樣數即天線陣元數M。例如：

其中

式(19)中，f為載波頻率，c為波速。

復雜多徑環境下，方向矢量可以看成是由多路復正弦曲線線性混合而成。

式(20)中iα為復常系數。

可以采用頻譜分析的方法估計各頻率點ωi( i=1 ,2,…,m )，進而可求出信號的來波方向。

頻譜分析一般是通過DFT方法來實現，但在這里，由于天線陣元數有限即采樣數據較少，不宜采用DFT方法，而是采用一些其他的方法，如改進的前后向預測算法MFBLP[9]等。

綜上所述，基于JADE算法的DOA估計實現步驟總結如下。

第2步：選擇矩陣組M，根據球化數據z求得一組累積量矩陣 Θz( Mi)，i=1～P。

第5步：利用MFBLP算法對矩陣A?的列矢量進行頻率估計，進而計算出各信號來波方位為

這里稱為JADE-MFBLP算法。

4 克拉美羅界

利用中心極限定理可知：具有確定均值和方差的多個獨立隨機過程的混合接近高斯分布。在盲源分離和獨立分量分析中，一般假設各源信號是相互獨立的，且為未知的非高斯分布（至多有一個高斯分布），而且假設混合過程是線性的，混合矩陣固定，且信號和噪聲的均值為零，可以認為混合信號的分布近似為多元高斯分布。那么，混合信號概率密度函數的確定，只需要確定各混合信號的均值和方差。

由于信號間相互獨立，信號和噪聲互不相關，且均值都為零，則混合信號x的均值為

協方差矩陣為

那么，L次獨立快拍數據的聯合密度函數可以寫為

由于假設多次快拍間是獨立的，可以先對一次快拍進行處理，最后再將所有的結果組合。單次快拍的對數似然函數為

Fisher信息矩陣（FIM）中的元素為

應用矩陣求逆引理：

將FIM矩陣寫為如下分塊矩陣的形式。

可以按同樣的方式將 CRB矩陣寫成分塊矩陣形式：

利用分塊矩陣的求逆公式，可以求得[8]

上述的所有表達式都是基于單次快拍結果。如果有N次獨立的快拍結果，那么它的對數似然函數為

5 仿真實驗

本節將對DOA估計性能進行了仿真分析。

仿真1 2個獨立信號源。

假設有2個相互獨立的QAM信號，來波方位分別為θ1和θ2，信噪比為SNR，天線陣元數為M，采樣長度為 NS= 1 000。

首先對 MUSIC算法、Toeplitz近似算法以及JADE-MFBLP算法在不同信噪比下的成功概率和估計方差進行仿真實驗，實驗結果如圖1所示。

由圖1可以看出，本文所提出的新方法在不同信噪比下對2個相互獨立的信號進行來波方位估計時，估計方差較MUSIC算法和Toeplitz近似算法都要小；成功概率與Toeplitz近似算法基本相同，比MUSIC算法要好。

圖1 MUSIC、Toeplitz近似算法和JADE-MFBLP算法對2個相互獨立信號的估計性能信真結果

當2個信號的來波方位相同時，且未知任何信號先驗知識的情況下，常用的 DOA估計方法（例如MUSIC算法、Toeplitz近似算法等）都是無法進行DOA估計的。而JADE-MFBLP算法仍然可以實現對這2個信號的有效DOA估計，實驗結果如圖2所示。

由圖2可以看出，雖然JADE-MFBLP算法性能較2個信號來波方位不同時有所下降，但還是可以實現對2個來波方位相同信號的有效DOA估計。

下面對基于JADE盲源分離的DOA估計方法的估計方差與理想克拉美羅下界進行比較。此時，M= 8 ，仿真結果如圖3所示。

圖3 JADE-MFBLP算法的估計方差與CRB的比較

圖4 JADE-MFBLP算法與JADE-Toeplitz算法隨信噪比變化時的成功率和估計方差

由圖3可以看出，JADE-MFBLP算法的的估計方差隨著信噪比的增加，逐漸逼近理想的克拉美羅下界。

仿真2 2個相干信號源。

下面假設有2個完全相關（相干）的QAM信號，來波方位分別為θ1和θ2，信噪比為SNR，天線陣元數為M=8，采樣長度為 NS= 1 000。由于MUSIC算法不能對相干信號進行有效DOA估計，因此這里只對Toeplitz近似算法以及JADE-MFBLP算法在不同信噪比下的成功率和估計方差進行仿真實驗，實驗結果如圖4所示。

由圖4可以看出，在對2個相干信號源進行DOA估計時，當信號來波方位相差較大時，Toeplitz近似算法的估計性能要略優于JADE-MFBLP算法；但當 2個信號來波方位較小時，Toeplitz近似算法的估計方差明顯變大，性能下降，而JADE-MFBLP算法性能則明顯優于Toeplitz近似算法。由此可見，JADE-MFBLP算法的穩定性要優于Toeplitz近似算法。

仿真3 JADE-MFBLP算法對多個相干信號的分辨能力。

JADE-MFBLP算法對相干信源的分辨能力與JADE算法的信號盲分離能力和 MFBLP算法的頻率辨識能力密切相關。在不考慮噪聲影響的情況下，JADE-MFBLP算法在不同陣元數時對相干信源的分辨能力如圖5所示。

圖5 不同陣元數時JADE-MFBLP算法可分辨的相干信源數

下面在陣元數M=6及不同信號源數的情況下，用JADE-MFBLP算法進行DOA估計。實驗結果見表1（其中CM為常模信號）。

由圖5可以看出，隨著陣元數的增加，JADEMFBLP算法可分辨的相干信源數也增多。從表 1則可以看出，當源信號增多時，JADE-MFBLP算法的分辨效果受到一定的影響，但當天線陣接收信號數（含相干多徑信號）大于陣元數時，仍可以實現對各信號有效的DOA估計。

表1 JADE-MFBLP算法對多個信號進行DOA估計

6 結束語

在復雜的電磁環境下，不僅可能存在同向信號，而且當多徑現象存在時還會造成過載現象等，現有的DOA估計方法都不能很好解決這些問題。因此，針對上述問題，本文提出了一種基于 JADE算法的DOA估計新方法。仿真實驗證明，該方法不僅對獨立信號有較好的估計性能，可以實現對來波方位相同的2個信號實現有效分辨，而且在對相干信號進行分辨時的穩定性較Toeplitz近似算法要好，在信源數（含相干多徑信號）大于陣元數時仍然可以使用。因此，在復雜的多徑環境下，采用本文方法進行DOA估計將更具有優勢。

[1] 王永良，陳輝，彭應寧. 空間譜估計理論與算法[M]. 北京∶ 清華大學出版社, 2004.WANG Y L, CHEN H, PENG Y L. The Theories and Algorithms on Spatial Spectrum Estimation[M]. Beijing∶ Tsinghua University Press, 2004.

[2] SHAN T J, WAX M, KAILATH T. On spatial smoothing for direction-of-arrival estimation of coherent signals[J]. IEEE ASSP, 1985,33(4)∶ 806-811.

[3] PILLAI S U, KWON B H. Forward/backward spatial smoothing techniques for coherent signal identification[J]. IEEE ASSP, 1989, 37(1)∶ 8-15.

[4] DI A. Multiple sources location-a matrix decomposition approach[J].IEEE ASSP, 1985, 33(4)∶ 1086-1091.

[5] HAN F M, ZHANG X D. An ESPRIT-like algorithm for coherent DOA estimation[J]. IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters,2005, 4(1)∶ 1086-1091.

[6] 韓芳明, 張守宏. 用改進的MUSIC算法實現相干多徑信號分離[J].系統工程與電子技術, 2004, 26(6)∶ 721-724.HAN M F, ZHANG S H. Separation of coherent multi-path signals with improved MUSIC algorithm[J]. Systems Engineering and Electronic, 2004, 26(6)∶ 721-724.

[7] PHAM D T, CARDOSO J. Blind separation of instantaneous mixtures of nonstationary sources[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2001,49(9)∶1837-1848.

[8] HARRY L, TREES V. Optimum Array Processing. Part IV of Detection, Estimation, and Modulation Theory[M]. John Wiley & Sons, Inc,2002. 704-720.

[9] TUFTS D W, KUMARESAN R. Estimation of frequencies of multiple sinusoids∶ making linear prediction perform like maximum likelihood[J]. IEEE Proc, 1982, 70(9)∶ 975-989.