基于Arnold置亂和Hadamard變換的雙水印信號預處理算法

羅錦 胡桂明 季宏杰

1 廣西大學電氣工程學院 廣西 530004

2 濟南鋼鐵集團運輸部 山東 250101

0 前言

隨著信息數字化時代的到來，數字水印技術在數字內容的產權保護這一領域具有十分廣泛的應用。公鑰數字水印系統是數字水印的一種，它設立了兩個密鑰，分別對應兩個水印，其中一個是版權所有者的私鑰，另一個是可以公開的版權公鑰。任何人都可以利用公鑰檢驗圖像的所有者屬于誰，這樣能使發現盜版產品的機會大大增加。

為了使兩個水印圖像能同時嵌入到載體中，而又能互不干擾地使用各自的密鑰將兩個圖像提取出來，文中提供了一種基于Arnold置亂和Hadamard變換的雙水印信號預處理算法。算法的主要步驟如圖1所示。

圖1 雙水印信號的預處理過程

1 Arnold置亂

Arnold置亂是經典的置亂變換之一，它能改變信息的分布狀況，使圖像信息分布散亂化，同時，它的邏輯簡單，實現方便，可以有效降低系統的復雜度。根據所選擇不同的相位空間可分為二維、三維、四維直至N維的Arnold變換。本文針對的研究對象是二維圖像，故采用的是二維Arnold變換。其定義為：

其中，(x,y)是原圖像的像素點，(x′,y′)是變換后新圖像的像素點，n是圖像的階數，即圖像的大小，一般考慮正方形圖像。在水印信號的生成階段，把置亂的次數作為加密的密鑰。Arnold具有周期性的特點，即隨著迭代次數的增加，圖像趨于混亂，經過一定的次數后，又回到原圖。其Matlab代碼如下。

function Arnold(Image,k) %k：圖像需要迭代的次數

R=imread(Image);

M=Q;

Size_Q=size(Q);

n=0;

K=Size_Q(1);

在文中，把一個大小為64×64的二值圖像作為水印圖像。迭代次數k取不同值時得到的水印信號如圖2所示。

圖2 迭代次數k取不同值時的Arnold變換結果

為了減少迭代次數，優化算法，在文獻中，論文作者經過嚴謹的數學推導，通過求解方程組的方法，提出了一種新的Arnold反變換算法。據此提供了Arnold反變換的Matlab代碼。

2 Hadamard變換

Hadamard矩陣H是由+1和-1兩個元素組成的正交方陣，它的任意兩行或者兩列都互相正交，即

在式(2)中，[H]T為[H]的轉置矩陣，N為[H]的階數，[I]為單位陣。

為了將兩個水印W 1和W2同時嵌入而且能夠互不干擾地恢復，需要對它們進行正交變換，為此采用2階Hadamard正交變換，步驟為：

(1) 把W1、W2分別作迭代次數為k1、k2的Arnold置亂，得到兩個大小為64×64的置亂矩陣M1,M2，此時k1、k2即為兩個水印信號對應的密鑰；

(2) 把矩陣M1,M2的所有元素按照行順序取出，分別置入到大小為1×4096的向量I1,I2中；

(3) 分別取 I1,I2的轉置矩陣，進行混合編碼

得到大小為4096×2混合編碼Im；

(4) 使用2階Hadamard矩陣H2，對混合編碼 Im進行正交變換：

此時得出的 Im為Hadamard變換的最終結果，也就是待嵌入的水印信號編碼。

恢復水印時，首先提取到 Im，根據式(5)恢復相應的水印置亂結果：

其中，Hi為H2矩陣的第i列向量。

如果把Hadamard矩陣的列向量視為地址碼，式(5)實質上是按地址碼的不同而區分水印，稱之為碼分多址。

通過Hadamard變換，能同時嵌入兩個數字水印。由于兩個水印互相正交，從水印信號編碼中提取公開水印時，不影響私有水印的提取，同時也只能得到私有水印置亂后的信號，只有知道私鑰的人才能從中恢復出私有水印。

3 仿真實驗

根據前文論述的方法，對兩幅二值水印圖片做Arnold置亂操作，如圖3所示。

圖3 將雙水印做Arnold置亂操作后的結果

根據上文提供的步驟(1)-(4)，對置亂后的兩個水印進行混合編碼，編碼的結果再做Hadamard變換，得到需要的水印信號編碼。

然后，我們依據式(5)進行編碼提取，得到I1,I2的轉置矩陣，將I1,I2的元素取入到大小為64×64的矩陣M1,M2中，然后對M1,M2分別作21次和29次Arnold置亂，得到的結果如圖4所示。

圖4 對M1,M2矩陣做21次和29次Arnold迭代后結果

4 結論

Arnold置亂邏輯簡單，便于實現，Hadamard變換能將兩個水印信號的混合編碼進行正交變換，生成的信號編碼能同時嵌入到載體圖像中，并且公開水印和私有水印能互不影響地提取，給多重水印信號的預處理提供了一種新的方法。

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