磁化等離子體覆蓋導體散射問題的FE/BI方法分析

崔志偉 韓一平 李明磊

(西安電子科技大學理學院,陜西 西安710071)

1.引 言

近年來,由于等離子體隱身技術在軍事領域的廣泛應用,而使其成為國內外廣泛關注的一個研究課題。等離子體既有損耗,又有色散,在有外加磁場作用時還表現出各向異性特性。當電磁波在磁化等離子體中傳播時,等離子體不僅能夠衰減入射波的能量,而且還能改變它的傳播方向和極化方向,因此,在突防飛行器表面覆蓋磁化等離子體可以吸收雷達波和形成波形畸變,從而減小雷達散射截面,使飛行器具有雷達隱身性能。要實現這種隱身方法,就需要定量分析磁化等離子體覆蓋目標的電磁散射特性。磁化等離子體是一種特殊的各向異性介質,目前只有一些典型的磁化等離子體覆蓋目標才可以得到嚴格的解析解,如球體目標[1]。但對于任意形狀的三維復雜目標,解析方法往往無能為力,能夠廣泛發揮作用的唯有能夠分析含有各向異性介質散射問題的各種數值方法,如積分方程法[2]、時域有限差分(FDTD)[3]方法和混合矢量有限元/邊界積分(FE/BI)[4-5]方法等。FDTD方法是分析各向異性磁化等離子體覆蓋導體目標與電磁波的相互作用的主要數值方法[6],但是采用FDTD方法需要將無限求解域截斷,截斷邊界要保持與等離子覆蓋層相當距離,以保證吸收邊界的精度,這就擴大了求解域,更為不利的是吸收邊界是近似的,其近似程度隨散射體形狀而變化。如果采用FE/BI方法分析這類問題,等離子體外邊界就可以作為截斷邊界,等離子體內的場由矢量有限元給出,邊界上的場由積分方程給出,兩者通過連續性邊界條件進行耦合,這樣既利用了有限元法在處理復雜結構方面的通用性和靈活性,又利用了邊界積分方程能夠自動滿足輻射邊界條件,可以縮小求解域。雖然邊界積分方程離散的稠密矩陣破壞了有限元離散矩陣的稀疏性,但可以用快速多極子技術加速矩陣與矢量的相乘來彌補這一不足。

本文給出了各向異性磁化等離子體相對介電張量與入射波頻率、等離子體碰撞頻率、等離子體角頻率和電子回旋頻率的具體關系,利用不同坐標系之間的轉換矩陣,推導了任意外磁場方向情況下磁化等離子體的相對介電常數張量。詳細推導了適用于分析各向異性磁化等離子體覆蓋導體目標散射問題FE/BI公式。應用該方法計算了各向異性等離子體覆蓋導體球的RCS,將計算結果與基于球矢量波函數得到的解析解進行了對比。最后以磁化等離子體覆蓋導體圓柱目標為例分析了等離子體厚度、密度、碰撞頻率和外磁場方向對雷達散射截面的影響。

2.理論分析

2.1 磁化等離子體的相對介電張量

磁化等離子體既有損耗,又有色散,同時也是各向異性的,其相對磁導率為一實數,而相對介電常數為一張量,其表達形式與所選取的坐標系有關。若以外加磁場B0的方向為z′軸,建立局部坐標系x′y′z′。在x′y′z′系中 ,磁化等離子體的相對介電張量(ω)為[7]

式中：

在外磁場局部坐標系中磁化等離子體的相對介電張量有簡單的表達形式,而電磁測量往往是在實驗室坐標系下建立的。實驗室全局坐標系xyz中的相對介電張量(ω)可由外磁場局部坐標系x′y′z′中的相對介電張量(ω)轉換而來[8],即

式中：U為xyz坐標系和x′y′z′坐標系的轉換矩陣;UT為U的轉置矩陣。

式中,θt,φt為外磁場局部坐標系在實驗室全局坐標系中的方向角,如圖1所示。

圖1 外磁場在全局坐標系中的方位角

2.2 磁化等離子體覆蓋導體目標散射問題的FE/BI公式

采用矢量有限元/邊界積分(FE/BI)方法分析磁化等離子體覆蓋導體目標散射問題的原理是將等離子體外邊界Se(如圖2所示)作為截斷邊界,等離子覆蓋區域V內的場用矢量有限元給出,外部區域的場用邊界積分方程給出,這兩個區域的場在邊界Se上通過連續性邊界條件耦合起來,從而得到一個內部場和邊界場解的完備方程組。

圖2 磁化等離子體覆蓋導體目標示意圖

等離子體區域V內的電場滿足下面泛函的變分[9]

式中：μr和εr分別為磁化等離子體的相對磁導率和相對介電張量,μr=1,εr的具體表達式由式(1)給出;V表示Si和Se所包圍的區域;n表示Se邊界的外法向單位矢量;k0是自由空間的波數=Z0H,其中Z0是自由空間的波阻抗。

在邊界面Se上引入等效電流和等效磁流M,可建立如下的電磁場積分方程[9]

等效電流J和等效磁流M與邊界上的電磁場有下面簡單關系

方程中的兩個算子定義為

式中G0(r,r′)為自由空間中標量格林函數。

為了離散泛函F和邊界積分方程,將等離子體區域V離散為許多小四面體單元,對應的邊界面被離散為許多小的三角面元。通過使用Whitley矢量基函數,每個體單元內的場可展開為[10]

式中,Ni是Whitley矢量基函數,而n×數恰好就是RWG基函數,Ei,Hi表示基函數的展開系數。

將式(14)和(15)帶入式(7),對未知量采用全局編碼,并通過求和運算,得到

按照里茲方法,取F對每個棱邊場Ei的偏導數,并令其為零得到

式中：i=1,2,3,…,N,k=1,2,3…,Ns,N是所有未知量總數,Ns是邊界面上未知量總數。式(19)可以寫為矩陣形式

式中：B是Ns×Ns方陣,具體表達式參考文獻[9];K是N×N方陣,由單元矩陣Ke=Ae-De組合而成,Ae和De的表達形式為

式中：Ae是6×6的對稱矩陣的具體表達形式可以參考文獻[10];De是6×6的非對稱矩陣,的具體表達形式可以參考文獻[4]。方陣K可以寫為

將式(16)和(17)代入式(8)和(9),并選取合適的測試函數對積分方程進行離散可以得到聯立方程(20)和(24)可以得到一個完備方程組

式中：EⅠ是區域V內的未知離散電場參量;Es和分別是區域邊界Se上的未知電場和磁場參量;P和Q為邊界積分方程阻抗矩陣;b為激勵源向量,具體表達形式可參考文獻[10]。

3.實驗結果分析

為了驗證程序的正確性,首先計算了一個導體球表面覆蓋各向異性等離子體時的雷達散射截面。為了便于與已有的文獻比較,取導體球的尺寸以及等離子體的電參數與文獻[1]一致(見參考文獻[1]、圖4)。設導體球的半徑為a,等離子體覆蓋的厚度為d,兩者分別滿足關系k0a=π,k0d=0.15π。等離子體的電參數是 ε1=3.0,ε2=-1.0,ε2=5.0,這里假定外磁場局部坐標系和實驗室全局坐標系一致,即外磁場沿+z軸方向。圖3給出了該各向異性等離子體覆蓋導體球的雙站雷達散射截面,從圖中可以看出FE/BI方法的計算結果與文獻[1]中基于球矢量波函數得到的解析解吻合得非常好,說明本文方法及程序是正確的。

圖3 各向異性等離子體覆蓋導體球的雙站RCS

圖4給出的是外磁場沿不同方向時磁化等離子體覆蓋導體圓柱目標的RCS。圓柱的底面直徑d=1.0λ0,高h=1.0λ0,入射平面波從圓柱側面沿 +y方向入射,其電場沿+z方向極化。入射電磁波的頻率取3.0 GHz,對應的角頻率 ω=3.0×2π×109rad/s。等離子體覆蓋厚度d=0.5λ0,等離子體參數分別取 ωp=2.0×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,ωc=2.0×2π×109rad/s。從圖4中可以看出,在導體圓柱表面覆蓋一定厚度磁化等離子體能夠有效地減小導體圓柱目標的RCS,且外磁場沿不同方向時RCS會有所變化,雖然變化不是很大,但是可以看出：當外加磁場方向與入射電磁波方向一致時(θt=90°,φt=90°),該目標的 RCS 相對要小些。

圖4 外磁場沿不同方向時等離子體覆蓋導體圓柱的雙站RCS

下面以磁化等離子體覆蓋導體圓柱為例,分析等離子體密度、覆蓋厚度以及電子碰撞頻率對雷達散射截面的影響。圓柱的尺寸以及電磁波入射方向和上例相同。圖5給出了覆蓋厚度為0.3λ0,0.4λ0,0.5λ0三種情況下磁化等離子體覆蓋導體圓柱的RCS。等離子體參數取 ωp=2.8×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,ωc=2.0 ×2π×109rad/s,θt=90°,φt=90°。從圖5中可以看出磁化等離子體覆蓋厚度對導體圓柱的RCS影響很大。

圖6給出的是(等離子體密度與等離子體頻率的關系為 ωp≈56.4)磁化等離子體覆蓋導體圓柱在不同等離子體密度情況下的 RCS仿真結果。取等離子體覆蓋厚度d=0.3λ0,等離子體參數取ωc=2.0×2π×109rad/s,vc=5.0 GHz,θt=90°,φt=90°。從圖6中可以看出RCS隨著等離子體密度的增大而減小,這與已有的結論是吻合的。

圖7給出了等離子體碰撞頻率對RCS影響的仿真結果。等離子體參數取 ωp=2.8×2π×109rad/s,θt=90°,φt=90°,ωc=2.0 ×2π×109rad/s,覆蓋厚度取d=0.5λ0.從圖7中可以看出電子碰撞頻率對RCS有一定的影響,這一點很容易從等離子體碰撞機理得到解釋。

4.結 論

本文從有限元泛函出發,根據里茲方法推導出了能夠計算各向異性磁化等離子體電磁散射問題的FE/BI公式,利用不同坐標系之間的轉換矩陣,將該方法推廣到能夠分析外磁場沿任意方向情況下磁化等離子體覆蓋導體目標的散射問題。該方法公式推導簡單、對外磁場沒有限制、還可以結合快速多極子技術求解電大尺寸磁化等離子體覆蓋導體目標散射問題。應用該方法計算了導體球表面覆蓋各向異性等離子體的RCS,計算結果與基于球矢量波函數得到的解析解吻合很好。以磁化等離子體覆蓋導體圓柱目標為例分析了等離子體厚度、密度、碰撞頻率和外磁場方向對RCS的影響。數值結果表明：適當選取等離子體參數,可以使等離子體包層有效地減小目標的雷達回波。

[1] 耿友林,吳 健,李樂偉.阻抗球涂覆均勻等離子體電磁散射的解析解[J].電波科學學報,2007,22(6)：913-917.GENG Youlin,WU Jian,LI Lewei.Analyticalsolution to electromagnetic scattering by an anisotropic plasma-coated impedancesphere[J].Chinese Journal of Radio Science,2007,22(6)：913-917.(in Chinese)

[2] 朱秀芹,耿友林,吳信寶.三維各向異性介質目標電磁散射的MOM-CGM-FFT方法[J].電波科學學報,2002,17(3)：209-215.ZHU Xiuqin,GENG Youlin,WU Xinbao.Application of MOM-CGM-FFT method to scattering from threedimensional anisotropic scatterers[J].Chinese Journal of Radio Science,2002,17(3)：209-215.(in Chinese)

[3] 龔主前,朱國強,鄭立志,等.各向異性材料散射的FDTD分析[J].電波科學學學報,2002,17(5)：455-461.GONG Zhuqian,ZHU Guoqiang,ZHENG Lizhi,et al.The FDTD method to analyze electromagneticscattering of anisotropic objects[J].Chinese Journal of Radio Science,2002,17(5)：455-461(in Chinese)

[4] 譚云華,周樂柱.快速多極子-邊棱元混合算法分析三維非均勻各向異性復雜目標的電磁散射[J].電子學報,2004,32(4)：620-624.TAN Yunhua,ZHOU Lezhu.Application of the FMAFEM hybrid method to analyzing Electromagnetic Scattering from 3-D anisotropic inhomogeneous objects[J].Acta Electronic Sinica,2004,32(4)：620-624.(in Chinese)

[5] TAN Y H,ZHOU L Z,ZHANG Y J.Analysis of electromagnetic scattering form 3-D conductors coated with anisotropic inhomogeneous materials using the FEM-FMA[J].In Proc.3rd Int.Conf Microw.Millim.Wave Technol.,2002,622-625

[6] 徐利軍,劉少斌,莫錦軍,等.各向異磁化等離子體涂敷三維導體目標FDTD分析[J].物理學報,2006,55(7)：3470-3474.XU Lijun,LIU Shaobin,MO Jinjun,et al.FDTD analysis of 3-D conducting target coated by anisotropic magnetized plasma[J].Acta Physica Sinica.2006,55(7)：3470-3474.(in Chinese)

[7] 莊釗文,袁乃昌,劉少斌,等.等離子體隱身技術[M].北京：科學出版社,2005.

[8] 王 飛,葛德彪,魏 兵.磁化鐵氧體電磁散射的移位算子FDTD分析[J].物理學學報,2009,58(9)：6356-6362.WANG Fei,GE Debiao,WEI Bing.SO-FDTD analysis of EM scattering of magnetized ferrite[J].Acta Physica Sinica.2009,58(9)：6356-6362.(in Chinese)

[9] SHENG X Q,JIN JM,SONG JM,et al.On theformulation of hybrid finite-element and boundary-integral method for 3D scattering[J].IEEE Trans.Antennas Propag.,1998,46(3)：303-311.

[10] 金建銘.電磁場有限元方法[M].西安：西安電子科技大學出版社,1998.

[11] 耿友林.球矢量波函數在各向異性介質電磁散射中的應用[D].西安：西安電子科技大學,2006.

[12] 劉少斌,張光甫,袁乃昌.等離子體覆蓋立方散射體目標雷達散射截面的時域有限差分法分析[J].物理學報,2004,53(8)：2633-2637 LIU Shaobin,ZHANG Guangfu,YUAN Naichang.Finite-difference time-domain analysis on radar cross section of conducting cube scatterer covered with plasma[J].Acta Physica Sinica.,2004,53(8)：2633-2637.(in Chinese)