卡氏積碼的MDR碼和自對偶碼

劉修生

（黃石理工學院 數理學院，湖北 黃石 435003）

1 引言

在環Zk中的一個長度為n的碼C是上的一個子集。如果這個碼C還是上的子模，則稱C是Zk上的線性碼。特別地，如果碼C是的自由子模，就說碼C是自由的。文中所涉及的碼均假設為線性碼，對環繞空間附加標準內積。用來定義碼C的正交碼。為了方便讀者，敘述已有的符號如下：

dH(C)表示碼C的Hamming距離。

WH(C)表示碼C的Hamming重量。

若C為線性碼，則dH(C)=min{WH( c)?c∈C}。

這里fi是正整數且滿足。稱為有限生成子模R的秩，記為rank(R)。注意這個有限生成子模R的元素個數為。

文獻[1]證明了：若C是Zk上長度為n的碼，則dH(C)≤n-rank(C)+1。

為此，引進了如下定義[2]。

定義1 如果Zk上長度為n的線性碼C滿足：

則稱C是關于秩的一個極大距離碼，簡稱C是MDR碼。對于Zpk上的MDR碼(p為素數)，文獻[3]給出了一個對偶和一個矩陣刻劃。對于一般的整數m，設它的標準分解式為本文的目的是：由上的碼C1,…,Cs的特征來刻劃Zm上碼C。

2 中國剩余定理

則由中國剩余定理知ψ是一個環同構[4]。

對于Zm中長度為n的碼C，定義：

則易驗證Ci是Zir的碼，且ψ在C上的限制Cψ定義為：

是碼C與碼C1×C2×…×Cs的一個同構，其中C1×C2×…×Cs稱為碼C1, C2,…,Cs的卡氏積碼。

由上述可見，研究Zm上的碼C可轉化為研究碼C1, C2,…,Cs的卡氏積碼。

3 卡氏積碼

設r1, r2,…,rs是兩兩互質的正整數，C1, C2,…,Cs分別是Zr1,…,Zrs上的碼。由上定義，這s個碼的卡氏積碼為

引理1 記號如上，有：

證明 由子模同構定理知C1, C2,…,Cs分別同構于：

由整除的性質知，C1×C2×…×Cs也同構于：

從而，按秩的定義知，rank((C1×C2×…×Cs))=max{ rank(Ci)}。

引理2 記號如上，則

證明

定理1 設C1, C2,…,Cs分別是Zr1,…,Zrs上的碼，如果對于每一個i，Ci是一個MDR碼，則C=C1×C2×…×Cs是MDR碼。

證明 由于C1, C2,…,Cs是MDR碼，所以有：

從而：

故C是MDR碼。

定理1反之不然。

例如 設C是Z6上具有生成矩陣：

不是Z3上的MDR碼。

定理2 設C=C1×C2×…×Cs，則

從而?v1∈C1, v2∈C2,…,vs∈Cs,有：

于是對于任意v=(v1, v2,…,vs)∈C,有：

故uC⊥∈，因此

反過來，若ω=(ω1, ω2,…,ωs)∈C⊥,則對任意v=(v1, v2,…,vs)∈C,有：

取v2=…=vs=0,v1為C1中任意元，則故ω1∈。

取v1=v3=…=vs=0,v2為C2中任意元，則[ω,v]=[ω2,v2]=0。

同理有ω2∈，如此類推，有ω3∈,…ωs∈。

推論1 C=C1×C2×…×Cs自對偶碼的充要條件為C1, C2,…,Cs都是自對偶碼。

證明 充分性顯然。下面證明必要性。

對于每一個Ci，證明Ci=。

事實上，對任意的ci∈,有(0,…,0,ci,0,…,0)。由C=C1×C2×…×Cs為自對偶碼知，(0,…,0,ci,0,…,0)∈C1×…×Ci×…×Cs。故ci∈Ci,從而，?Ci。

反過來，?ci∈Ci,則：

故又有ci∈,從而Ci?。

綜合得Ci=。因此C1, C2,…,Cs都是自對偶碼。

[1] SHIROMOTO K. A singleton bound for codes over finite rings[J].Journal of Alagebraic Combinatorices,2000,(12): 95-98.

[2] DOUGHERTY S T, SHIROMOTO K. MDR codes over Zk[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2000,46(1): 265-269.

[3] SHIROMOTO K. Note on MDS codes over the integers modulo Pm[J].Hokkaido Math Journal, 2000, 29:119-148.

[4] DOUGHIERTY S T, HARADA M, SOLE P. Self-dual odes over rings and the Chinese remainder theorem[J]. Hokkaido Math Journal, 1999,28: 253-283.