多進(jìn)制chirp-rate鍵控調(diào)制及分?jǐn)?shù)傅里葉變換法解調(diào)

肇啟明，張欽宇，張乃通

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 電子與信息工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 深圳研究生院，廣東 深圳 518055)

1 引言

在無(wú)線通信中為了提高頻譜利用率，高階調(diào)制技術(shù)被廣泛使用。傳統(tǒng)的高階調(diào)制技術(shù)以正、余弦載波為基礎(chǔ)，只有3個(gè)參數(shù)即幅度、頻率和相位可供調(diào)制使用，一定程度上制約了調(diào)制的性能。例如，以相位作為鍵控對(duì)象的 MPSK調(diào)制雖然具有恒包絡(luò)特性，但由于其調(diào)制星座點(diǎn)均勻分布于一個(gè)圓周之上，隨著調(diào)制進(jìn)制數(shù)的增加，星座圖變密，抗干擾能力降低；以幅度作為鍵控對(duì)象的MQAM調(diào)制

雖然具有較好的抗干擾能力，但不具有恒包絡(luò)特性，功率效率較低；以頻率作為鍵控對(duì)象的MFSK調(diào)制具有恒包絡(luò)特性并且抗干擾性能理想，但是帶寬效率較低。Chirp信號(hào)是另一類基本信號(hào)，較正、余弦信號(hào)多了一個(gè)稱之為調(diào)頻率(chirp-rate) 的參數(shù)，用chirp信號(hào)作 (副) 載波能夠獲得一個(gè)額外的可供調(diào)制使用的自由度，從而可以設(shè)計(jì)新型調(diào)制方式。二進(jìn)制chirp-rate調(diào)制 (也稱chirp-BOK) 是基于 chirp信號(hào)參數(shù)鍵控的一種最簡(jiǎn)單的調(diào)制方式，最早于20世紀(jì)60年代作為一種擴(kuò)頻通信方式被提出，此后的研究表明其具有較強(qiáng)的抵抗多徑干擾和快速移動(dòng)造成的快衰落影響等優(yōu)良特性[1,2]。采用二進(jìn)制 chirp-rate調(diào)制的簡(jiǎn)單通信方案具有低成本和低功耗的優(yōu)勢(shì)，比較適合于室內(nèi)近距離高速傳輸?shù)冉鉀Q方案，chirp擴(kuò)頻（啁啾展頻）方案已經(jīng)成為IEEE 802.15.4a建議的物理層標(biāo)準(zhǔn)之一。然而，傳統(tǒng)的chirp信號(hào)分析和處理方式主要基于chirp信號(hào)理想的自相關(guān)特性采用匹配濾波的方式，隨著使用的chirp信號(hào)參數(shù)的增加，匹配濾波處理變得復(fù)雜，一定程度上制約了多參數(shù) chirp信號(hào)在一般無(wú)線通信系統(tǒng)中的廣泛應(yīng)用。近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的理論的逐步完善以及與快速傅里葉變換(FFT)復(fù)雜度近似的離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換算法的逐漸成熟，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換已經(jīng)成為 chirp信號(hào)分析和處理的有力工具[3～7]。經(jīng)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，chirp信號(hào)在某最優(yōu)階次的分?jǐn)?shù)傅里葉域上具有理想的能量聚集特性（沖激特性），并且該最優(yōu)變換階次以及該變換域上能量聚集的位置與 chirp信號(hào)的chirp-rate及中心頻率2參數(shù)間具有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系[8]。根據(jù)上述特性，本文首先提出了一種利用chirp信號(hào)不同的chirp-rate承載代表不同信息符號(hào)的新方法，稱為多進(jìn)制 chirp-rate鍵控 (MCrSK,multiple chirp-rate shift keying)，并采用分?jǐn)?shù)傅里葉變換法進(jìn)行解調(diào)。仿真表明，在 AWGN信道中，保證一定的接收信噪比條件下，該方法允許采用更高進(jìn)制的調(diào)制并具有優(yōu)于MPSK的誤碼率性能。進(jìn)而，鑒于chirp信號(hào)中心頻率參數(shù)獨(dú)立于chirp-rate參數(shù)，將MCrSK和中心頻率參數(shù)鍵控聯(lián)合使用，其實(shí)質(zhì)是MCrSK與MFSK的級(jí)聯(lián)，能夠在一定的誤碼率條件下進(jìn)一步提高調(diào)制進(jìn)制數(shù)。MCrSK的帶寬效率優(yōu)于MFSK，而誤碼率性能劣于MFSK，通過(guò)靈活地搭配MCrSK與MFSK在級(jí)聯(lián)使用中的權(quán)重，可以獲得帶寬效率與誤碼率性能的靈活折中。

本文中，第2節(jié)對(duì)分?jǐn)?shù)階傅里葉變換以及chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階變換特性進(jìn)行介紹；第 3節(jié)給出MCrSK調(diào)制、解調(diào)原理及其誤碼率性能仿真及分析；第4節(jié)分對(duì)MCrSK與MFSK的聯(lián)合使用進(jìn)行了研究；第5節(jié)是結(jié)束語(yǔ)。

2 Chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換性質(zhì)

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FrFT, fractional Fourier transform)是傅里葉變換的一種廣義形式，將信號(hào)在時(shí)—頻平面上由時(shí)間軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度的新的變換域上進(jìn)行描述，能夠揭示信號(hào)的頻率時(shí)變規(guī)律。根據(jù)經(jīng)典定義方法，函數(shù) f(t)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換可表示為

其中，p為分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次；α為分?jǐn)?shù)階傅里葉域 (u軸) 從時(shí)間軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度，α= πp/2；非整數(shù)階分?jǐn)?shù)傅里葉變換的積分核函數(shù)K(α; u, t)定義為

當(dāng)p=1時(shí)，分?jǐn)?shù)傅里葉變換退化為傅里葉變換；當(dāng)p=0時(shí)，變換將保持原函數(shù)不變。

復(fù)形式chirp信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式為

其中，φ為初始相位；f0為中心頻率；k為調(diào)頻率即chirp-rate。當(dāng)k＞0時(shí)，chirp信號(hào)的瞬時(shí)頻率隨時(shí)間增大，常稱為up-chirp，反之則稱為down-chirp；T時(shí)間內(nèi)，瞬時(shí)頻率變化范圍為kT，稱為掃頻帶寬。將式(3)寫為

則 exp(jπkt2)為一個(gè)中心頻率為 0的 chirp信號(hào)；exp[j(2πf0t+φ)]為一個(gè)頻率為f0的單音調(diào)制信號(hào)。根據(jù)式(1)、式(2)，T時(shí)寬（-T/2≤t≤T/2）chirp信號(hào)的p(非整數(shù))階分?jǐn)?shù)傅里葉變換為

對(duì)于 p∈[- 1, 1]，當(dāng)且僅當(dāng) cotα=-k即p=2arccot(-k)/π 時(shí)

如果僅考慮 Cp(u)的分?jǐn)?shù)傅里葉域的幅度譜特性，則

其中，Sa(·)表示辛格函數(shù)。|Cp(u)|對(duì)稱中心位于u0|p=f0sinα處，第一過(guò)零點(diǎn)間寬度為|2sinα/T |。以上分析可知，chirp信號(hào)的chirp-rate決定了p∈[-1, 1]唯一的最優(yōu)變換階次po，中心頻率f0唯一決定了在po階分?jǐn)?shù)傅里葉域上最優(yōu)的能量聚集位置，后者也可以看作是頻率為f0的單音調(diào)制引起的分?jǐn)?shù)傅里葉域上譜線搬移。對(duì) chirp信號(hào)進(jìn)行非最優(yōu)階分?jǐn)?shù)傅里葉變換時(shí)，分?jǐn)?shù)傅里葉域譜不具有聚集性質(zhì)，而且隨著變換階次p偏離p的程度Δp增大，|Cp(u)|的峰值明顯下降。綜合考慮具有不同 chirp-rate的chirp信號(hào)，具有大chirp-rate的chirp信號(hào)的|Cp(u)|隨Δp增加下降得更快，如圖1所示，chirp信號(hào)的chirp-rate分別為3.077 7、1.962 6、1.376 4、1、0.726 5、0.509 5、0.158 4 (相應(yīng)的 po分別為-0.2、-0.3、-0.4、-0.5、-0.6、-0.7、-0.8) 并具有相同的時(shí)寬。因此，通過(guò)分?jǐn)?shù)傅里葉變換性質(zhì)可以對(duì) chirp信號(hào)的chirp-rate和中心頻率2參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。

圖1 具有不同chirp-rate的chirp信號(hào)的|Cp(u)|隨Δp的變化情況

3 MCrSK調(diào)制及分?jǐn)?shù)傅里葉變化法解調(diào)

基于 chirp信號(hào)的分?jǐn)?shù)傅里葉域特性與其chirp- rate、中心頻率2個(gè)參數(shù)的明確關(guān)系，可以設(shè)計(jì)一個(gè)在發(fā)送端利用對(duì) chirp信號(hào)的 chirp-rate和中心頻率參數(shù)進(jìn)行鍵控以承載信息，并在接收端利用分?jǐn)?shù)傅里葉變換對(duì)接收的 chirp信號(hào)進(jìn)行參數(shù)識(shí)別以實(shí)現(xiàn)解調(diào)的新型多進(jìn)制調(diào)制、解調(diào)方案。本節(jié)暫只考慮采用chirp-rate單參數(shù)的多進(jìn)制鍵控的調(diào)制、解調(diào)原理及其性能，聯(lián)合使用chirp-rate和中心頻率2個(gè)參數(shù)的方案及其性能于下一節(jié)中進(jìn)一步討論。

3.1 MCrSK調(diào)制及解調(diào)原理

根據(jù)式(4)、式(6)和式(7)，f0=0的chirp信號(hào)即零中頻chirp信號(hào)exp(jπkt2)的chirp-rate k不同，則相應(yīng)的最優(yōu)分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次po不同，因此設(shè)定一個(gè)chirp信號(hào)chirp-rate的集合{ki}，在發(fā)送端利用多進(jìn)制信息符號(hào)對(duì){ki}的元素進(jìn)行鍵控，則輸出的（基帶）chirp信號(hào)的chirp-rate承載信息并可以保持包絡(luò)（輸出功率）恒定。在接收端，假設(shè)已取得符號(hào)同步，對(duì)接收信號(hào)（中頻或零中頻）分別做一系列與{ki}中各chirp-rate相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，設(shè)中頻為fIF，則相應(yīng)的各最優(yōu)階分?jǐn)?shù)傅里葉域幅度譜峰值將位于u0|p=f0sinα。因此將各預(yù)定階次分?jǐn)?shù)傅里葉域上的u0|p位置（或鄰近區(qū)域）作為檢測(cè)點(diǎn)進(jìn)行峰值比較，并將具有最大峰值的分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次pe所對(duì)應(yīng)的ke(ke∈{ki})作為判決結(jié)果，即可實(shí)現(xiàn)解調(diào)，并按符號(hào)輸出。由式 (7) 可知，不同階次分?jǐn)?shù)傅里葉域幅度譜|Cp(u)|具有一個(gè)與 p有關(guān)的系數(shù)|(1-jcotα)1/2|，并且辛格譜的零點(diǎn)—零點(diǎn)寬度|2sinα/T|也與p有關(guān)，導(dǎo)致不同chirp-rate的chirp信號(hào)在其對(duì)應(yīng)的最優(yōu)階次分?jǐn)?shù)傅里葉域上的能量聚集能力存在差異，因此進(jìn)行檢測(cè)點(diǎn)峰值比較以前需要進(jìn)行歸一化處理，具體做法是將各檢測(cè)點(diǎn)幅度按其輸入匹配的 chirp信號(hào)時(shí)的幅度峰值進(jìn)行歸一化，從而保證了對(duì)不同符號(hào)檢測(cè)能力的一致性。MCrSK調(diào)制及基于分?jǐn)?shù)傅里葉變化法解調(diào)的原理圖如圖2所示。調(diào)制結(jié)構(gòu)采用與MFSK、MPSK等調(diào)制類似的多進(jìn)制鍵控一般結(jié)構(gòu)，接收端將所接收的 chirp信號(hào)先進(jìn)行符號(hào)同步，然后進(jìn)行一系列預(yù)定階次的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，并進(jìn)行比較判決，整個(gè)過(guò)程可在數(shù)字信號(hào)處理器中完成，分?jǐn)?shù)傅里葉變換由離散算法實(shí)現(xiàn)，計(jì)算量與FFT運(yùn)算保持相同的數(shù)量級(jí)[6, 7]。

圖2 MCrSK調(diào)制及解調(diào)原理

3.2 Chirp-rate集{ki}的設(shè)計(jì)

Chirp-rate集{ki}中相鄰的ki與ki+1對(duì)應(yīng)的2個(gè)最優(yōu)分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次pi與pi+1的間隔Δp決定了采用分?jǐn)?shù)傅里葉變換進(jìn)行解調(diào)時(shí)對(duì)相鄰符號(hào)的區(qū)分度，即Δp決定了相鄰符號(hào)間的干擾程度。根據(jù)Δp與ki、ki+1的關(guān)系

為了降低相鄰符號(hào)間的干擾，{ki}的設(shè)計(jì)應(yīng)使得Δp盡可能大。然而，由于 chirp信號(hào)的時(shí)寬-帶寬積BT=kT2，對(duì)于固定的符號(hào)持續(xù)時(shí)間 Ts，具有大的chirp-rate k的chirp信號(hào)將占用大的帶寬，{ki}的最大取值受到可用帶寬的限制。因此{(lán)ki}的設(shè)計(jì)需對(duì)上述2個(gè)方面進(jìn)行折中。{ki}的設(shè)計(jì)有2個(gè)特例，其一是{ki}僅包含一個(gè)k，此時(shí)k不能承載信息，當(dāng)kT＞＞2/T，即chirp掃頻寬度遠(yuǎn)大于bit符號(hào)的帶寬時(shí)，是一種chirp擴(kuò)頻調(diào)制；其二是{ki}僅包含調(diào)頻率相反的一對(duì)k與-k，此時(shí)退化為所謂的chirp-rate調(diào)制 (chirp-BOK 調(diào)制)，文獻(xiàn)[9]給出 chirp-rate調(diào)制采用基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的非相干解調(diào)的性能分析。

3.3 MCrSK誤碼率仿真及分析

首先給定用于解調(diào)的分?jǐn)?shù)傅里葉變換最優(yōu)階次p的變化范圍，仿真中令p∈[0.2，1.8]，根據(jù)符號(hào)進(jìn)制 M，將 p變換范圍等分為Δp。設(shè)第一個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次為p1=0.2，則第i個(gè)符號(hào)對(duì)應(yīng)的pi=0.2+(i-1)Δp，則根據(jù){pi}可得{ki}。在AWGN信道中，在不同的Eb/N0下分別對(duì)8、16、32進(jìn)制chirp-rate鍵控抗干擾性能進(jìn)行仿真，為便于比較，以誤比特率(BER) 給出，并與 8PSK、16PSK、32PSK以及16QAM和32QAM的BER理論曲線進(jìn)行比較，如圖3所示。當(dāng)能夠保證接收的chirp信號(hào)具有足夠的信噪比時(shí)，較高進(jìn)制的MCrSK具有優(yōu)于MPSK的抗干擾性能而略差于 MQAM。這是由于當(dāng)進(jìn)制數(shù)較高時(shí)，MPSK星座圖將非常稠密，抗干擾性能惡化嚴(yán)重，而MCrSK用于承載信息的 chirp-rate是一種頻率隨時(shí)間變化的規(guī)律，較之固定的相位參數(shù)，抗干擾能力更強(qiáng)；MQAM是一種正交調(diào)制方式，而MCrSK相鄰符號(hào)間不具有正交性，因此 MQAM 抗干擾性能優(yōu)于MCrSK，然而MQAM不具有恒包絡(luò)性，功率效率低于MCrSK。

圖3 MCrSK與MPSK、MQAM的誤比特率性能比較

4 MCrSK與MFSK級(jí)聯(lián)

式(4)進(jìn)一步可表示為

其中，exp(j2πfct+φ)是頻率為 fc的單音載波，exp(jπkt2)為中心頻率為 0 的 chirp 信號(hào)，exp(jπfjt)為頻率為fj的單音副載波。由于參數(shù)k與fj相互獨(dú)立，因此可以將對(duì)k的鍵控和對(duì)fj的鍵控聯(lián)合使用，即MCrSK與MFSK級(jí)聯(lián)使用。MCrSK的chirp-rate集{ki}的設(shè)計(jì)已于前一節(jié)中給出，下面考慮MFSK頻率集{fj}的設(shè)計(jì)。為了保證具有相同chirp-rate的、中心頻率fj不同的chirp信號(hào)在分?jǐn)?shù)傅里葉域上可以區(qū)分，根據(jù)時(shí)寬為T的中心頻率為 fj的chirp信號(hào)在最優(yōu)階分?jǐn)?shù)傅里葉域上的譜峰值位于 u=f0sinα，且第一零點(diǎn)間距離為|2sinα/T|，{fj}的設(shè)計(jì)應(yīng)使得相鄰頻點(diǎn)間隔 Δf能夠使得 Δ u 滿足 Δ u=|Δ fsinα|＞|2sinα/T |，即Δ f＞2/T，與MFSK的頻率集設(shè)定規(guī)則是一致的。當(dāng)確定了{(lán)ki}和{fj}分別具有 n1和 n2個(gè)元素，n1CrSK-n2FSK調(diào)制可以由一個(gè)n1×n2的調(diào)制矩陣M表示為

當(dāng)n1、n2均為2的整數(shù)冪時(shí)，串行比特碼元每N=lbn1+lbn2個(gè)碼元構(gòu)成一個(gè)2N進(jìn)制符號(hào)，將N個(gè)碼元分成N1=lbn1和N2=lbn22組，分別構(gòu)成n1和n2進(jìn)制的2個(gè)子控制符號(hào)，可以唯一確定M矩陣中的一個(gè)元素(kx, fy)，即鍵控輸出一個(gè)調(diào)頻率為kx，中心頻率為fy的chirp信號(hào)。如圖4所示為n1=8、n2=8時(shí)64進(jìn)制調(diào)制星座圖的示例，k和f兩方向上沒(méi)有約束關(guān)系。

圖4 64進(jìn)制MCrSK-FSK星座圖的一個(gè)示例（8CrSK-8FSK）

MCrSK與MFSK級(jí)聯(lián)調(diào)制器可由如圖2(a)所示結(jié)構(gòu)與一個(gè)普通的MFSK調(diào)制器級(jí)聯(lián)獲得，解調(diào)器較圖2(b)所示結(jié)構(gòu)多一個(gè)環(huán)節(jié)：首先對(duì)接收信號(hào)做n1次階次分別對(duì)應(yīng){ki}的分?jǐn)?shù)傅里葉變換，并且將各分?jǐn)?shù)傅里葉域上由{fj}決定的 n2個(gè)可能出現(xiàn)的幅度峰值的位置uj|αi(j=1, 2, …, n2) 設(shè)為檢測(cè)點(diǎn)，這樣共有 n1×n2個(gè)檢測(cè)點(diǎn) (或檢測(cè)區(qū)域) ，將這些檢測(cè)點(diǎn)歸一化峰值進(jìn)行比較，具有最大值的檢測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)傅里葉變換階次以及在該階分?jǐn)?shù)傅里葉域上的位置可以唯一確定輸出的調(diào)制符號(hào)，從而實(shí)現(xiàn)解調(diào)。AWGN信道中，MCrSK-MFSK的誤比特率仿真曲線如圖5所示，其中3條實(shí)線分別為64進(jìn)制級(jí)聯(lián)調(diào)制的3種組合方式，即16CrSK-4FSK、8CrSK- 8FSK和4CrSK-16FSK，可見這3種方式的誤比特率性能逐漸改善，這是由于MFSK的誤比特率性能優(yōu)于MCrSK，MCrSK與MFSK的不同配比可以調(diào)整聯(lián)合調(diào)制的抗干擾性能。此外，仿真結(jié)果還表明，64進(jìn)制級(jí)聯(lián)調(diào)制性能顯著優(yōu)于64PSK和64QAM方式，而且同樣保持恒包絡(luò)特性。

圖5 MCRSK-FSK與MPSK、MQAM的誤比特率性能比較

設(shè)比特寬度為 Tb，僅采用調(diào)頻率鍵控時(shí)，M進(jìn)制符號(hào)寬度為Ts=TblbM，由于chirp-rate k是變化的，不同符號(hào)鍵控輸出的chirp信號(hào)的掃頻帶寬Tsk也是變化的，其最大寬度由最大的chirp-rate kmax決定。則調(diào)頻率鍵控方式的帶寬效率 ηMCRSK滿足

MFSK 的信道帶寬理論值為 Rb(M+3)/2lbM(相干MFSK)，則MFSK的帶寬效率ηMFSK

因此，當(dāng) kmaxTs2＜(M+3)/2即用于 MCrSK 的chirp信號(hào)的最大時(shí)寬-帶寬積 TBmax＜(M+3)/2時(shí)，MCrSK具有優(yōu)于MFSK的帶寬效率。因此MCrSK與MFSK級(jí)聯(lián)使用可以通過(guò)2種調(diào)制方式的靈活搭配，獲得抗干擾性能與帶寬效率間的折中。鑒于未來(lái)無(wú)線傳輸多樣化的業(yè)務(wù)模式對(duì)抗干擾性能和帶寬效率要求的差異，MCrSK與MFSK級(jí)聯(lián)使用具有很大的潛在應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)多進(jìn)制 chirp-rate鍵控及其基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的解調(diào)方法進(jìn)行了研究。仿真表明，在AWGN信道中，對(duì)于一定的誤比特率性能，多進(jìn)制chirp-rate鍵控較MPSK允許更高的調(diào)制進(jìn)制，并具有恒包絡(luò)特性。多進(jìn)制 chirp-rate鍵控可以與MFSK聯(lián)合使用，并同樣采用基于分?jǐn)?shù)傅里葉變換的解調(diào)方法，聯(lián)合調(diào)制能過(guò)獲得較單獨(dú)使用多進(jìn)制chirp-rate鍵控更優(yōu)的誤比特率性能，但需要占用更大帶寬。聯(lián)合調(diào)制通過(guò)調(diào)整多進(jìn)制chirp-rate鍵控與MFSK的比重，能夠獲得對(duì)頻譜效率與誤比特率性能的靈活折中。文中關(guān)于所提出方式的性能的討論是基于接收機(jī)符號(hào)已經(jīng)取得同步這一假設(shè)前提，具體的符號(hào)同步方法有待進(jìn)一步研究。此外，所提出的調(diào)制解調(diào)方案在非AWGN信道如多徑信道、雙彌散信道中的性能等將在后續(xù)研究中給出。

[1] WINKELY M R. Chirp signals for communications[A]. Proceedings of IEEE WESCON Conference [C]. Piscataway, NJ, USA,1962.14-17.

[2] TSAI Y R, CHANG J F. The feasibility of combating multipath interference by chirp spread spectrum techniques over Rayleigh and Rician fading channels[A]. Proceedings of IEEE 3rd International Symposium on Spread Spectrum Techniques and Applications[C]. New York ,NY, USA, 1994. 282-286.

[3] ALMEIDA L B. The fractional Fourier transform and time- frequency representations[J]. IEEE Trans on Signal Processing,1994, 42(11):3084-3091.

[4] TAO R, DENG B, WANG Y. Research progress of the fractional Fourier transform in signal processing[J]. Science in China Series F: Information Sciences, 2006, 49(1): 1-25.

[5] CANDAN C, KUTAY M A, OZAKTAS H M. The discrete fractional Fourier transform[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2000, 48(5):1329-1337.

[6] YEH M H, PEI S C. A method for the discrete fractional Fourier transform computation[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2003, 51(3):889-891.

[7] TAO R, ZHANG F, WANG Y. Research progress on discretization of fractional Fourier transform[J]. Science in China Series F: Information Sciences, 2008, 51(7): 859-880.

[8] ZHAO X H, TAO R, ZHOU S Y. A novel sequential estimation algorithm for chirp signal parameters[A]. Proceedings of the 2003 International Conference on Neural Networks and Signal Processing[C].Nanjing, China, 2003.628-631.

[9] 鄧兵, 陶然, 平殿發(fā). 基于分?jǐn)?shù)階Fourier 變換的chirp-rate 調(diào)制解調(diào)方法研究[J]. 電子學(xué)報(bào), 2008, 36 (6): 1078-1083.DENG B, TAO R, PING D F. Study on chirp-rate modulation and demodulation based on fractional Fourier transform[J]. Acta Electronica Sinica, 2008, 36 (6): 1078-1083.