錯誤也是一種美麗

《數學課程標準》明確指出：“學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。”學生在小組內合作探究而生成的認識有粗淺的、正確的、創意的，但也有錯誤的。學生在學習的過程中出現錯誤是必然現象，失敗乃成功之母，如果不允許學生犯錯誤，只會使學生怕字當頭，逃避現實，不敢去思考和發問，進而扼殺他們的探究、創新精神。錯誤是正常的，同時，錯誤也是通向正確的重要的途徑，因此，學生的錯誤也是教學中一種重要的課程資源。教師應當學會正確對待學生在學習中產生的錯誤，有效利用學生學習中的錯誤，更充分地營造數學課堂的生機與活力。

一、暴露問題，使錯誤資源成為教學的著眼點

小學生在理解概念、進行計算時產生的錯誤常常是有規律的。教學活動前教師應有充分認識，并在教學過程中使其暴露出來。只有這樣，才能有效激發學生內心的認知沖突，提高其思維積極性，有效突破教學難點。作為教師，必須從學生錯誤的暴露和呈現開始，把它作為教學的真正起點，不要急于用自己的思想去“同化”學生的錯誤觀點、錯誤認識，而應該站在學生的立場去“順應”他們的認識，掌握其錯誤思想的運行軌跡，摸清其錯誤源頭，對“癥”下藥，找到解決問題的好辦法。

如在教學《倍數關系三類應用題》時，學生時常把求倍數與求幾倍數相混淆。如例題“學校有籃球48個，是足球的2倍，足球有多少個？”這是一個求倍數的一步計算應用題，有學生列48×2=96（個），也有學生列成48÷2=24（個），出現了兩個不同的算式，我并沒有及時肯定哪個對，哪個錯，而是讓學生自己再去讀一讀題，想想籃球、足球到底是誰多？再畫畫圖，通過畫圖，學生一看就明白籃球的個數多，那為什么還有學生會錯呢？原因出在哪兒呢？帶著這個問題，我很快找到了答案，關鍵是學生還沒有真正理解誰是倍數，也就是我們常說的標準量，問題找到了，錯誤率自然就降低了。從這個教學例子中，我們不難發現，挖掘學生的錯誤資源，是調整教學起點的前提。

針對學生的錯誤，教師要擺正預設與生成的關系，善于控制教學進程，促進課堂生成。例如，工程問題“一項工作，甲單獨做12小時完成，乙單獨做13小時完成。如果甲乙二人合作，幾小時可以完成？” 學生解題時列出兩種算式：

（1）1÷（1÷2＋1÷3）＝115（小時）

（2）1÷（1÷12＋1÷13）＝ 15（小時）

這時我并沒有急于表態，而是讓學生自己分辨對錯。

生1：第一個算式是錯誤的，因為一個人獨做只要13小時或12小時，而兩人合作時間反而比一個做的時間還多，肯定不對。

生2：因為1÷2、1÷3不是甲、乙的工作效率。

師：說的好！工作量÷工作時間，才是單位時間的工作效率。也是1÷12或1÷13才是正確的。若要使算式1÷（1÷2＋1÷3）成立，題目要怎樣改？

生：因為甲、乙的工作效率分別是12、13 ，所以甲、乙單獨完成工作的時間分別是2小時、3小時。

生：要求合作完成的時間，必須先求出甲乙合作的工作效率；要求出甲乙合作的工作效率必須知道各自的工作效率。而要求各自的工作效率必須知道各自獨做完成的時間。從算式中1÷（1÷2＋1÷3）中可看出是兩人合作，且每人獨做的時間分別是2小時和3小時。

師：大家認為他們兩人說得對嗎？

生（幾乎是齊答）：對！

這時，我感到欣慰，同時也意識到有部分學生對“工作效率” 缺乏正確理解。于是，我立即調整教學安排，讓學生集中精力討論“如何求工作效率”，以到達深化認識。因此我要求學生練習如下幾道題：①李師傅加工一批零件2小時完成，每小時完成這批零件的幾分之幾？②王徒弟畫一把花傘要0.5小時，每小時可畫把花傘? ③李老師寫一份招生通告要14小時，每小時可寫幾份招生通告？④修路隊員30分鐘修了一段路的14，修路隊花2小時可以完成任務嗎？

二、辨難釋疑，使錯誤資源成為學生思維發展的支撐點

當學生在學習過程中出現錯誤時，教師要善于根據學生錯誤的性質，作出適當的指導。對于因為表述不清、粗枝大葉導致的過失性錯誤，教師應當鼓勵學生重新思考。對于概念不清和思維方法錯誤導致的理解性錯誤（或稱思維錯誤），教師則應當通過補充解釋、討論質疑等方法幫助學生在辨難糾錯中發展思維能力。

例如判斷“假分數的倒數都小于1”時，有的學生丟開了假分數概念的另一部分“或等于”而誤判為對；再如判斷“鈍角都大于90°”時，受概念“大于90°而小于180°的角叫鈍角”中“小于180°”的影響,認為題中少“小于180°”而誤判為錯。這些錯誤，都是因為學生對概念掌握得不夠完整而引起的。要減少這些錯誤，我們可以通過以下方法來解決：教師要引導學生正確理解概念的內涵、外延以及與相近概念之間的聯系與區別，以減少這些錯誤；學生要及時理清自己在概念、規律理解有疑問或覺得有矛盾的地方；學生在平時學習過程中要不斷地整理、積累在練習過程中所體現出的對概念、規律理解的誤區。

在四則混合運算中，常有學生產生如下錯誤：3×7÷3×7＝ 21÷21＝ 1，（52－ 9×4）÷4×25＝16÷100 ＝ 0.16。

我沒有立即作出判斷，而是讓全班學生一同來討論。一段時間后，學生的意見終趨統一。這時，我又變換角度問學生：“如果要1和0.16分別是上述兩道題的正確答案，那么我們該如何修改條件？”這樣，就把發生在個別學生身上的錯誤，巧妙地轉化為針對大家的問題，推給全班同學去思考，給學生的思維開啟一片嶄新的天地。大家展開熱烈討論，課堂氣氛十分活躍，學生的學習興趣得到了有效激發。

對待學生的錯誤，教師不應當僅僅是否定和告訴正確答案，更重要的是，教師應當通過合適的方式認識學生出錯的原因，引導學生一同質疑辨難、討論分析，使糾錯的過程成為學生積極思考的過程，讓學生在錯誤中增長智慧，發展能力。

三、創設情境，使錯誤資源成為發現探究的生長點

學生學習上的錯誤，不但是教師教學的立足點，也是學生探索未知世界，嘗試發現、創新的寶貴資源。錯誤往往成為學生自主學習、創生知識的生長點。課堂教學中，當學生出錯時，教師可以不直接指導學生糾錯，而把問題拋給學生，讓他們聯系生活實際，在操作、運算、實驗、比較中自得、自悟。利用學生學習中出現的錯誤，給學生創設一個自主探究的問題情境，讓學生在糾錯的過程中自主發現問題、解決問題，從而培養學生的發現意識。

比如：在“時、分的認識”一節課中，難點之一在于讓學生正確讀出接近整時的時刻，如：11：55，學生往往會將它看成12：55。于是在課上我就出示了這樣一個時刻，讓學生們來說一說現在是幾時幾分。果不出我所料，有的同學說是11：55，有的說是12：55，并且兩種答案的人數勢均力敵。這時，我并不急于給出答案，而是問他們：“你們誰能證明自己的答案是正確的呢？”生1說：“我認為是12：55，因為時針指著12，分針指著11，所以就是12：55。”生2馬上站起來：“我反對。如果是12：55，那么就接近1時了，時針應該靠近1才對，而現在時間是在12那邊，說明這個時刻應該是接近12時，當然應該是11：55。”這時多數同學都表示了贊同，我也準備表揚生2并進行小結了，但這時無意中掃過生1，發現他仍然是一副不服氣的表情。于是我就停下來，說：“到底誰的答案正確呢？這樣吧，誰還能用我們的鐘點朋友來證明呢？”課堂上靜了下來，一會兒，有同學開始舉手了：“我是這樣證明的”，他一邊撥鐘一邊說“我們把自己的鐘撥到11：30，好，現在慢慢往前撥，讓它的分針停在數字11上。這時候應該是11：55，我們繼續往前撥，現在分針指著12，才是12時。”下面響起了熱烈的掌聲。“我還有不同的方法。”另一個孩子迫不及待地說：“我們可以先把時間撥到12時，現在慢慢往后倒退，現在是11：55。”我悄悄地觀察，那個孩子的臉上終于露出了理解的表情。這時我追問：“那么，我們剛才為什么會將11：55與12：55混淆呢？”學生們開始了進一步的思考……

在上面的例子中，我從學生的錯誤入手，引導學生將錯誤答案與正確答案進行對比，讓學生自己去剖析自己的錯誤，并通過動手實踐證明自己的觀點，進而思考自己為什么會出現這樣的錯誤。讓學生在這一系列思維的交鋒、碰撞中獲得真知，提升自己的思維能力。

總之，錯誤是課堂教學的寶貴資源，是正確的先導，是思維火花的閃現。真正關注學生學習的過程，就要有效利用錯誤這一資源，在教學中要善于把握機會，正確創造性地對待學生的錯誤資源，適機誘導，幫助他們真正理解和掌握數學思想和方法，從錯誤中獲得更多更完美的知識。最終，讓錯誤成為數學課堂教學生成的有效資源，從而促進學生的發展。

[1]教育部.《數學課程標準》.北京師范大學出版社，2001年版.

[2]斯苗兒.《小學數學典型課例評介》.浙江科學技術出版社.

[3]鐘啟泉.《新課程中教師角色的轉變》.

[4]顧泠沅等.《面向21世紀數學學科教育改革行動綱領》.上海教育出版社，2001年版.

[5]《小學數學新課程案例與評析》.高等教育教育出版社，2003年9月第1版.

[6]孫曉天.《新課程標準解讀》.北京師范大學出版社，2002年5月第1版.