兩個(gè)Bernstein集和Luzin集

胡冠南

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610064)

兩個(gè)Bernstein集和Luzin集

胡冠南

(四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都 610064)

存在Bernstein集B,B+B仍是一個(gè)Bernstein集;存在Bernstein集 B,B+B=R.類似地,存在Luzin集和Sierpinski集具有相應(yīng)的性質(zhì).

Bernstein集;Luzin集;Sierpinski集

文章中的記號(hào)和定義可參照文獻(xiàn)[1].R表示實(shí)直線.|A|表示集合A的勢;ω=|自然數(shù)|;c =|R|;ω1是第一個(gè)不可數(shù)基數(shù).P={P：P是R上的完備集}.若A,B為實(shí)數(shù)子集,A+B表示集合{a +b：a∈A,b∈B};AB表示集合{x：x∈A,且x?B}.

定義1 稱 P為R上的完備集,如果 P是R上的無孤立點(diǎn)的閉集.

定義2 B?R,稱B為Bernstein集,如果對于R上的任意一個(gè)完備集 P,P∩B≠?,且 P?B.

引理1 |P|=c,且?P∈P,|P|=c.

證明 每個(gè)非平凡的閉區(qū)間都是完備集,顯然有|P|≥c,又由文獻(xiàn)[2],|P|≤c,故|P|=c.由文獻(xiàn)[2]或[3]知,|P|=c

引理2 B是Bernstein集,a∈R,則B∪{a}是Bernstein集.

證明 如果存在完備集 P,使得 P?B∪{a},即 P{a}?B,但由文獻(xiàn)[3]知,P{a}包含一個(gè)完備集,即存在完備集 P?B,矛盾.

定理1 存在Bernstein集B,B+B是Bernstein集.

證明 首先,我們歸納地構(gòu)造Bernstein集B～,使得,B～∪(B～+B～)是Bernstin集.

由引理1,可以將P用c編號(hào),即P={Pλ：λ＜c}.P0任取不同的兩點(diǎn)r0,s0∈P0,現(xiàn)在假設(shè)對于β＜α,已有 rβ,sβ,記{sη：η＜α}∪{sη：η＜α}∪{sη-rγ：η,γ＜α}為Aα,{rγ：γ≤α}∪{rγ+rη：η,γ≤α}為Bα,并按如下方式取rα,sα∈Pα：①取rα∈PαAα;②取sα∈PαBα.這個(gè)構(gòu)造是可以進(jìn)行的,這是因?yàn)?|Pα|=c(引理1),Aα|＜ c, |Bα|＜c.{rλ：λ＜c}就是我們要的B.

另外,B= B～∪{0},由引理3得到 B是Bernstein集,又因,B+B=∪(+)∪{0}.同樣,由引理2得到B+B是Bernstein集.

證畢.

定理2 存在Bernstein集B,B+B=R.

證明 將實(shí)數(shù)和P用c編號(hào),即R={rλ：λ＜c},P={Pλ：λ＜c}.先歸納構(gòu)造Bernstein集,B= {sλ,tλ：λ＜c},使得,sλ+tλ=rλ.任取s0∈P0,令t0=r0-s0,然后再取 u0∈P0{s0,t0}.假設(shè)對于β＜α,已有 rβ,uβ,并按如下方式取sα,uα∈Pα：①取sα∈Pα{uβ,rα-uβ：β＜α};②令tα=rα-sα;③uα∈Pα{sβ,tβ：β≤α}.

同定理1,該構(gòu)造是良定義的.顯然,R=B+B.

下面證明B是Bernstein集.

首先,由①可知,?λ,Pλ∩{sλ,tλ：λ≤c}≠?.其次,由 ③可知,?λ,uλ?{sα,tα：α≤λ},由 ①可知,uλ?{sα,tα：α＞λ},即,{sλ,tλ：λ＜c}∩{uλ：λ＜c}= ?,所以,有 ?λ,Pλ?{sλ,tλ：λ＜c}.

證畢.

定義3 稱 F是R上的無處稠密集,F的閉包的內(nèi)部為空.稱 M是 R上的第一綱集,如果 B =n∪∈ωAn,An是R上的無處稠密集.令NWD={F：F是 R上的無處稠密集}.

定義4 A?R,且|A|＞ω,稱A是Luzin集(Sierpinski集),如果R上的任意的第一綱集(零測集)M,|M∩A|≤ω.

定理3 若連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立,則存在Luzin集A,A+A是Luzin集.

證明 類似于引理1,有|NWD|=c=ω1,把NWD用ω1編碼,即,|NWD|={Fλ：λ＜ω1}.先歸納構(gòu)造A={sλ：λ＜ω1},使得,A+A是Luzin集.任取 s0∈R,假設(shè)對于β ＜α,已得到 sβ.記R(({-sβ：β＜α}∪{sβ：β＜α})為 Gα,任取 sα∈Gα.由于 ?α＜ω1,Gα是第一綱集,從而 ?α＜ω1,RGα≠?,即構(gòu)造是良定義的.

A是Luzin集.

首先,sα≠sβ當(dāng)α≠β,所以,|A|=ω1.另外,又因?yàn)??第一綱集M,?α∈ω1,M;?γ≥α,sγ,即,{sγ：γ≥α}= ?,所以, |A∩M|≤|{sγ：γ＜α}|≤ω.

A+A也是Luzin集.

?第一綱集M,?α∈ω1,.?θ≥α, sθ∈Gθ,所以,?δ＜θ,sθ+sδ,故,(({sβ：β＜α}+{sβ：β≥α})∪{sδ+sθ：δ,θ≥α,δ≠θ})= ?.

由于{sβ：β≥α}是A的不可數(shù)子集,所以,{sβ：β≥α}也是Luzin集,從而{2sδ：δ≥α}也是Luzin集,因此,|{2sδ：δ≥α}∩M|≤ω.

?α,A+A=({sβ：β＜α}+{sβ：β＜α})∪ ({sβ：β＜α}+{sβ：β≥α})∪({sβ：β≥α}+{sβ：β≥α}).而,{sβ：β≥α}+{sβ：β≥α}={sδ+sθ：δ,θ≥α,δ≠θ}∪{2sδ：δ≥α},故,|(A+A)∩M|≤ω.

證畢.

定理4 若連續(xù)統(tǒng)假設(shè)成立,則存在Luzin集A,A+A=R.

證明 將R用ω1編碼,即R={rα：α＜ω1}.歸納構(gòu)造A={sβ,tβ：β＜ω1}.任取s0,t0∈R,使得,s0+t0=r0,對于 ?α＜ω1,由文獻(xiàn)[4]知,可取sα,tα∈R({sβ,tβ：β＜α},使得,sα+tα= rα.

證畢.

如果我們在上述定理的證明中把閉無處稠密集換為Borel零測集,同樣的證明,我們可得到Sierpinski集的相應(yīng)的結(jié)論.

[1]Thomas J.Set theory[M].New Y ork：Springer-Verlag,2002.

[2]OxtobyJ C.Measure and Category,Graduate text in mathematics [M].New Y ork：Springer-Verlag,1980.

[3]Kechris A S.Descriptive set theory,Graduate text in mathematics [M].New Y ork：Springer-Verlag,1995.

[4]Kunen K.Vaughan J E.Handbook of Set-theoretic Topology [M].Atlanta：Elsevier Science Publishers,1984.

[5]Miller A,Popvassilev S.Vitali Sets and Hamel bases that are Marczewski measurable[J].Fundamenta Mathematicae,2000, 166(1)：269-279.

[6]Kharazishvili A B.Nonmeasurable Sets and Functions,North-Holland Mathematics Studies[M].Atlanta：Elsevier Science Publishers,2004.

Two Bernstein Sets and Luzin Sets

HU Guannan

(School of Mathematics,Sichuan University,Chengdu,610064,China)

There is a Bernstein set such that B+B is a Bernstein set and there is a Bernstein set such that B+B=R.Similarly,there are Luzin sets and Sierpinski sets with such property.

Bernstein set;Luzin set;Sierpinski sets

O144.1

：A

1004-5422(2010)02-0118-02

2010-03-25.

胡冠南(1980—),男,碩士研究生,從事拓?fù)鋵W(xué)研究.