求解動態無功優化問題的解耦算法①

黃 偉，劉明波，賴永生

(1.廣東電網公司佛山供電局，佛山 528000;2.華南理工大學電力學院，廣州 510640;3.廈門超高壓輸變電局，廈門 361004)

動態無功優化問題是根據未來一天各負荷母線的有功和無功變化曲線，通過調節并聯電容器組的出力及有載調壓變壓器的分接頭，在滿足各種約束條件下使整個電網的電能損耗最小。

迄今，已提出多種動態無功優化問題的計算方法。文獻[1～5]采用動態規劃法或混合法確定在未來一天24小時內安裝在饋線上的電容器的投切方案或變電站內的電容器和有載調壓變壓器的控制方案。由于需要給出未來24小時的控制策略，不得不采用各種方法縮小搜索空間。文獻[6]把配電網絡分成饋線和主站兩部分，先對每條饋線單獨用動態規劃法求出各電容器的投切序列，再對主站用動態規劃法進行一次總的全網優化。文獻[7]將配電網絡的電壓無功控制問題分解為變電站內的電容器和有載調壓變壓器控制子問題與安裝在饋線上的電容器投切子問題，分別用簡化的動態規劃法和模糊控制算法求解這2個子問題，并提出了協調2個子問題的方法。文獻[8]根據網損在各時段的分布，并對對應的負荷曲線進行分段，采用等面積原則把負荷曲線等值成階躍曲線，并且使階躍數小于或等于設備的動作次數，從而把動態優化等效成若干個時段的靜態優化。文獻[9]給出了完整的動態無功優化模型，先通過啟發式規則確定并聯電容器組及有載調壓變壓器分接頭的動作序列，再簡化動態無功優化模型，并將該模型轉化為靜態優化模型，從而可用常規的優化方法求解。文獻[10]提出了配電網無功優化的分時段控制策略，且所分負荷時段總數即為電容器組的最大調節次數。文獻[11]將模糊集理論應用于配電網絡動態無功優化的建模，并采用模擬退火算法求解。文獻[12]提出了一種動態無功優化算法。該算法較好地解決了變量離散化和限制控制設備動作次數之間的配合問題，但隨著系統規模的擴大，其計算量會急劇增加，甚至可能會出現數值精度問題。

本文在文獻[12]的基礎上，提出基于近似牛頓方向的解耦方法，以提高算法的計算效率;并結合一個系統進行驗證。

1 動態無功優化模型和其基本算法

設系統有n個節點、u臺有載調壓變壓器、m臺發電機，有r個節點裝設可投切電容器組。為了方便，設1號節點為平衡節點。將全天等分為24個時段，從而將各負荷母線的全天有功和無功變化曲線分為24段，并認為各時間段中的負荷有功和無功功率保持恒定。于是以系統全天電能損耗最小為目標函數的無功優化模型可以描述為

式中:E為全天能量損耗;t=0，1，2，…，23;f(x1(t)，x2(t)，x3(t))為第t時段的有功損耗;g(x1(t)，x2(t)，x3(t))=0為第t時段的節點功率平衡方程，g(x1(t)，x2(t)，x3(t))∈ R(2n);x1(t)為第 t時段的有約束離散控制變量列向量∈R(p)，p=r+u;QC(t)為第t時段可投切電容器組的無功出力列向量，QC(t)∈R(r);TK(t)為第t時段有載調壓變壓器的變比列向量，TK(t)∈R(u);x2(t)為第t時段的連續有約束變量列向量，x2(t) =∈ R(q)，q=m+n;QG(t)為第t時段發電機的無功出力列向量，QG(t)∈R(m);V(t)為第t時段節點電壓幅值列向量，V(t)∈R(n);下標max和min分別表示變量的上限和下限;x3(t)為第t時段的無約束連續變量列向量，x3(t)=[PG1(t)，θ2(t)，θ3(t)，…，θn(t)]T∈R(n);PG1(t)為第t時段平衡發電機有功出力;θi(t)(i=2，3，…，n)為第t時段節點電壓相角列向量|表示控制設備(可投切電容器組和有載調壓變壓器分接頭)全天24小時內的動作次數約束列向量;Sx1為控制設備調節步長對角矩陣，其對角元素分別對應于電容器組無功出力和變壓器分接頭的調節步長，Sx1∈R(p×p);Cx1為控制設備動作次數約束列向量，其元素分別對應于可投切電容器組和有載調壓變壓器分接頭的全天最大允許動作次數MADSON(maximum allowable daily switching operation number)，Cx1∈ R(p)。

采用引入了離散懲罰的非線性內點法求解該模型，最后可得到降階修正方程為

求解修正方程(6)，可得到原變量和對偶變量的修正方向為 Δ x1(t)、Δ x2(t)、Δ x3(t)、Δy(t)，t=0，1，2，…，23。詳細的求解過程參見文獻[12]。

可見，算法的計算量主要集中在對修正方程(6)的求解上。隨著系統規模的增大，和優化變量的增多，求解所需的計算時間會急劇增長。因此有必要尋求一種有效的方法去解決這個問題。

2 基于近似牛頓方向的解耦算法

2.1 修正方程的解耦形式

為方便討論，把原問題式(1)～式(5)簡寫成

式中:F為目標函數，具有可分離形式;t=0，1，2，…，23;Xi表示第i個時段所有變量構成的列向量;式(9)表示第t時段的所有等式約束方程，不等式約束(3)和(4)可以通過引入松弛變量轉化為等式約束;式(8)表示控制設備的動作次數約束方程，對應不等式約束(5)。

可見，由于控制設備的動作次數約束方程(8)的存在，h(X0，X1，…，X23)是 24個時段各變量的函數，這個約束導致修正方程要聯立求解[12]。

如果要實現對修正方程的解耦分解，就必須將方程(8)進行分組，其組數N應該小于或等于24。并假定:對于第t組方程，優化變量只有Xt，其余的X1，X2，…，Xt-1，Xt+1 ，…，X23 均為常數 。

根據這一思想，可以把方程(8)展開寫成N組方程為

為了討論問題的簡便，此處假定N=24。在方程(10)中，各方程的維數定為

此時，解耦后的動態無功優化模型可寫為

用引入了離散懲罰的非線性內點法求解解耦模型(11)～(13)，得到修正方程為

式(14)還可以進一步寫成解耦形式，即

對于N ＜24的情況，同樣可以得出類似(15)的修正方程。

式(15)是一個維數比式(6)小很多的方程組，容易求解。

2.2 收斂性分析

按上述方法進行計算，僅僅是完成了一次牛頓迭代求解，得到的只是近似牛頓方向，這并不一定能保證算法的收斂性[13]。

將第k次迭代時得到的修正方程(6)表示為

而采用解耦方法分解后的修正方程表示為

考慮到在不斷擴大的系統規模面前，修正方程組(6)的維數也將越來越大，最終可能會在求解過程中引起數值誤差。本文以為預處理器，以作為迭代初值，采用求解大型稀疏非對稱線性方程組中常用的GMRES算法[14，15]，再次求解修正方程(6)，得到修正方向 Δk。

2.3 計算步驟

綜上所述，每一次迭代都可以分為以下步驟完成:

步驟1 形成修正方程(6)，簡寫為式(16);

步驟2 對離散變量和約束適當分組，將修正方程解耦分解成式(17);

步驟5 用 Δk作為迭代步長，修正各變量，進入下一次迭代過程。

3 算例分析

3.1 試驗系統

該系統包括1個220 kV變電站(鹿鳴站)和4個110 kV變電站(景泰站、盤福站、越秀站、文德站)，控制范圍從220 kV站進線端到10 kV出線端，如圖1所示。220 kV和110 kV母線電壓范圍限定為1.00～1.07(標幺值，以線路額定電壓為基準)。

圖1 鹿鳴電網正常運行方式接線圖Fig.1 Connection diagram of luming electric power network

鹿鳴網正常運行方式下，有6臺有載調壓變壓器參與運行，分別為:鹿鳴 2#變、景泰2#變、景泰3#變、盤福1#變、越秀1#變、文德2#變。變壓器檔位范圍:鹿鳴2#變為(1.03±8×0.015)，其余均為(1±8×0.015)。每臺變壓器低壓側母線的電壓合格范圍均為1.00～1.07。所帶負荷有6個，每個負荷母線均裝設可投切并聯電容器組。電容器組配置情況見表1，用標幺值表示?；鶞使β蔬x定為100 MVA。

表1 可投切電容器組配置情況Tab.1 Configuration of switchable capacitor banks

以2001年9月10日的24小時負荷數據及網絡參數進行計算。本文所用的優化程序用C語言編寫，在Visual C++6.0環境編譯。所用計算機為Pentium Ⅳ2.8G，內存256 M。

3.2 優化結果分析

為了驗證本文提出方法的正確性和可行性，本文對兩種方法做了比較:(1)本文提出的解耦分解方法，用方法一表示;(2)文獻[12]提出的方法，用方法二表示。表2列出了部分MADSON取值時，由兩種優化方法得到的能量損耗、迭代次數和計算時間的比較。

表3和表4分別列出了兩種動態無功優化方法變壓器分接頭動作次數和電容器組投切次數的比較，限于篇幅，這里僅列出了動作次數約束值取11和26的結果。

表2 能量損耗、迭代次數和計算時間比較Tab.2 Comparison of energy loss，number of iteration and execution time

表3 變壓器分接頭動作次數比較Tab.3 Comparison of transformer tap switching operations

表4 電容器組投切動作次數比較Tab.4 Comparison of capacitor switching operations

從表2可以看到，當動作次數約束較為嚴格時，方法一的迭代次數增加，這證明方法一的收斂性不如方法二好;但當動作次數約束相對寬松時，方法一的計算時間比方法二短，這證明方法一的計算速度較優，系統規模越大這種優勢將會越明顯。這為方法二隨著系統規模的擴大其計算量急劇增加的缺點提供了一種解決途徑。

從表2還可看到，無論MADSON取值如何，方法一和方法二的能量損耗都比較接近，表3和表4的比較也表明了兩種方法在限制變壓器分接頭和電容器組動作次數上取得的效果相當，甚至方法一還略有優勢。這些都證明了本文算法的正確性和可行性。

4 結論

本文提出了一種將修正方程分解成若干個獨立的子修正方程的動態無功優化解耦算法。這在理論上既解決了動態無功優化中變量離散化的難題，又避免了算法的計算量和所需存儲空間隨著系統規模的擴大而急劇增大的困境。為求解大規模電力系統動態無功優化問題提供了新的思路。

為了保證解耦分解算法的收斂性，必須對其得到的近似牛頓方向進行修正?？紤]到GMRES算法求解大型稀疏非對稱線形方程組的有效性，本文提出用GMRES算法對近似牛頓方向進行修正，并證明了修正后的算法能滿足收斂性的要求。

以廣州鹿鳴電網作為算例分析，取得了較為理想的結果，并與同一系統用文獻[12]提出的方法的結果進行了比較分析。對比結果驗證了本文算法的正確性和可行性。

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