提高級配指標計算精度方法研究

莫林利,趙秀紹

(華東交通大學 1.軟件學院;2.土木建筑學院,江西 南昌 330013)

顆粒分析試驗是測定干土中各種粒組所占該土總土質量的百分數的方法,借以明確顆粒大小的分布情況,供土的分類、判斷土的工程性質及選料之用。傳統方法采用人工計算,手工繪制級配曲線,需要花費一定的時間且易出錯,近年來工程人員對此進行了改進并逐漸實現了計算機軟件輔助計算。黃碧霞[1]利用數字圖像處理分析了粗集料顆粒的大小分布,采用Visual Basic編制了有針對性的數字圖像處理DIP程序以獲得級配曲線。丁麗萍[2]嘗試編寫應用軟件替代人工分析,闡述了開發顆分應用軟件的思路和原理。潘福營[3]利用EXCEL軟件可以自動進行計算并自動生成相應的顆粒分析級配曲線,具有快速、準確、節省工作量的效果。戴清等[4]在標準方程、疊加擬合方程等相關方法的基礎上,推薦了一個泥沙顆粒級配曲線方程,該方程考慮了泥沙的非均勻性。封光寅等[5]通過理論分析和研究,論述了不同種泥沙顆粒級配曲線的適用性與有關特征值之間的關系,同時還介紹了一種新的泥沙顆粒級配曲線繪制方法。

以上研究表明,有些程序或軟件已經能非常好的完成土粒級配曲線的繪制,但基于級配曲線自動求得土的不均勻系數Cu與曲率系數Cc在目前的研究中還比較少見,仍需要進一步研究。

1 級配曲線的傳統作圖法[6-7]

當顆粒分析試驗完成后,首先計算小于某粒徑試樣質量占試樣總質量的百分比。以表1中樟樹八景鎮貨場工程土樣篩分數據為例。然后以小于某粒徑的試樣質量占試樣總質量的百分比(p/%)為縱坐標,以顆粒粒徑(d/mm)為橫坐標,在單對數坐標上繪制顆粒大小分布曲線,如圖1所示。

在級配曲線上分別查得d60、d30、d10(其含義為小于對應粒徑的土含量占總土質量的百分比分別為60%、30%、10%),按以下公式計算不均勻系數 Cu與曲率系數Cc:

表1 樟樹八景鎮貨場工程土樣篩分數據表

式(1)和(2)中,d60,d10,d30—粒徑分布曲線的縱坐標上p等于60%,10%,30%時對應的粒徑。

當Cu＞5且 Cc在 1～3時,土樣為級配良好的土。其對路基填料定名非常重要,例如級配良好的礫砂為A級填料,級配不良的礫砂為B級填料。由于在坐標紙上讀d60,d30,d10時受人為因素影響較大,造成計算精度較低。

圖1 作圖法對應的級配曲線

2 幾種常見數解法的對比

2.1 線性插值

若各點間采用線性插值,則相當于用直線把相鄰兩點連接起來,和Excel中的折線圖類似,但違反了土工試驗規范中用光滑曲線連接的原則,作圖報告不美觀,計算級配指標時會造成較大的偏差。

2.2 多項式擬合

在作圖法的基礎上,林軒昌在“顆粒分析試驗中特征粒徑對應的土質量百分數的擬合計算”[8]一文建議顆粒分配曲線可采用4次多項式擬合提出了數解法,大大提高自動化程度。在樟樹八景鎮貨站工程土樣應用中發現,4次多項式擬合時有許多點不在曲線上,當提高多項式次數時,擬合曲線線形起伏變化大,出現了更大的偏差,見圖2中的(a)(b)。

圖2 土樣級配曲線多項式擬合情況

由圖2(a)、(b)可知,利用多項式擬合求解 Cu與Cc時,可能出現較大的偏差,特別是Cu接近于5,Cc接近于1或3時,嚴重時可能影響填料定名。

2.3 Lagrange插值與分段拋物線插值

將線性插值法應用于非線性函數的數據中,顯然計算精度不能滿足要求,或者說用直線逼近曲線造成的誤差較大,尤其當兩個插值結點相距較遠時。為了提高精度,可采用Lagrange插值法。Lagrange插值法是n+1個結點的多項式計算方法,可分為直接Lagrange插值與一元三點Lagrange(分段拋物線插值),相對于多項式擬合,其可保證各個試驗點均在直線上,但其采用了分段插值,易造成級配曲線的不連續,如圖3所示。

圖3 Lagrange插值的非連續性

3 三次樣條函數插值原理及在級配曲線中的應用

Lagrange插值方法一般具有較高的精度,但當插值點增多時,所得插值曲線往往會帶來插值的不穩定性(曲線非連續或結點處不光滑)。樣條函數插值既能保證結點處曲線連續,又能保證結點處有一階和二階連續導數。從工程角度上講,這個樣條函數已相當光滑。

3.1 樣條插值方法原理

對給定的插值序列(xi,yi)(i=0,1,2,…,n)有n+1個插值結點x0＜x1＜…xn,其對應函數值為y0,y1,…yn,若在[a,b]上插值函數滿足下面3個條件:

(1)插值條件,即

(2)連接條件,即在整個區間[x0,xn]上,結點xi(i=0,1,2,…,n-1)處具有一階和二階連續導數

(3)在每個子區間[xi-1,xi](i=1,2,…,n)上S(x)都是三次多項式,則稱函數S(x)為三次樣條函數,具體推導過程不再詳述。

3.2 工程應用

本程序在Visual Basic程序設計語言環境下實現。設Public Function YangTiao(X()As Double,Y()As Double,X1 As Double)As Double為Visual Basic中已經編制好的樣條函數,以篩分標準篩粒徑lg d作為數組d(),以小于標準篩粒徑土所占百分比為p(),以K作為d的插值,YangTiao返回K插值后小于K所對應的百分數值,為雙精度型。其調用方法可以通過以下循環調用:

For K=d(0)To d(UBound(d))Step 0.001'樣條曲線擬合

Y1=YangTiao(d(),p(),K)

Picture1.PSet(K,Y1)

Next

調用后得到插值序列(di,pi),然后把插值后的點順次連接起來,則可得到光滑的級配曲線,如圖4所示。

圖4 樣條曲線插值所得級配曲線圖

圖5 病態級配曲線

3.3 指標求解與修正

要求解Cu與Cc,須先求解d60,d30,d10,對于YangTiao函數,考慮到是半對數坐標,可以反向調用樣條函數求解。此時,以p()為插值數組,d()為被插值數組,反向插值程序如下所示。

d60=10?YangTiao(p(),d(),60)

d30=10?YangTiao(p(),d(),30)

d10=10?YangTiao(p(),d(),10)

按照以上程序從級配曲線上可以精確求出d60,d30,d10后,可按公式(1)、(2)求解Cu與Cc。

當每個粒組都有相當數量的土粒不會出現問題,但當某兩粒徑間的土粒質量為0時或數量很小時,樣條曲線會出現反曲病態現象。例如表1,粒徑為10 mm的篩上土質量為0 g,則會出現如圖5所示的情況。

從圖5中可看出,樣條曲線不是單調的增函數,此時若采用樣條函數插值,可能對應的曲線上有兩個粒徑對應 d60,造成求解失敗。因此,已經不能用樣條函數反求d60,且所得級配曲線也是病態的。

可以采用下述方法解決。在從小粒徑d1向大粒徑d2作曲線時,當發現大粒徑對應的p2小于p1時,取p2=p1,則不會出現反曲病態曲線,但此時仍不能用反向插值法求解d60,d30,d10。

下面以求解d60為例,當進行樣條曲線擬合插值時,可以設 delt60=1,當某個粒徑插入的值 Y1與60%最接近時,此時對應的K值就近似為d60,算法設計流程圖如圖6所示。可以用下列語句實現以上算法:

delt60=1:d60=0

For K=d(0)To d(UBound(d))Step 0.001'樣條曲線擬合,0.001為插入計算步長

圖6 修正法程序流程圖

采用最佳逼近算法是一種近似算法,它和直接反向插值法都可解決作圖法估讀數字不唯一問題,但它可以解決樣條函數非單調時求解失敗問題,表2是兩種方法的比較。

表2 級配曲線正常情況下兩種方法的比較

表2中的數據表明反向插值法與最佳逼近法有時有相當大的差距,通過圖5表明,反向插值法可能在某些點出現病態,特別是兩點的p相差不大時。對于求解步長,通過表2表明,步長越小,精度越高,可以取0.00001。

4 結論

在比較各種擬合的基礎上,確定了樣條函數擬合的方法;提出了對于單調樣條函數可利用反向插值求解 d60、d30、d10然后求解 Cu與Cc;

對于非單調函數,可能出病態曲線,提出了最佳逼近算法,解決了不能插值問題。并給出了在Visual Basic編程環境下的主要功能代碼。

[1]黃碧霞,陸陽.基于數字圖像處理的粗集料顆粒分布分析[J].路基工程,2008,26(1):23-25.

[2]丁麗萍.計算機技術在泥沙顆粒分析工作中的應用[J].山西水利,2006,22(6):110-111.

[3]潘福營.利用EXCEL自動繪制顆粒級配曲線的方法[J].四川水力發電,2010,29(3):48-49.

[4]戴清,韓其為,胡健,等.泥沙顆粒級配曲線的方程擬合及其應用[J].人民黃河,2009,31(10):69-71.

[5]封光寅,趙成海,張孝軍,等.泥沙顆粒級配曲線與有關特征值關系分析[J].中國粉體技術,2005,16(4):6-9.

[6]中華人民共和國國家標準.GB/T50123-1999,土工試驗方法標準[S].北京:中國建筑工業出版社,1999.

[7]中華人民共和國國家標準.TB 10102-2004,鐵路工程土工試驗規程[S].北京:中國鐵道出版社,2004.

[8]林軒昌.顆粒分析試驗中特征粒徑對應的土質量百分數的擬合計算[J].公路,1998,43(8):22-24.