淺析相對無偏估計在測量平差中的應用

高強 靳麗

1 概述

在間接平差中我們利用線性隨機模型,將觀測值通過未知參數的線性方程組間接表示。

其中,aij為已知的非隨機參數;λi為一個觀測得的隨機變量的理論平均值;xi為未知參數。用矩陣符號寫出這一參數模型:

假定這一模型給出我們的觀測值集合的適當表示,用隨機變量和誤差,把參數模型寫為隨機模型。

L為隨機變量,誤差為:

若A矩陣滿秩,則對于X,我們可以確立唯一的期望。對于任何被選定的A-1可以得到一個無偏估值。當重復無限多次,它作為極限平均值給出期望。這同經典表示完全一致。凡這種估值均可叫作絕對無偏估計。那么,絕對無偏估計值是否嚴格的形成,這就要求我們使用以絕對單位制操作工具進行全部測量。實際上我們不得不接受較適中的辦法,承認只有在實際參數系統中分析每一種觀測才有意義。所以,相對無偏估值似乎是自然的。

2 相對無偏估值

2.1 提出相對無偏估計的原因

在經典平差中,我們這樣處理問題,例如:在已知測站P觀測了三個目標A,B和C的方向,那么通常把一個目標的方向(A)當作零方向,而把其他兩個目標的平均值取作最后的結果。這種表示法對第一方向(A)就給出零方差,而其他兩個方向(BC)包括了來自第一個方向(A)的方差。在這里方差是作為一個絕對無偏估值給出。但是,所有三個方向是完全等價的,把所有三個方向都看作是未知數是更自然的。這里得到一個不為滿秩的矩陣A,如果適當極小化,這個矩陣對于所有三個方向給出相同的方差。

2.2 相對無偏估值

定義1:當 A不為滿秩時,利用 A的廣義逆來估計參數X,就叫作相對無偏估值。

定義2:對于一個任意的矩陣 A,我們定義逆陣 A-1:

對于一個任意的矩陣A,它的逆陣的完全集:

其中,A-1為A的任何一個逆;M,N均為可以加于A-1的實際空間之任何矩陣。對于任何的 M,N可以得到滿足式(6)的逆陣。

3 實例

我們提出的方法將用數值模型進一步加以解釋,如下觀測方程(非相容的):

3.1 方法一

為了估計一個無偏的估值,可以用A的任何廣義逆陣,取 A中上方四個元素所成矩陣的凱萊逆陣再附加兩個零簡單的得到。

滿足 AA-1A=A,故參數的無偏估值=A-1L。

按最小二乘原理,誤差ε的方差最小:

3.2 方法二

取A中下方四個元素所成矩陣的凱萊逆陣再附加兩個零簡單的得到。

滿足AA-1A=A,故參數的無偏估值

3.3 方法三

按最小二乘原理,誤差ε的方差最小:

取A的最小二乘最小范數逆:

若比較三個無偏解,現在無法決定哪一種方法更為可取。我們只能說第一個解給出的方差大,最后一個解給出的方差小。

3.4 方法四

無偏估值的全集:

我們可以選擇N的任何有限值,對于無偏觀測值的任何集合,X的極限值將是相同的。

4 結語

在測量平差中,當觀測量完全等價時,采用相對無偏估計能正確得到其最或然似值。

[1]崔希璋.廣義測量平差[M].武漢:武漢大學出版社,2007.

[2]邱衛寧,陶本藻,姚宜斌,等.測量數據處理理論與方法[M].武漢:武漢大學出版社,2006.

[3]王新洲.對21世紀測繪教育的初步思考[J].測繪通報,1999(9):38-39.

[4]張書畢.加強“誤差理論與測量平差基礎”課程教學的探討[J].測繪通報,2004(5):56-57.

[5]武漢測繪科技大學測量平差教研室.測量平差基礎[M].第3版.北京:測繪出版社,2004.