消磁繞組磁感應強度的延拓方法研究

楊明明 劉大明 劉勝道 連麗婷

(海軍工程大學電氣與信息工程學院,湖北武漢430033)

1.引 言

根據艦船的使命任務、航行區域以及防御水雷等級,不同的艦船將會設計不同的消磁繞組。當消磁繞組磁感應強度分布曲線不能良好地補償艦船磁感應強度分布曲線時,要進行繞組安匝調整。如何快速準確獲得在標準測量深度上的繞組磁感應強度(單個繞組區段的單位安匝的磁感應強度,稱為繞組效率)成為進行繞組安匝調整的關鍵。受實際測量條件(水深和風浪等)的影響,實際測量時往往很難直接獲得這類特定信息,需要從測量位置來推算標準位置的繞組磁感應強度。

目前,國內外對于消磁繞組磁感應強度延拓方法的研究極少,而對艦船磁感應強度的延拓方法主要有有限元法、積分方程法和磁體模擬法[1-4]。有限元和積分方程法都需要對艦船進行剖分,其剖分的合理性和疏密程度嚴重影響著延拓結果。對于形體復雜且龐大的艦船而言,剖分是非常復雜困難的,并且得到的方程組也將非常龐大,運算時間較長。常用的磁性模擬體主要有磁偶極子和磁橢球體,該方法易受人為經驗的影響,穩定性和精度難以保證。邊界積分方法只對求解區域邊界剖分,使得形成的代數方程組維數大為減少,節約了計算成本,已廣泛應用于磁源成相等領域[5]。本文在上述研究的基礎上,從邊界積分理論和等效原理出發,建立以有限平面為等效邊界的邊界等效源繞組磁感應強度延拓模型,采用Tikhonov正則化方法對模型進行求解以提高模型的穩定性,最后給出了實船實例計算結果。.

2.消磁繞組簡介和磁場測量

消磁繞組是一組敷設在艦船內部的導線,在正常工作時,消磁繞組產生和艦船磁場大小相等、方向相反的磁場,從而抵消艦船的感應磁性和一部分艦船在磁性處理中沒有消除的固定磁性。根據艦船的使命任務、航行區域以及防御水雷等級,不同的艦船將會設計不同的消磁繞組。典型消磁繞組的示意圖如圖1,其中XQ,YQ和ZQ繞組分別用來抵消艦船的縱向,橫向和垂向感應磁性,ZF繞組用來抵消艦船在磁性處理中未消除的固定磁性。

繞組磁感應強度的測量分為兩個步驟:①在消磁繞組未通電時,測量艦船磁感應強度B1;②接通消磁繞組電源時,測量在消磁繞組作用下的艦船磁感應強度B2。由于繞組通電產生的磁場較小,不會磁化艦船,所以繞組磁感應強度Bc可按下式計算

圖1 消磁繞組示意圖

消磁繞組的磁感應強度延拓的兩種方案為:

方案一:在實際測量位置,按式(1)首先計算出在該位置的繞組磁感應強度(由于上述測量的兩步驟能在較短的時間內完成,可以認為測量環境基本不變),再將繞組磁感應強度延拓到目標位置。

方案二:首先從實際的測量位置將艦船磁感應強度B1和在消磁繞組作用下的艦船磁感應強度B2延拓到目標位置,再按式(1)計算目標位置的繞組磁感應強度。

兩種方案中的磁感應強度都可以視為鐵磁物質和傳導電流產生的,同時為了方便比較兩種方案的延拓結果。因此,采用同一磁感應強度延拓模型。

3.基于有限平面的延拓模型

如圖2,z=0的無限大平面將場域空間分成兩部分V1和V,所有的磁源(包括鐵磁物質和傳導電流)都被限制在V1內。在z＞0的半空間區域內,沒有電流分布(J=0),標量磁位φ滿足拉普拉斯方程▽2φ=0。

圖2 場源和半空間場域

由文獻[1][2],半空間區域V內的拉普拉斯方程邊值問題的解為

從式(2)和(3)可以看出:V 1內的磁源對V中任意位置的磁位φP的貢獻可以用邊界上的面積分來表示。如果已知邊界面S上的等效磁源參數(φ或)后,可以由該式計算V中任何一點的標量磁位φP。在得到該點的φP后,通過求取該點的負梯度,并結合該點的磁導率μ,即可得到該點的磁感應強度。

式中,偏微分是對邊界上的源點坐標進行的,而梯度是對場點坐標進行的。不管采用式(4)或式(5)來計算場域內的磁感應強度,都具有同樣精度[6]。考慮測量和積分計算的簡便性,一般采用式(5)來求解場域中的磁感應強度。在實際使用時,還需要進行以下的兩個處理步驟:①邊界面應取有限邊界面(一般取2倍船長,2倍船寬的矩形為邊界面,下節的實船實例也證明了有限邊界面的有效性);②將有限邊界面劃分為N個離散單元,當各離散單元足夠小時,其磁性參數可以看作常數。此時式(5)可離散化為

這就是邊界上的等效磁源參數與無磁區域V中的磁感應強度的正演關系。如果我們能夠獲得z＞0的半空間內某個平面z c上的磁感應強度測量值,則可以直接由式(6)計算z＞z c的區域內任何位置的磁感應強度,該方法稱為“大平面換算法”。由于該方法對測量環境要求較高(如測量面應該足夠大;為了挑選合適換算的測量點,測量點布置盡量密集、規律化和程序化),所以其使用受到一定的限制[1]。

如果在區域V內測量得到一組磁場感應強度后,利用式(6)反演出邊界上的等效磁源參數,則可以利用這組等效磁源參數計算區域V內任意位置的磁感應強度。由于在艦船磁場延拓的實際工程中,常采用單分量傳感器進行檢測,故一般只能得到磁感應強度數據的z分量值,且對艦船磁場的評估和處理目前也只考慮z分量值,所以基于z分量的延拓模型更加具有實用性。

式(7)寫成矩陣形式可表示為AX=b,其中X為磁性參數組成的列向量,b為測量值組成的列向量,系數矩陣A是將等效源磁性參數和測量值聯系起來的線性觀測矩陣,矩陣元素的值與場點P i和邊界單元Sj有關,其積分與單元的具體形狀密切相關。本文采用圖2中的矩形單元,積分的具體解析表達式見下面的式(8)。

式中:i表示第i個測量點;j表示第j個離散單元;xkj,ylj分別表示第j個單元的第k個節點的橫坐標和第l個節點的縱坐標;(xi,yi,zi)為第i個測量點的三維坐標。

作為延拓磁感應強度所需的第一個步驟,我們完成了延拓模型的分析。延拓的具體過程可以描述為:在某些特定位置,得到磁場感應強度的一組有效測量數據,求解方程組AX=b反演得到邊界上一組等效磁性參數后,再利用式(7)計算其他位置的磁場感應強度。

4.Tikhonov正則化求解逆問題

與微波成像計算中離散化所得到的線性方程組類似,由上節模型導出的方程組也常呈現較嚴重的病態特性,測量數據以及計算過程的微小誤差就會造成結果的巨大偏離[7]。出現這種現象的主要原因有:1)形成方程組的過程中,每個邊界單元內的磁位的法向導數是利用其在該單元中心的法向導數來近似的。為了保證近似的有效性,需要將邊界劃分較多的單元,單元的增多,會使得形成的方程組的系數矩陣的列相關性增強,系數矩陣的條件數增大。當測量點間距較小時,這種現象尤其突出。2)計算機在存儲和計算過程中的有限字長效應,也會加劇逆問題模型的病態特性。而我們在求解方程組時,通常按線性最小二乘來求解,即求解法方程組

若方程本身是病態的,則法方程會更加地病態[8]。所以我們在求解逆問題模型參數時,需要借助其他手段。國內外很多學者都對這類病態問題進行了研究,這些研究表明TSVD和Tikhonov正則化等方法可以較好的處理逆問題中由系數矩陣病態特性而造成的結果的不穩定性[7-12]。因此,采用Tikhonov正則化方法對方程組進行求解。

假設實際測量過程中測量誤差為ξ,理想情況下磁感應強度測量值為c,則有b=c+ξ,AX=c+ξ.對系數矩陣進行奇異值分解A=USVT,則經正則化處理后,方程組的解可以表示為

分析式(10)可知,Tikhonov正則化方法的實質是在奇異值上疊加一個極小的正實數α(正則化參數),抑制異常小的奇異值σi對噪聲的放大作用,達到正則濾波的目的。從式(10)我們還可以看出,若正則化參數α選取較大(過正則化),則Xα與真解差別較大,模型的精確性降低;若正則化參數α選取較小(欠正則化),則無法抑制對噪聲的放大作用,模型的穩定性下降。所以恰當的正則化參數需要在模型的精確性和穩定性之間做出一個合適的折中。

在計算模型參數的過程中,通常所擁有的先驗信息較少,尤其是無法預知測量數據中的噪聲水平,采用后驗選取法確定正則化參數具有優勢。后驗選取方法主要有 L曲線法,交叉校驗(cross validation,CV)和廣義交叉校驗(generalized cross validation,GCV)。這三種方法直接從測量數據出發,通過預解方程組來確定正則化參數,而不需要先驗信息,適合本文中逆問題的求解。本文采用GCV函數來選取正則化參數,定義如下的函數

式中:H(α)=A(ATA+αI)-1AT;y=H(α)y;tr(H(α))為H(α)的跡。使函數GCV取得最小值的就是由廣義交叉校驗所求得的正則化參數。圖3和圖4分別給出了兩種延拓方案的典型GCV函數曲線。

圖3 延拓方案一的典型GCV曲線

圖4 延拓方案二的典型GCV曲線

5.實船實例分析

在某新建的現代化大型消磁站中,按繞組效率測量步驟,以5 m為間距采集得到某型艦船在27×4點陣列上的艦船磁感應強度z分量。如圖5所示,測量平面高度分別為 z1=15.872 m和 z2=20.872 m,測量范圍分別為130 m×10 m(z1)和130 m×13 m(z2)。有限邊界取為2L×2B的矩形(L和B分別為船長和船寬),整個邊界共劃分為24×4個單元。分別利用z1(z2)平面上的測量數據,建立相應的磁場模型,并由模型計算得到了各繞組在z2(z1)平面的磁感應強度。定義平均相對誤差其中Bm和Bc分別為磁感應強度的測量值向量和推算值向量,B m max為磁感應強度測量值的最大值,M為向量維數[13]。表1給出了各繞組磁感應強度的延拓結果。

圖5 測量示意圖(z1:d 1=5 m,d 2=3 m和d3=2 m;z2:d1=7 m,d 2=2 m和d3=4 m)

表1 各繞組磁感應強度延拓結果

從表1中可以看出:除z1深度的YQ繞組和z 2深度的ZQ繞組磁感應強度平均相對誤差(ER)差別較大(分別為0.78%和1.29%)之外,其他情況下,兩種方案的平均相對誤差的最大差別都控制在0.5%的范圍內;消磁繞組磁感應強度延拓的兩種方案都具有較高的精度,能夠滿足實際的需要。

圖6和圖7分別給出了近場到遠場及遠場到近場的推算值與測量值的對比曲線(由于篇幅的原因,只畫出各繞組部分位置的磁感應強度比較圖,其他位置有同樣的性質)。

圖6 z1深度,測量值和推算值比較圖

從圖中可以看出:(1)由近場推算遠場時,XQ、YQ和ZF繞組磁感應強度z分量的推算誤差均可控制在6%以內,ZQ繞組磁感應強度z分量較大約為9.7%;(2)從遠場推算近場模型誤差稍大,XQ、YQ和ZF繞組均可控制在10%以內,ZQ繞組仍然偏大為12.7%。ZQ繞組延拓誤差偏大的原因可能是測量誤差造成的。

圖7 z2深度,測量值和推算值比較

圖8 和圖9分別給出了經正則化處理和未經正則化處理兩種情況下,XQ繞組磁感應強度z分量在兩個不同深度上的推算值與測量值的對比曲面。由于兩種方案的延拓結果差別較小,因此在未經正則化處理的情況下文中只給出了采用方案一的延拓結果;同時限于篇幅的原因,文中僅給出了XQ繞組的延拓結果,其他繞組磁感應強度具有同樣的性質。從圖8和圖9可以看出,Tikhonov正則化技術不但提高了延拓精度,而且增強了模型的穩定性。

6.結 論

研究了基于Tikhonov正則化方法的繞組磁感應強度延拓方法,分析了兩種不同延拓方案對延拓結果的影響。與基于傳統等效源法的延拓技術相比,具有以下優點:1)該方法有效消除了傳統等效源法中人為因素對建模過程的影響,提高了模型的通用性。2)針對實際測量中存在的誤差,借助 Tikhonov正則化方法求解,大大提高了模型的穩定性,降低了實際工程中測量誤差給建模結果帶來的擾動,更具有實際工程應用價值。實船實例表明:繞組磁感應強度延拓精度滿足艦艇消磁技術要求,可用于工程實際。

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