基于雙平行線陣的相干分布源二維DOA估計

鄭 植 李廣軍 滕云龍

(1.電子科技大學電子科學技術研究院,四川成都611731;2.電子科技大學通信與信息工程學院,四川成都611731)

1.引 言

分布式信源波達方向(DOA)估計是現代通信信號處理領域中的一個研究熱點。無線通信系統的電波傳播有直達波傳播和非直達波傳播[1]兩種方式。在直達波傳播情形下,移動臺和接收陣列之間存在直線路徑,因此,一般將目標信號假設為點源。而在非直達波傳播情形下,由于本地多徑散射將導致信號在到達接收陣列時發生一定程度的角度擴展。此時,傳統的點源假設及其對應的參數估計算法將不再適用,必須采用分布源模型及其相應的參數估計算法。

分布源一般可分為相干和非相干兩種類型。迄今為止,針對上述兩種分布源模型已發展了多種DOA估計算法[2-10]。其中,較為著名的有DSPE[2]、DISPARE[3]、最大似然[4]、協方差匹配[5]和廣義Capon波束形成法[6]。但以上方法均針對的是一維分布源。對于二維分布源,對應的DOA估計算法相對較少。其中,文獻[11-14]利用L型線陣或均勻圓陣,提出了幾種相干分布源二維DOA估計算法。這些算法均把四維參數估計問題轉化為兩個二維參數估計問題來處理,在一定程度上降低了算法的復雜度,但仍需二維搜索。文獻[15]利用雙均勻圓陣提出了一種估計相干分布源二維中心DOA的一維交替搜索(SOS)算法,該算法把二維搜索問題簡化為一維搜索問題,進一步降低了復雜度。文獻[16]提出了一種無需搜索的算法,但仍需對樣本協方差矩陣做特征分解,計算復雜度依然較高。文獻[17]給出的算法不需要譜搜索和對樣本協方差矩陣特征分解,但沒有解決參數配對問題,不能用于多源場合。

本文研究相干分布源的二維DOA估計問題。基于雙平行均勻線陣,提出了一種低復雜度的估計算法。該算法充分利用了雙平行線陣的結構特點,通過將平移子陣的廣義方向矢量化為分布源中心DOA的解耦形式獲得陣列間的旋轉不變矩陣,并利用一種改進的傳播算子法求解旋轉不變矩陣,進而最終估計出分布源的二維中心DOA。本文算法不需要譜搜索和對樣本協方差矩陣特征分解。和常規算法相比,計算復雜度更低。而且算法給出了詳細的參數配對流程,能夠處理多個分布源。本文算法估計性能良好,在小角度擴展下其估計性能和SOS算法很接近。此外,算法與分布源的角分布形式無關,穩健性好。

2.信號模型

考慮圖1所示的陣列結構,它由兩個平行的均勻線陣X和Y組成。其中陣列X有M+1個陣元,陣列Y有M個陣元且與X的距離為d。各陣列的陣元間距也為d。假設遠場空間中有D個窄帶相干分布源以不同的二維中心波達方向(θi,φi)(i=1,…,D)入射到陣列,其中θi和φi分別表示第i個分布源的中心方位角和中心俯仰角(θi∈[-π/2,π/2], φi∈[0,π/2],σθi和 σφi為對應的角度擴展參數 。設各陣元的噪聲為加性高斯白噪聲,且與信號不相關。

圖1 雙平行均勻線陣結構

在t時刻,陣列X和Y的觀測數據可表示為

式中 :a(θ,φ)=[1,ejlsinφcosθ,…,ejlMsinφcosθ]T為點源方向矢量;l=2πd/λ(λ為信號波長);U=[I M×M|0M×1]為數據選擇矩陣;si(θ,φ,t)為第 i個分布源的角信號密度函數。

對于相干分布源,角信號密度函數可寫為

式中:gi(θ,φ;μi)為確定性角信號分布函數;μi=[,σθi,φi,σφi]為角度參數向量 。

定義陣列X和Y的廣義方向矢量如下

則式(1)可寫成矢量形式

式中:B X(μ)是(M+1)×D維廣義方向矩陣;B Y(μ)是M×D維廣義方向矩陣。

如圖1所示,將X劃分成子陣X1和X2,則X1和X2的廣義方向矢量可定義為

對任意的二維方向(θ,φ),定義 θ=θi+～θ和 φ=φi+～φ。在小角度擴展下,將a(θ,φ)的第k個元素在中心方向(θi,φi)處做一階泰勒近似

將式(8)代入式(6),可得中心DOA的解耦形式

式中

將式(8)代入式(7),可得

由于ejl(～φcosφicosθi-～θsinφi sinθi)≈1,則式(11)可重寫為

由式(9)和式(12),可得如下關系

用矩陣表示

式中:B X1(μ)均為M×D維的廣義方向矩陣;ΦX=diag[ejlsinφ1cosθ1,…,ejlsinφDcosθD].

同理,將式(8)代入式(4),可得

用矩陣形式表示

式中:B Y(μ)為M×D維廣義方向矩陣;旋轉矩陣ΦY=diag[ejlsinφ1sinθ1,…,ejlsinφDsinθD].

將陣列X和Y的觀測數據合并為

式中:B=[BTX,BTY]T為總陣列的廣義方向矩陣;n(t)=[nTX(t),nTY(t)]T,為總陣列的噪聲矢量。

3.算法描述

傳播算子法在點源的DOA估計中已有不少應用。其中,文獻[18]的方法利用傳播算子法構建譜搜索函數估計DOA參數,復雜度較高。文獻[19][20]的方法雖不需要進行譜搜索,但存在較大的陣列孔徑損失,估計精度不高。此部分針對相干分布源,充分利用雙平行線陣的結構特點,提出了一種基于傳播算子的二維中心DOA估計算法,該算法無需譜搜索,也無任何陣列孔徑損失,估計精度較高。

3.1 傳播算子的估計

假設總陣列的廣義方向矩陣B是列滿秩的,則B中有D行是線性獨立的,其它行可由這D行線性表示。假設B的前D行線性獨立,則B可分為

式中,B1和B2分別為D×D 維和(2M+1-D)×D維矩陣。

傳播算子定義為由2M+1-D維復空間C2M+1-D到D維復空間CD的唯一線性算子P,且P滿足

由于傳播算子P的估計需要用到分布源的方位信息,故可由總陣列接收數據的數據協方差矩陣Rzz=E[z(t)zH(t)]求解,具體步驟如下

①估計協方差矩陣R zz

式中,N為陣列接收的快拍數。

式中,G和H分別為(2M+1)×D和(2M+1)×(2M+1-D)維矩陣。

③最小化下面的代價函數

式中,‖·‖2F表示Frobenius范數。其解為

3.2 基于傳播算子的分布源二維DOA估計方法

也即由～P張成信號子空間。將 ～P按行劃分成三個矩陣,其中第1到第M行記為～P1,第2到第M+1行記為～P2,第 M+2到第2M+1行記為 ～P3,如下所示

由式(24)和式(25),可得

由式(26),可得

進而有

式中,[·]+表示求廣義逆矩陣,且～P1+=(～P1H～P1)-1～P1H。令 ～P1+～P2=ΨX,～P1+～P3=ΨY,分別對 ΨX和 ΨY進行特征分解,即可求出 ΦX和 ΦY。對于單一分布源情形,由 ΨX和 ΨY的唯一特征值 ξxi和 ξyi通過式(29)和(30)即可估計出分布源的中心方位角和中心俯仰角。

式(29)中,angle(·)表示取相位運算。

對于多個分布源的情況,首先需要對特征值進行配對,否則不能得到正確的估計結果。根據陣列的結構特點,這里用文獻[21]中的方法來完成特征值的配對。

若對 ΨX進行特征分解得到的特征值和對應的特征向量分別為ξxi和U i.因為 ΨX和 ΨY有相同的特征向量,所以U i也是 ΨY的特征向量。假設 ΨY與特征向量U i對應的特征值為ξyi,則由矩陣、特征值和對應特征向量之間的關系,可得

令

根據式(31)～(33),可得

為了提高估計精度,可對式(34)進行如下修正

至此,即求出一一對應的ξyi和ξxi。然后利用式(29)和(30)即可正確估計出每個分布源的二維中心DOA。

3.3 計算復雜度分析

SOS算法是一種典型的一維搜索算法。其計算量主要集中在估計樣本協方差矩陣,對樣本協方差矩陣進行特征分解和一維譜搜索上。估計樣本協方差矩陣并對其進行特征分解所需的計算量約為o(4M2N+8M3),而譜搜索的計算花費跟搜索的精度有關,做精細搜索時一般都在o(M6)以上。文獻[16]是一種典型的無需譜搜索的算法,它的計算量主要體現在估計兩個樣本協方差矩并對其做特征分解上,所需的總計算量約為o(5M2N+9M3)。而本文算法的計算量主要體現在估計一個2M+1階的樣本協方差矩陣和對兩個D階矩陣 ΨX和ΨY的特征分解上,需要的總計算量約為o((2M+1)2N+2D3)。顯然,本文算法的計算量比SOS算法和文獻[16]算法都低。

4.仿真實驗與分析

此部分通過3個統計實驗來考察算法的性能。實驗基于圖1所示的陣列結構。其中,M=8,d=0.5λ。

實驗1:比較本文算法和SOS算法(其中,每個圓陣的陣元數為8,兩圓陣間距0.1倍波長)的性能。考慮一個相干分布源入射到陣列,其角分布為高斯分布 ,μi=[-30°,2°,60°,2°] 。圖 2 表示在快拍數為 400的條件下,在不同的信噪比處分別做200次Monte-Carlo實驗得到的二維DOA估計的均方根誤差(RMSE)隨信噪比(SNR)變化的曲線。從圖2可以看出,本文算法在不同信噪比處的估計性能非常接近于SOS算法。圖3表示在SNR=10 dB的條件下,以不同的快拍數分別進行 400次Monte-Carlo實驗得到的二維DOA估計的均方根誤差隨快拍數變化的曲線。從圖3可以看出,本文算法在相同快拍數時的估計精度略高于SOS算法。這里,二維DOA估計的均方根誤差定義為

實驗2:考察角度擴展大小對算法估計性能的影響。分布源的角分布情況與中心DOA參數與實驗 1 相同 。當 σφi=2°,在 SNR=10 d B,快拍數為200的條件下,以不同的方位角擴展進行500次Monte-Carlo實驗,得到圖4所示的方位角估計的均方根誤差隨方位角擴展變化的曲線。同樣,當σθi=2°,做類似的實驗,得到圖5所示的仰角估計的均方根誤差隨仰角擴展變化的曲線。從圖4可以看出,方位角擴展越小,方位角估計的均方根誤差變化越小。而隨著方位角擴展增加,方位角估計的均方根誤差急劇增加。類似的情況也可從圖5中看到。以上說明算法在小角度擴展情形下估計性能更好。

實驗3:考察算法估計多個不同角分布信號的能力。考慮兩個相干分布源入射的情況。其中一個分布源是高斯分布源(GCD Source),其角度參數為μ1=[-50°,2°,10°,2°]。另一個分布源是均勻分布源(UCDSource),其角度參數為μ2=[40°,2°,75°,1°] 。在快拍數為800的條件下,以不同的信噪比分別進行500次Monte-Carlo實驗,得到圖6所示分布源二維DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化的曲線。從圖6可以看出,本文算法能夠有效估計多個分布源,且無需知道分布源的角分布函數形式。

圖6 二維DOA估計的均方根誤差隨信噪比變化情況

5.結 論

利用兩個平行線陣,本文提出了一種低復雜度的相干分布源二維DOA估計算法。本文算法無需譜搜索和對樣本協方差矩陣做特征分解,計算復雜度很低,易于實時處理和工程實現。仿真結果表明:在小角度擴展條件下,本文算法估計性能良好,接近于SOS算法。而且算法無需知道分布源角分布函數的先驗信息,具有一定的穩健性。

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