索膜結(jié)構(gòu)裁剪設(shè)計(jì)中測地線的尋求

游飛貴

索膜結(jié)構(gòu)是一種新型建筑結(jié)構(gòu)形式,近年來發(fā)展相當(dāng)迅速,其材料與制作,試驗(yàn)與檢驗(yàn)方法以及施工方法等都與普通建筑結(jié)構(gòu)有所不同[1]。索膜結(jié)構(gòu)裁剪分析是索膜結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中的一個關(guān)鍵問題,如果裁剪分析不當(dāng),將極大地改變索膜結(jié)構(gòu)中原來的應(yīng)力分布,甚至出現(xiàn)褶皺。通常索膜結(jié)構(gòu)是具有雙向曲率的曲面,多數(shù)是不可展的。最好的近似方法當(dāng)然是用許多具有無限小寬度的膜條來形成整個結(jié)構(gòu),但在實(shí)際工程中是不可能做到的[2]。用測地線來進(jìn)行裁剪分析,可使膜片的邊界不產(chǎn)生過大的弓形。本文根據(jù)文獻(xiàn)[3][4]提出的方法,將其進(jìn)行展開和深入,推導(dǎo)了最終求解測地線的公式,解決了索膜結(jié)構(gòu)裁剪設(shè)計(jì)中的一個關(guān)鍵問題。

1 單元—節(jié)點(diǎn)拓?fù)渚仃?/h2>

在求解測地線的過程中,應(yīng)用單元—節(jié)點(diǎn)拓?fù)渚仃嚳梢源蟠蟮暮喕头奖阌?jì)算,因此有必要先引入單元—節(jié)點(diǎn)拓?fù)渚仃嚨母拍睢?/p>

設(shè)網(wǎng)絡(luò)劃分,單元數(shù)為m,節(jié)點(diǎn)數(shù)為n,其中元素定義如下:對于i單元,始端節(jié)點(diǎn)為r,終端節(jié)點(diǎn)為s,單元—節(jié)點(diǎn)拓?fù)渚仃嘋和D為矩陣m×n,可描述一個網(wǎng)絡(luò)關(guān)系。設(shè)第j單元,始端節(jié)點(diǎn)為i,終端節(jié)點(diǎn)為i+1,單元坐標(biāo)差為:

設(shè)為矩陣形式:

其中,u,v,w,q,r,s均為單元坐標(biāo)向量(m×1);x,y,z均為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)向量(n×1)。

2 求曲面上已知兩點(diǎn)間的測地線

已知曲面上的兩點(diǎn),求經(jīng)過這兩點(diǎn)的測地線,該問題可以表述為:給定曲面 φ(x,y,z)=0,求曲面上所有連接已知點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的曲線中,長度最短的曲線。問題歸結(jié)為求泛函的極小值[2,3]:

其中,y(x),z(x)滿足 φ(x,y,z)=0,求測地線問題為條件極值問題,用拉格朗日乘子法可化為求解下述輔助函數(shù)的極值問題,并取參數(shù)方程。

x=x(t);y=y(t);z=z(t);λ=λ(t)得到式(2):

其中,xt=dx/dt;yt=dy/dt;zt=dz/dt,當(dāng)x=x1時,t=0;x=x2時,t=T。

若已知曲面方程φ(x,y,z)=0,則可由上式求得極值函數(shù)x=x(t),y=y(t),z=z(t)和 λ=λ(t)。由于我們得到的初始曲面是一些離散點(diǎn),得不到初始曲面具體方程,因此得不到極值函數(shù)x=x(t),y=y(t),z=z(t)和λ=λ(t)。然而可以用分段近似的方法確定測地線。

3 尋求測地線的具體流程及其求解公式的推導(dǎo)

因?yàn)闊o法得到初始曲面的具體方程,可以利用分段近似的方法確定測地線,其具體流程如下[4]:

1)已知膜曲面的離散點(diǎn)p1,p2,p3…點(diǎn)的坐標(biāo),把這些點(diǎn)組成一個集合K;2)已知測地線的端點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),A,B點(diǎn)在邊界索上;3)連接A,B兩點(diǎn),計(jì)算線段AB的長度,根據(jù)AB的長度,將線段n等分,得到n個單元,(n-1)個內(nèi)插點(diǎn)M1′,M2′,M′n-1,把這些點(diǎn)組成一個集合為G,G內(nèi)各點(diǎn)的坐標(biāo)可通過計(jì)算求得,為已知量;4)取出第一個單元AM1′,以其中點(diǎn)為球心,R=10×|AM1′|為半徑作球,球內(nèi)所包含的K集合內(nèi)的離散點(diǎn)為P1′,P2′,P3′…,這些點(diǎn)組成一個集合為P′,P′?K;5)利用P′中的離散點(diǎn),進(jìn)行曲面擬合,設(shè)近似曲面方程為:z=h0+h1x+h2y+h3xy+h4x2+h5y2,用最小二乘法得到曲面方程的系數(shù)h0,h1,h5…,設(shè) φ1′(x,y,z)=z-z(x,y);6)將M1′的x,y坐標(biāo)代入φ1′(x,y,z)=z-z(x,y)得到膜曲面上點(diǎn)M1(x,y,z),即為測地線上的一個初始點(diǎn);7)對第2個～第n個單元重復(fù)步驟4)～步驟6),可得到測地線上的一系列初始點(diǎn)A,M1,M2,…,Mn-1,B,如圖 1所示;8)取第i個單元MiMi+1,用4),5)同樣的方法,以MiMi+1的中點(diǎn)為球心,R=5×|MiMi+1|為直徑作圓,所包含的離散點(diǎn)進(jìn)行擬合得到的單元MiMi+1附近的曲面方程φj(x,y,z)=z-z(x,y);9)對于第i個測地線單元,單元內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)為:

對每一個單元設(shè)λ為常數(shù),不隨t變化。

根據(jù)以上9個步驟得到的每一單元的曲面方程和單元內(nèi)任一點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù)表達(dá)式,進(jìn)而就能推導(dǎo)求解測地線的具體公式。因此,式(1)即測地線的總長可以表示為:

或表示為:

其中,k=(1,1,…,1);l1,l2均為n×1的向量;λ為n×n n個1階對角矩陣。

對目標(biāo)函數(shù)式(5)求變分得[5]:

令上式各泛函等于0,即:

上述方程組為一非線性方程組,采用牛頓—拉弗遜法和最速下降法聯(lián)合求解[2],可得到x,y,z,即測地線AB上各個分段點(diǎn)M1,M2,…,Mn-1的坐標(biāo)。

得到測地線AB的各分段點(diǎn)后,用線段將其連接起來,作為裁剪設(shè)計(jì)中的裁剪線。

4 結(jié)語

本文應(yīng)用有限單元的思想,采用古典變分求極值的方法,給出了求測地線的具體步驟和詳細(xì)流程,推導(dǎo)了確定測地線的相關(guān)公式。此方法可以任意改變測地線兩端點(diǎn)的位置以及測地線的方向,充分利用了材料。并且根據(jù)本文的方法,作者編制了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序,通過多個算例的計(jì)算,把所得的結(jié)果和EASY軟件計(jì)算出的結(jié)果作比較,發(fā)現(xiàn)二者計(jì)算結(jié)果的差異均在千分之一以內(nèi),具有相當(dāng)高的精度。采用測地線作為裁剪線,子曲面展開圖形邊界曲率較小,裁剪片幅度大致相等,從而達(dá)到拼接簡單和省料的目的。

[1]石井一夫,王炳麟.日本膜結(jié)構(gòu)的發(fā)展[J].世界建筑,1999(3):70-73.

[2]王啟文,吳健生.膜結(jié)構(gòu)裁剪下料分析[J].工業(yè)建筑,1995,25(11):50-59.

[3]向 陽,沈世釗.薄膜結(jié)構(gòu)的實(shí)用裁剪設(shè)計(jì)方法[J].空間結(jié)構(gòu),1999,5(2):46-50.

[4]沈燕華.空間索膜結(jié)構(gòu)裁剪分析研究[D].廣州:華南理工大學(xué),2005.

[5]陳位宮.力學(xué)變分原理[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1989.