索膜結構裁剪設計中測地線的尋求

游飛貴

索膜結構是一種新型建筑結構形式,近年來發展相當迅速,其材料與制作,試驗與檢驗方法以及施工方法等都與普通建筑結構有所不同[1]。索膜結構裁剪分析是索膜結構設計過程中的一個關鍵問題,如果裁剪分析不當,將極大地改變索膜結構中原來的應力分布,甚至出現褶皺。通常索膜結構是具有雙向曲率的曲面,多數是不可展的。最好的近似方法當然是用許多具有無限小寬度的膜條來形成整個結構,但在實際工程中是不可能做到的[2]。用測地線來進行裁剪分析,可使膜片的邊界不產生過大的弓形。本文根據文獻[3][4]提出的方法,將其進行展開和深入,推導了最終求解測地線的公式,解決了索膜結構裁剪設計中的一個關鍵問題。

1 單元—節點拓撲矩陣

在求解測地線的過程中,應用單元—節點拓撲矩陣可以大大的簡化和方便計算,因此有必要先引入單元—節點拓撲矩陣的概念。

設網絡劃分,單元數為m,節點數為n,其中元素定義如下:對于i單元,始端節點為r,終端節點為s,單元—節點拓撲矩陣C和D為矩陣m×n,可描述一個網絡關系。設第j單元,始端節點為i,終端節點為i+1,單元坐標差為:

設為矩陣形式:

其中,u,v,w,q,r,s均為單元坐標向量(m×1);x,y,z均為節點坐標向量(n×1)。

2 求曲面上已知兩點間的測地線

已知曲面上的兩點,求經過這兩點的測地線,該問題可以表述為:給定曲面 φ(x,y,z)=0,求曲面上所有連接已知點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)的曲線中,長度最短的曲線。問題歸結為求泛函的極小值[2,3]:

其中,y(x),z(x)滿足 φ(x,y,z)=0,求測地線問題為條件極值問題,用拉格朗日乘子法可化為求解下述輔助函數的極值問題,并取參數方程。

x=x(t);y=y(t);z=z(t);λ=λ(t)得到式(2):

其中,xt=dx/dt;yt=dy/dt;zt=dz/dt,當x=x1時,t=0;x=x2時,t=T。

若已知曲面方程φ(x,y,z)=0,則可由上式求得極值函數x=x(t),y=y(t),z=z(t)和 λ=λ(t)。由于我們得到的初始曲面是一些離散點,得不到初始曲面具體方程,因此得不到極值函數x=x(t),y=y(t),z=z(t)和λ=λ(t)。然而可以用分段近似的方法確定測地線。

3 尋求測地線的具體流程及其求解公式的推導

因為無法得到初始曲面的具體方程,可以利用分段近似的方法確定測地線,其具體流程如下[4]:

1)已知膜曲面的離散點p1,p2,p3…點的坐標,把這些點組成一個集合K;2)已知測地線的端點A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),A,B點在邊界索上;3)連接A,B兩點,計算線段AB的長度,根據AB的長度,將線段n等分,得到n個單元,(n-1)個內插點M1′,M2′,M′n-1,把這些點組成一個集合為G,G內各點的坐標可通過計算求得,為已知量;4)取出第一個單元AM1′,以其中點為球心,R=10×|AM1′|為半徑作球,球內所包含的K集合內的離散點為P1′,P2′,P3′…,這些點組成一個集合為P′,P′?K;5)利用P′中的離散點,進行曲面擬合,設近似曲面方程為:z=h0+h1x+h2y+h3xy+h4x2+h5y2,用最小二乘法得到曲面方程的系數h0,h1,h5…,設 φ1′(x,y,z)=z-z(x,y);6)將M1′的x,y坐標代入φ1′(x,y,z)=z-z(x,y)得到膜曲面上點M1(x,y,z),即為測地線上的一個初始點;7)對第2個～第n個單元重復步驟4)～步驟6),可得到測地線上的一系列初始點A,M1,M2,…,Mn-1,B,如圖 1所示;8)取第i個單元MiMi+1,用4),5)同樣的方法,以MiMi+1的中點為球心,R=5×|MiMi+1|為直徑作圓,所包含的離散點進行擬合得到的單元MiMi+1附近的曲面方程φj(x,y,z)=z-z(x,y);9)對于第i個測地線單元,單元內任一點的坐標為:

對每一個單元設λ為常數,不隨t變化。

根據以上9個步驟得到的每一單元的曲面方程和單元內任一點坐標的參數表達式,進而就能推導求解測地線的具體公式。因此,式(1)即測地線的總長可以表示為:

或表示為:

其中,k=(1,1,…,1);l1,l2均為n×1的向量;λ為n×n n個1階對角矩陣。

對目標函數式(5)求變分得[5]:

令上式各泛函等于0,即:

上述方程組為一非線性方程組,采用牛頓—拉弗遜法和最速下降法聯合求解[2],可得到x,y,z,即測地線AB上各個分段點M1,M2,…,Mn-1的坐標。

得到測地線AB的各分段點后,用線段將其連接起來,作為裁剪設計中的裁剪線。

4 結語

本文應用有限單元的思想,采用古典變分求極值的方法,給出了求測地線的具體步驟和詳細流程,推導了確定測地線的相關公式。此方法可以任意改變測地線兩端點的位置以及測地線的方向,充分利用了材料。并且根據本文的方法,作者編制了相應的計算機程序,通過多個算例的計算,把所得的結果和EASY軟件計算出的結果作比較,發現二者計算結果的差異均在千分之一以內,具有相當高的精度。采用測地線作為裁剪線,子曲面展開圖形邊界曲率較小,裁剪片幅度大致相等,從而達到拼接簡單和省料的目的。

[1]石井一夫,王炳麟.日本膜結構的發展[J].世界建筑,1999(3):70-73.

[2]王啟文,吳健生.膜結構裁剪下料分析[J].工業建筑,1995,25(11):50-59.

[3]向 陽,沈世釗.薄膜結構的實用裁剪設計方法[J].空間結構,1999,5(2):46-50.

[4]沈燕華.空間索膜結構裁剪分析研究[D].廣州:華南理工大學,2005.

[5]陳位宮.力學變分原理[M].上海:同濟大學出版社,1989.