全站儀三角高程測量兩種方法精度淺析

王百勇

在工程測量中,高程控制是各種工程高程施工放樣的基礎。傳統的高程控制的測量方法是幾何水準測量和三角高程測量。水準測量直接測得地面兩點間高差,操作簡單,測量精度也高,但受地形的限制;三角高程測量是一種間接測得兩點高程的方法,它不受地形條件的限制,且測量速度快,但精度較低。因此,有研究者提出一種全站儀三角高程測量的新方法。即將全站儀安置在兩測點中間,在不量取儀器高和棱鏡高的情況下,利用三角高程的原理測得未知點的高程,然而此方法誤差隨觀測距離和豎直角的增大而增加。上述三種方法雖各有優缺點,但適用于不同的范圍,下面從三角高程測量原理出發,利用誤差傳播定律,對這兩種三角高程測定方法進行精度分析。

1 全站儀安置于已知點的三角高程中誤差

1.1 觀測原理

全站儀單向三角高程測量如圖1所示,其中A為高程已知點,B為待測高程點,將全站儀安置于A點,量取儀高為i,將棱鏡置于B點,量得棱鏡高為v。由圖1可得A,B兩點間的高差計算公式為:

其中,hAB為A,B兩點的高差;S為斜距;α為豎直角;c為地球曲率改正數;r為大氣折光系數改正數。

在用全站儀進行三角高程測量時,一般進行對向觀測,即往返測。如果在相同的觀測條件下進行,則可認為大氣折光系數對于反向觀測基本相同,即K往≈K返。所以可得出對向觀測時三角高程計算高差的基本公式為:

1.2 精度分析

其中,mh為往返測量的平均高差中誤差;ms往,ms返為往返距離中誤差;mα往,mα返為往返豎直角中誤差;mi往,mi返,mv往,mv返為往返儀器高和棱鏡高中誤差。

又由于儀器和觀測條件相同,所以可以認為:ms往=ms返=ms,mα往=mα返=mα,再令S往=S返=S,mi往=mi返=mv往=mv返=m,同時α往,α返相差不大,也可以認為近似相等,即 α往=α返=α,則平均高差的中誤差關系式可簡化為:

2 全站儀安置于兩點之間的三角高程中誤差

2.1 觀測原理

如圖2所示,在已知點A和未知點B分別安置棱鏡,在AB中間安置全站儀,根據三角高程觀測原理,可知A,B兩點的高差為:hAB=hOB-hOA=(S2·sinα2-S1·sinα1)+(c2-r2)-(c1-r1)-(v2-v1)。采用中點法測量高差時使A,B兩點鏡高相等,即v2=v1,將球氣差的公式代入得到:

由此式可以看出,全站儀中點法高程測量只與斜距、豎直角和大氣折光系數有關。

2.2 精度分析

根據誤差傳播定律,對上式進行微分,并變為中誤差關系式,考慮到在千米以下的高程測量中,球氣差很小,可忽略不計。再用平距代替斜距,即D=S·cosα,則得到:

其中,mk1,mk2分別為O點至A點和B點的大氣折光系數中誤差;R為地球曲率半徑,R=6 371 km,后兩項對高差的影響很小,可以忽略不計。

若再使前后平距、大氣折光系數近似相等,前后豎直角也盡量接近相等,則公式變為:

其中,m為棱鏡高量取中誤差;mk為大氣折光系數中誤差。

3 兩種方法的精度比較

為了對全站儀三角高程測量的精度進行更好的分析,利用前面所推導的中誤差公式,對不同的測量距離,不同的豎直角進行精度估算,并取2倍的中誤差作為極限誤差。以工程中常用的J2全站儀為例,取mα=±2″,測距標稱精度為±(2 mm±2 ppm×D)。測距按1 km計算,取ms=±4 mm,mk=±0.04 mm,儀器高與棱鏡高的量取誤差m=±2 mm。

通過比較可以看出,對向觀測高程測量精度比中點法精度要好。對向觀測高程測量在距離小于1 200 m,豎直角小于30°時,其精度能滿足四等水準的精度要求;當距離大于200 m且小于600 m,豎直角小于30°時,對向觀測可滿足三等水準測量的精度要求。

4 結語

在適當的距離及豎直角范圍內,可以用全站儀三角高程測量方法代替水準測量方法,提高了測量速度,節省了外業作業時間。

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