配料計算的迭代解法及誤差分析

□□嚴(yán)濟(jì)軍，楊偉東

配料計算的迭代解法及誤差分析

Iterative Solution and Error Analysis on Mix Calculation

□□嚴(yán)濟(jì)軍1，楊偉東2

1 配料計算的實(shí)質(zhì)

生料配料計算的目的是根據(jù)獲得的各種原材料成分，尋找適當(dāng)?shù)呐浔龋瑵M足熟料質(zhì)量和煅燒工藝的要求，并且使生產(chǎn)成本盡量降低。熟料質(zhì)量和工藝要求通過率值控制來實(shí)現(xiàn)，率值變化范圍決定硅酸鹽水泥熟料成分中主要氧化物含量的波動范圍。

無論是設(shè)計階段還是實(shí)際生產(chǎn)過程中，首先要根據(jù)產(chǎn)品的質(zhì)量要求結(jié)合生產(chǎn)設(shè)備以及原材料的情況確定目標(biāo)熟料的率值。對于一條水泥生產(chǎn)線來說，熟料燒成系統(tǒng)的熱耗作為重要的經(jīng)濟(jì)技術(shù)指標(biāo)是基本固定的，選定燃料，熟料中的煤灰摻入量就基本確定。

給定目標(biāo)熟料的率值和熱耗，所用原煤的發(fā)熱量和灰分，以及原料和煤灰的成分分析，可以計算出目標(biāo)熟料的主要氧化物含量，去掉摻入的煤灰后就得到灼燒生料的主要氧化物含量，考慮燒失量容易換算成所需生料成分的目標(biāo)值。以生料中各原料組成占比為未知數(shù)，可以得到一組線性方程，配料計算的實(shí)質(zhì)就轉(zhuǎn)化為求解線性方程組的問題。

2 求線性方程組數(shù)值解的迭代解法

硅酸鹽水泥生產(chǎn)所用原料主要有石灰質(zhì)原料，是熟料中CaO的主要來源；其次是粘土質(zhì)原料，是熟料中SiO2等酸性氧化物的主要提供者；通常需要一些校正原料提供Al2O3、Fe2O3，或補(bǔ)充SiO2的不足。

由于影響率值的主要氧化物只有硅鋁鐵鈣4種，所以無論是使用幾種原料，均得到4個方程式組成的非齊次線性方程組。設(shè)滿足要求的生料中硅鋁鐵鈣4種氧化物的含量為S0、A0、F0、C0，當(dāng)采用n種原料配料時，設(shè)每種原料中的硅鋁鐵鈣的氧化物含量分別為Sj、Aj、Fj、Cj（j＝1，2，……，n），n種原料的配比設(shè)為xj（j＝1，2，……，n）。為了敘述的方便，我們不妨稱之為鈣方程、硅方程、鋁方程和鐵方程，即：

對于上述非齊次線性方程組，除了傳統(tǒng)的高斯消去法，還可以運(yùn)用數(shù)值分析中迭代的方法求解。從線性方程組的每個方程式中均可以分離出一個未知數(shù)，用其他未知數(shù)來表示。給定一組初始值，通過若干次迭代計算，可以求得線性方程組的解。

以4組分為例，方程組的解可以表示為雅可比（Jacobi）迭代：

或高斯－塞德爾（Gauss－Seidel）迭代：

迭代的過程很方便在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，無論是編制配料計算軟件還是質(zhì)量控制軟件，均可使用該算法。事實(shí)上，在EXCEL試算表中即可簡單實(shí)現(xiàn)，具體步驟從略。

3 迭代收斂的對角占優(yōu)條件

并非隨意建立的迭代都能夠保證收斂。上述方程的次序是符合迭代收斂的條件的，即原始方程組的系數(shù)矩陣滿足對角占優(yōu)的條件。所謂對角占優(yōu)即方程組對角線上的未知數(shù)系數(shù)的絕對值大于同行上其他未知數(shù)系數(shù)的絕對值之和。對角占優(yōu)條件只是迭代收斂的充分條件，有時稍弱的對角優(yōu)勢甚至個別方程不滿足對角占優(yōu)，迭代依然能夠收斂。

一般而言，石灰質(zhì)原料中的CaO含量相比其他氧化物的含量要高，即石灰石的CaO含量占優(yōu)。把石灰石作為組分1，石灰石中的CaO含量就是C1；同理，粘土質(zhì)原料中SiO2的含量占優(yōu)，鋁質(zhì)校正原料中Al2O3含量占優(yōu)，而鐵質(zhì)校正原料中Fe2O3含量占優(yōu)。將含量占優(yōu)的組分安排在方程組對角線的位置，即粘土質(zhì)原料作為組分2，SiO2含量作為S2，鋁質(zhì)校正原料作為組分3，其Al2O3含量作為A3，而鐵質(zhì)校正原料作為組分4，其Fe2O3含量作為F4，這樣才能保證建立的迭代收斂。

三組分配料時，一般是粘土質(zhì)原料中含鋁或鐵較高，即鋁或鐵與硅的含量相關(guān)。此時可以根據(jù)情況忽略鋁方程或鐵方程，以另外三個方程建立的迭代求解三個未知數(shù)，這樣求得的解至少滿足2個率值要求。

四組分配料時，如果每種組分中占優(yōu)的氧化物都不同，那么直接根據(jù)對角占優(yōu)的原則建立迭代即可。否則，要根據(jù)氧化物含量做適當(dāng)調(diào)整。比如，使用高硅粘土作為硅質(zhì)校正原料時，選擇鋁方程建立的迭代求粘土質(zhì)原料比較適宜。

五組分配料時，同樣根據(jù)對角占優(yōu)原則建立迭代。可以將某兩個組分按比例相加得到一個新的混合組分，按四組分的解法求出結(jié)果，再按比例分配即可。

4 精度控制和誤差分析

迭代的精度控制可以設(shè)定，當(dāng)前后兩次計算結(jié)果的相對誤差小于設(shè)定值時結(jié)束迭代計算。通常需要的精度受配料計量設(shè)備的精度限制，還與原燃材料的種類，預(yù)均化的效果，分析結(jié)果的準(zhǔn)確性有關(guān)。

上述線性方程組解的誤差，主要來源于兩個方面。一方面方程組的系數(shù)是各原料化學(xué)分析值，分析結(jié)果的誤差會引入到方程組的解中；另一方面，方程組的常數(shù)項是估算的目標(biāo)生料相應(yīng)氧化物的值，估算時，熟料主要氧化物的和值是經(jīng)驗值或按假定的原料配比估算而來，燒失量也是按假定的配比估算得來。估算的誤差同樣會引入到方程組的解中。

為了分析求解線性方程組過程中的誤差，規(guī)定了矩陣的范數(shù)和條件數(shù)，用來刻畫矩陣的接近程度以及方程組病態(tài)的程度。

方程組的系數(shù)矩陣為A，A的逆矩陣為A－1，相應(yīng)矩陣的范數(shù)為‖A‖和‖A-1‖。矩陣的條件數(shù)cond(A)=‖A-1‖?‖A‖。

系數(shù)矩陣的擾動對解的影響可用下式表示：

常數(shù)項的擾動對解的影響也可以表示為：

可見，系數(shù)矩陣的擾動和常數(shù)項的擾動對解的影響與條件數(shù)cond(A)的大小有關(guān)，條件數(shù)越大，擾動對解的影響可能越大，條件數(shù)的值刻畫了方程組病態(tài)的程度。根據(jù)范數(shù)的性質(zhì)：

所以當(dāng)條件數(shù)接近1的時候，方程組的性態(tài)是好的；反之，條件數(shù)越大，方程組的病態(tài)程度越高。可以認(rèn)為，方程組的病態(tài)程度影響解的精確程度。筆者計算了一些4組分原料組的條件數(shù)，發(fā)現(xiàn)使用硅質(zhì)校正原料時，條件數(shù)為15～17左右，使用鋁質(zhì)校正原料時條件數(shù)約為8～10，條件數(shù)隨每種原料中占優(yōu)的氧化物含量的優(yōu)勢程度而減小。

系數(shù)矩陣中原料成分分析結(jié)果相對誤差1%時，如果條件數(shù)8，則解的誤差會有8.7%；同樣地，1%的常數(shù)項相對誤差也會帶來8%的誤差。這就是說原燃材料很小的波動可能引起出磨生料很大的波動，因而，提高分析準(zhǔn)確性和原燃材料的均化效果對于配料計算和生產(chǎn)質(zhì)量控制非常重要。

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2010－01－11；編輯：呂 光