基于Vague集記分函數法的模糊插值算法

張 韜,徐蕓蕓,李贊成,林振榮

(1.空軍工程大學工程學院,陜西西安 710038;2.徐州空軍學院機場工程系,江蘇徐州 221000;3.徐州空軍學院油料物資系,江蘇徐州 221000)

0 引言

利用探測儀器對目標進行探測時,往往需要對探測數據進行成像處理。由于采集的數據均為離散分布,不可能得到所有成像網格點上的數據,因此必須要對采集的數據進行插值計算,才能得到針對每個成像網格點的數據。

現有的離散數據插值加權運算方法能夠根據已知點與未知點的距離進行加權運算[1],在運算時存在的主要問題有:1)不能保證均勻取值,且增加運算量;2)考慮到梯度變化的情況,尤其是發生突變時,不能保證插值的準確性。

Vague集是由Gau和Buehrer[2]于1993年提出的。由于同時考慮隸屬與非隸屬兩方面的影響,其決策時的合理性較之傳統的模糊集更強。本文通過分析現有插值加權算法,將基于Vague集[2-3]的記分函數法應用到插值計算中,以得到更準確的網格點插值。

1 現有的插值加權算法

1.1 按距離加權平均算法

對于離散點數據進行插值運算一般采用的方法是按距離加權平均法。該算法的基本思想如下:

假定已知數據點值對網格點值的影響與距離有關,其基本原則是越靠近網格點的已知數據點值對網格數據點值的影響越大。影響程度可用一個權系數來量化,權系數的大小取已知數據點到網格數據點的距離的倒數,對已知數據點值進行加權即得到未知網格點的數值。

以圖1為例,其中 A點為未知網格點,B,C,D等點為已知數據點,各已知點距離 A點的距離為d IA,以 B點為例,有:

由已知各點的探測值及與A點的距離,即可求出A點的內插值Z A為:

圖1 按距離加權平均法插值示意圖Fig.1 Interpolation calculation based on the distance weighted mean

1.2 按方位取點加權算法

該方法能根據按距離加權平均算法存在的問題進行修正,提出了按方位取點加權的計算方法。其基本思路如下[1]:

仍對A點進行插值計算,先以A點為中心把平面分為4個象限,再將象限等分為n份,則得到A點的插值表達式為:

其中,

且有系數Ci滿足:

其算法的基本步驟為:

1)輸入原始數據點;

2)確定插值點平面坐標;

3)在各個區域中分別尋找距離插值點最近的點,求出之間的距離;

4)利用式(3)與式(2)計算各插值點的值;

5)重復以上步驟,求出所有插值點的值。

2 現有算法的缺陷

仍以圖1中A點為例,則上述兩種距離加權平均法的缺陷具體體現在:

1)利用第一種算法計算時,存在的主要問題是如果已知數據點大部分集中在A點的一側,而不是較為均勻地分布在 A點周圍,則必然會增加插值誤差。而且不加選擇地對A點所有鄰近點進行計算也會大大增加計算量。

2)以上兩種方法均沒有考慮到探測數據突變情況的存在,即沒有考慮梯度突變情況的存在。例如,在實際處理中可能會存在兩個已知數據點與A點距離相差不大,但探測數據值卻相差很大的情況。因此,一味采用距離平均值作加權因子同樣也會增大插值估算的誤差。

3 基于Vague集的模糊插值算法(VFIA)

針對以上兩種插值算法的缺陷,本文通過應用目前在模糊多準則決策方面應用較為廣泛的基于Vague集記分函數法,提出了一種對插值進行模糊加權計算的方法。

3.1 基于Vague集的記分函數法

Vague集的提出是通過對Zadeh的模糊集進行擴展與延伸,從而增強了模糊多準則決策的科學性與合理性。Vague集應用于模糊多目標決策的最大特點是同時考慮隸屬與非隸屬兩方面的信息,這使得Vague集在處理不確定性信息時比傳統的模糊集有更強的表示能力,且具備更強的靈活性。

設論域X={x1,x2,…,xn},其中元素x i(i=1,2,…,n)是所討論的對象。X上一Vague集A由真隸屬函數tA和假隸屬函數fA按下面公式進行描述:

式中,t A(xi)是由支持xi的證據的肯定隸屬度的下界,f A(xi)則是由反對xi的證據的否定隸屬度的下界,且tA(xi)+fA(xi)≤1。

在利用Vague集進行模糊決策過程時,Chen和Tan[4]于1994年提出了用記分函數S表示決策目標滿足決策者要求的程度。采用如下公式計算:

式中,S(E(Ai))的值越大,表明目標Ai越滿足決策者的要求。

在后續的發展中,李凡等用例子闡明式(8)的不足之后,給出的方法是定義以下兩個記分函數S1和S2[5]:

式中,S1與S2分別表示目標Ai適合和不適合決策者要求的程度。決策規則為:先根據S1的值進行選擇,該值越大,則目標Ai越適合決策要求;當S1的值相同時,再根據函數S2的值進行選擇,該值越大,則目標Ai越適合決策要求。

文獻[6]證明,通過對棄權人群進行分析,可更合理地進行決策。文獻[6]通過定義如下的記分函數:

表示決策方案 Ai滿足決策者要求的程度。L(E(Ai))的值越大,表示目標越滿足決策者要求。

文獻[7]中,還提出了一種更加完善的計算方法,從而確保了利用Vague集記分函數法一定可以得到排序結果。下面將采用基于Vague集的記分函數法對未知網格點插值問題進行計算。

3.2 基于Vague集的模糊插值算法

針對上文中提到的缺陷1),首先引用按方位取點加權的計算方法將未知點A周圍的空間分為4個象限。之后,將每個象限均分為相等的n個區域,在每個區域中尋找與A點最近的已知點,再通過計算每個最近已知點與A點的距離d進行加權求和。

顯然,在每個象限中均可以得到一個關于 A點的插值:

在第j個象限中,有:

式中,i=1,2,…,n;j=1,2,…,4。

顯然,一般情況下由4個象限的探測數據分別得到的插值能夠完全相同的機率是很小的。通常情況下,如果由4個象限分別計算得到的插值相差不大時,求得4個象限的插值的平均值可以作為一個較為合理的選擇。但必須考慮到在不同象限中探測數據有可能發生突變的情況,這里引入反映插值梯度變化的隸屬度函數來對各象限插值進行模糊計算。

為凸顯梯度的變化情況,確保由各相鄰點得到的插值最大限度地接近真實值,論文利用模糊數學中基于Vague集記分函數法來處理各象限的插值估算問題。

1)真隸屬度的定義

定義1:利用第j個象限中最近相鄰探測點K定義該象限插值^Z Aj的真隸屬度為:

式中,K點為距離A點最近的相鄰點。D Hj為第j個象限中各等份中相鄰點與利用式(2)得到的A點插值的差與距離的比。即:

顯然,該隸屬度利用相鄰最近已知點與插值點的變化率情況反映了插值點插值的梯度變化情況。

2)假隸屬度的定義

定義2:利用第j個象限中最遠相鄰探測點L定義該象限插值^ZAj的假隸屬度為:

利用Vague集的記分函數法,可以得到第 j象限的插值隸屬度為:

分別求出4個象限的μj,即可分別求出4個象限A點的模糊加權插值。

計算出4個象限的模糊加權插值后,即可求出A點的最終插值:

顯然,通過利用基于Vague集的記分函數法,得到的插值要比直接采用加權平均法進行計算要合理。

3.3 VFIA算法總結

對算法的計算步驟總結如下:

1)將未知網格點的4個象限劃分為n等份;

2)分別求出未知網格點在4個象限的插值;

3)分別計算出4個象限的真假隸屬度值;

4)利用基于Vague集的記分函數法,計算出每個象限的記分函數;

5)由4個象限的計算結果,求出最終的未知網格點插值。

4 實驗應用

利用VFIA算法,對地下目標探測進行數據處理實驗。實驗時采用TEM探測儀器進行地下目標探測,得到各個測線的電阻率,首先利用已知點對每一列未知像素點進行插值計算;之后再對每一行未知像素點進行插值計算,這樣即可實現對地下目標的切面建模。通過建立函數關系,將電阻率轉換為256級灰度處理,可得到探測數據關于各個切面的圖像。下圖為采用加權平均法及VFIF算法分別得到的水平切面圖像。

圖2 加權平均法得到的水平切面圖像Fig.2 Horizontal section map based on the distance weighted mean

圖3 VFIA算法得到的水平切面圖像Fig.3 Horizontal section map based on the VFIA Calculation

由圖像對比情況可以看出,由VFIA算法得到的圖像由于利用Vague集進行計算,考慮到各個象限最近點取值情況,因此其紋理更加豐富,反映出圖像的細節變化也更多。

5 結論

通過分析現有插值算法,提出了一種基于Vague集記分函數法的模糊插值算法,并通過實驗進行了對比驗證。主要結論如下:

1)新算法考慮到了未知點周圍4個象限中已知點的取值情況;

2)新算法能有效縮減普通插值運算計算量;

3)由于在計算時充分考慮了梯度的變化情況,從而確保了插值的準確性,也使得圖像的細節變化能夠準確體現。

研究結果成功地應用到了文獻[8]中的地下金屬小目標探測成像處理過程。

[1]周旭.基于 VRM L的 TEM解釋數據三維可視化研究[D].長春:吉林大學,2005.

[2]Gau W L,Buehrer D J.Vague sets[J].IEEE Trans on Systems,Man and Cybernetics,1993,23(2):610-614.

[3]Fuller R,Carlsson C.Fuzzy multiple criteria decision making:recent developments[J].Fuzzy Sets and Systems,1996,78:139-153.

[4]Chen S M,Tan J M.Handling multi-criteria fuzzy decision-making problems based on vague set theory[J].Fuzzy Sets and Systems,1994,67(2):163-172.

[5]李凡,盧安,蔡立晶.基于 Vague集的多目標模糊決策方法[J].華中科技大學學報,2001,29(7):1-3.LI Fan,LU An,CAI Lijin.Multicriteria decision making based on vague set[J].Journal of Huazhong University of Science and Technology,2001,29(7):1-3.

[6]劉華文.多目標模糊決策的Vague集方法[J].系統工程理論與實踐,2004,24(5):103-109.LIU Huawen.Vague set methods of multicriteria fuzzy decision making[J].Systems Engineering-Theory &Practice,2004,24(5):103-109.

[7]張韜,陸廷金,馬建軍.基于 Vague集模糊多準則決策記分函數法改進性探討[J].系統工程,2006,24(7):120-123.ZHANG Tao,LU Tingjin,MA Jianjun.Discussion on improvement of score function methods based on vague sets for fuzzy multi-criteria decision-making[J].System Engineering,2006,24(7):120-123.

[8]張韜,陸廷金,馬建軍,等.瞬變電磁法在地下金屬物體探測中的應用[J].彈箭與制導學報,2006(3):293-295.ZHANG Tao,LU Tingjin,MA Jianjun,et al.The application of transient electromagnetic method in detection of underground metal object[J].Journal of Projectiles,Rockets,Missiles and Guidance,2006(3):293-295.