2010年數學高考中有關計數原理試題的評價

●徐國君 李惟峰 (杭州外國語學校 浙江杭州 310023)

計數問題是數學中的重要研究對象之一.分類加法計數原理、分類乘法計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，它們為解決很多實際問題提供了思想和工具.下面筆者結合2010年數學高考試題從以下幾個方面加以說明.

1 新舊課程的對比分析

在新課程中，學生將學習計數基本原理、排列組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯系，會解決簡單的計數問題.總的教學目標是通過實例，總結分類加法計數原理、分類乘法計數原理;能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步計數原理，解決一些簡單的實際問題.提高學生轉化問題的能力、邏輯分析能力和分類討論思想的運用能力.

與原大綱相比，新課程對分類加法計數原理與分步乘法計數原理在內容編排上做了一些調整.特別是在處理方法上，更強調基本的計數原理，強調計數原理在實際中的應用，強調對計數原理思想的理解，避免抽象地討論計數原理.在排列組合的教學中，新課程是將排列組合作為計數原理的應用實例來處理的，且排列組合的應用題設計的問題背景非常豐富，因此需要有較強的抽象思維能力.通過典型例題，形成典型問題的思維模式，注重常見題型與常用方法的歸納.二項式定理是組合知識與多項式知識的結合，新課程教學非常注重二項式定理的推導過程，理解特殊到一般的思維方法，培養學生的觀察歸納能力、抽象思維能力和邏輯思維能力.

2 命題特點和知識類型

計數原理在高考中多以客觀題的形式出現，每年有1～2道題，試題難度基本為中低檔，考查學生轉化問題的能力、邏輯分析能力和分類討論的思想方法.在2010年全國各地的數學高考試卷中，可以說計數原理的考查基本沿襲了以往的風格，部分題目有一定的難度.

例1 有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”5個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復.若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有_______種(用數字作答).

(2010年浙江省數學高考理科試題)

命題意圖分析 這是一道典型的計數原理題，主要考查學生的分析能力、用分類討論的方法解決問題的能力.

分析為了方便解題與分析，可以把題目的要求結合以下的表格(如表1)加以體現.

表1 各項目測試安排表

依據以上的表格可非常清晰地把這個較難的計數原理的問題加以解決：由題意在上午的測試中，在可以測試的4個項目中應該各有一名同學，且沒有其他限制，因此有24種;而下午的安排要受到上午安排的影響且要求限制較多，這種情況下可以采取分類討論的方法加以解決，經分析可以分為以下2個大類：

(1)若丁所測項目上午是“臺階”，下午是“握力”，則甲、乙、丙在上午給定排定測試項目的前提下，下午實質上就是要求與上午的測定項目全不相同，是個全錯位排列問題，共有2種排列方法.

(2)若丁上午測“臺階”，下午所測項目是甲、乙、丙在上午所測項目中的一項，則有3種不同的情況.丁排定后，甲、乙、丙選擇一人測“握力”有3種不同的選法，選定后依題意剩下2位同學的測試項目就唯一確定下來了.

故不同的排列方法共有

點評應該說，本題的敘述會給考生以繁瑣、難理解的感覺.題目中涉及的限制條件與要求較多，往往會令考生難以下手，有較高的能力要求.從考生反饋的信息來看，本題的得分率也不是很高.值得肯定的是本題充分體現了新課程的培養目標，有很好的教學指導意義，值得一線教師的反思體會.

例2 現安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加上海世博會志愿者服務活動，每人從事翻譯、導游、禮儀、司機4項工作之一，每項工作至少有一人參加.甲、乙不會開車但能從事其他3項工作，丙、丁、戊都能勝4項工作，則不同安排方案的種數是( )

A.152 B.126 C.90 D.54(2010年湖北省數學高考理科試題)

命題意圖 這是一道排列組合中常見的有條件的分配問題，主要考查學生的分析能力、用分類討論的方法解決問題的能力.

分析由于題目中有5位同學，而需要從事的工作只有4項，有限制的是司機這項工作，因此選擇從工作出發選人的方法，且先確定從事司機的人選.依題意必然有一項工作有2人，其他工作各1人.可分為以下2類進行討論：

因而共有不同安排方案的種數是18+108=126種.故選B.

點評本題是一個較常規的排列組合問題，其中涉及到分類討論、分配等常見的排列組合問題，難度適中.體現出重視基本問題、基本技能的指導思想.

(2010年遼寧省數學高考理科試題)

命題意圖分析 本題是一道二項式定理題，主要考查學生3個方面的能力：(1)基本的通項求解方法;(2)二項式定理的本質應用;(3)分類討論的思想方法的運用.

所以可以發現展開式中沒有x-1這一項，即這種情況不可能.

(3)x2與 x-2抵消成常數：1 ×(-1)4=15.

綜上所述，常數項為-20+15=-5.

點評本題體現了新課程中對二項式定理的教學要求，要求考生既要學會基本的解題方法和技巧——展開式的通項公式的應用，又要充分理解二項式定理推導過程的思維實質，并能把這個思維實質進行有效地遷移應用.有一定的難度，也有非常好的教學指導意義.

3 亮點掃描

(1)體現了對基本知識、基本技能的掌握.淡化過分的技巧化、模型化.

(2)題目貼近生活.充分體現了數學的真諦，即來源于生活，服務于生活，有很強的現實指導意義和生活背景.也體現了數學的人文素養和人文價值所在，給教學指明了方向.

(3)題目立意深刻，注重知識的理解.考題中無不滲透出摒棄“題海”，注重知識的理解和掌握的指導思想.

(4)題目立足基礎，體現能力.在立足基礎的前提下，非常講究能力的考查.要求考生有較強的知識遷移能力.

4 復習建議

可以說，2010年高考試題充分體現了新課程對于這一部分內容的教學要求，題目有新意，既立足基本知識、基本技能，又體現了較高的能力要求，因此也給數學教師提出了新的歷史使命.基于此，筆者有以下的復習建議，供同行參考：

(1)在教學中，不僅要重視每個知識結論的教學，更應注重知識發生、發展和形成過程.在指導學生解題過程中，應淡化技巧，突出通性通法的訓練，引導學生對解題方法歸類、概括和總結，提高學生的解題能力.

(2)注重能力培養，著眼創新意識和實踐能力的提高.近幾年高考試題開發了研究型、探索型和開放型等體現數學素質的能力型試題，學生要在主動探究知識、分析思考和解決問題的過程中，理解知識，掌握數學思想方法和解決問題的策略，提高能力.

(3)合理安排該模塊的訓練難度，把握復習的重點和熱點.對于了解層次要求的知識點要嚴格控制難度;掌握層次要求的內容既可以出難題，也可以出中等題與容易題.作為新的高考熱點，當然應成為復習的重點.

(4)要認真學習《學科指導意見》，確定復習的內容和重點.只有緊扣《學科指導意見》，才能科學、合理地安排復習，從而提高效率.以不變應萬變，構建知識網絡，集中精力破解學習中的疑難問題.