簡述三角函數題的7種解法

●邵賢虎 (江浦高級中學 江蘇南京 211800)

三角函數是高考和競賽中的重要內容，屬于試題中的基礎題.三角函數可以與其他知識綜合在一起，演繹精彩的方法.筆者總結了三角函數題的7種解法，供參考.

原題重現 已知角x滿足3cosx+4sinx=5，求tanx.

1 回歸定義，追本溯源

解法1 設P(a，b)為角x終邊上任意一點，點P到原點O的距離為r，則

評析 利用三角函數的定義解題是比較容易忽視的方法，應充分認識定義的解題價值.回歸定義，經常會有特別的收獲.

2 巧妙配湊，意外驚喜

評析 解題是不斷嘗試的過程，需要信心和敢想敢做的勇氣.很多巧解都來源于大膽的想法，始終要相信題目都是“編”出來的!

3 數列登場，良性互動

解法3 因為

評析 等差數列的出現給三角函數吹入了一股清新的空氣，轉化為公差的等式可以說是水到渠成.本題告訴我們：知識和方法是相互聯系的，可充分發揮各自的優點，為解題服務.

4 巧用對偶，對稱和諧

評析 數學中有很多問題有著和諧的對稱美，若能善于挖掘與利用這種關系，則往往會有意想不到的收獲.在解某些數學問題時，針對其中的式子A的特點，為其配湊一個合適的式子B，使得由A和B之間的運算，能產生一些有用的關系式，促使問題向有利的方向轉化，進而解決問題.

5 數形結合，形象直觀

解法5 作 Rt△ABC，使得 AC=3，BC=4，則AB=5.作CD⊥AB于點 D，設∠A=α，則∠BCD=α.由圖1可得

評析 數形結合就是根據問題的具體情況，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，通過代數方法分析數量關系來揭示直觀圖形的性質，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，用幾何圖形直觀地刻畫數量關系，從而使抽象思維和形象思維結合起來，使抽象問題具體化，最終得到解決.

圖1

6 相等問題，不等解決

評析 數學中有些相等問題可以用不等知識來解決.運用三角函數的有界性或均值不等式中等號成立的條件等途徑，通過不等導出相等，以此揭示問題中的隱含條件，揭示等與不等矛盾差異的內在聯系，使問題得以簡潔、明快地解決.

［1］ 俞新龍.新課程教材習題教學的實踐探索［J］.中國數學教育，2008(6)：25-27.

［2］ 武瑞雪.三角函數題“正確解法”后的反思［J］.中學教研(數學)，2010(9)：26-29.

［3］ 陳久貴.數學探究的鮮活資源——一道課本習題的探究案例［J］.數學通報，2008(4)：25-27.

［4］ 余錦銀.三角函數問題中隱含條件的挖掘［J］.中學教研(數學)，2008(7)：23-25.