一道中考題的解答小議

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(東洲中學 浙江富陽 311401)

題目請你在如圖1所示的12×12的網格圖形中任意畫一個圓，則所畫的圓最多能經過169個格點中的________個格點．

(2010年浙江省湖州市數學中考試題)

圖1

圖2

本題解答有誤，所給答案為12，正確答案應為16.究其錯誤原因可能是只從圓心為格點的情形加以考慮，沒有從反面說明這個值確實是最大的了.

解如圖2,圓恰好經過16個格點.

以下說明16是最大值.建立以左下角為坐標原點，以方格的邊長為單位長度，水平向右為x軸，豎直向上為y軸的坐標.

即

(2x-a)2+(2y-b)2=4R2,

(1)

其中0≤x≤12,0≤y≤12.方程(1)的整數解個數就是這個圓經過12×12網格的格點個數.當方程(2x-a)2+(2y-b)2=4R2的左邊取整數解時，左邊的值為正整數，因此4R2也為正整數.

圖3

圖4

x′2+y′2=4R2

(2)

恰有16個整數解.

綜上所述，在如圖1所示的12×12網格圖形中任意畫一個圓，則所畫的圓最多能經過169個格點中的16個格點．