慎對課堂的意外 拾揀智慧的珠璣
——記一道課本例題的意外收獲

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(嘉興市第一中學 浙江嘉興 314050)

0 前言

在平常的教學過程中，總會遇到這種情況：當教學活動正按事先預設的方向前進時，突然有學生提出與教學設計完全不同，但又非常“閃光”的想法，若對這“意外”發言給予重視、肯定，合理施教,可能會打亂整個教學設計，但也可能會得到意外的收獲．筆者在講解課本例題時就曾遇到過這種情況,現整理成文以供大家參考．

1 課堂回顧

圖1

筆者在講解此題時是用數形結合的方法求解的.作出直線l及橢圓，觀察圖形可以發現利用平行于直線l且與橢圓只有一個交點的直線，可以求得相應的最小距離．讓學生感受到數形結合在解圓錐曲線中的重要應用，也讓學生深刻體會了如何去求與已知直線平行且與橢圓只有一個交點(切線)的直線方程．剛講解完此題，有位學生突然舉手且發言：“老師，此題不需要畫出圖像，根據所給方程，可以很快求出答案”.筆者心里一驚，請他發言．

生：解決本題的關鍵是求出橢圓的切線．令切線方程為4x-5y+c=0，則

于是

確實和答案完全一樣．其他同學也很驚訝．

生：其實c就等于直線常數項的平方,等于直線方程中x系數的平方乘以橢圓長半軸的平方再加上直線方程中y系數的平方乘以橢圓短半軸的平方．

其他同學聽得一頭霧水．

師：你是怎么知道的？

生：就是您剛才講解例題時,我發現的．

師：這個方法是只對于這個題目成立，還是對于一般的直線方程和橢圓也成立呢？我們一起來探究．

2 探究

(并請該生上黑板板演.)

證明聯立方程

消去y得

(b2n2+m2a2)x2+2acm2x+m2c2-b2m2n2=0,

于是

Δ=(2acm2)2-4(b2n2+m2a2)(m2c2-

b2m2n2)=

4m2b2n2(m2a2+n2b2-c2).

令Δ=0，得

c2=m2a2+n2b2，

從而

不但答案是肯定的，而且又有學生發現：當c2m2a2+n2b2時，直線l與橢圓相離．這個發現不但讓學生驚喜萬分，也讓筆者慶幸還好沒有搪塞過去．

師：也許是巧合，讓我們得到了一個判斷直線與橢圓位置關系的簡便方法．

(1)若c2=m2a2+n2b2，則直線l與橢圓有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2

(3)若c2>m2a2+n2b2，則直線l與橢圓沒有交點(相離).

3 應用

直線與二次曲線位置關系的判別，常用的方法是判別式，而利用“Δ”法計算量往往很大．上述幾個性質是從“Δ”法中提煉出一般的結論：利用直線的參數與二次曲線參數之間的關系，可以快速地判斷直線與二次曲線的位置關系．直觀性強、簡單易記，應用起來十分方便，請看以下的例子．

解因為

62·9-52·16=-166<32，

所以由性質2可知直線l與雙曲線相交．

例3直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有1個交點，則m2=________．

解由性質1可得

解得

分析結合圖形發現，求出與直線l平行且與橢圓相切的直線，由此可以求得相應的最小距離．

c2=22·2+(-1)2·1=9，

得

c=-3(c=3舍去),

于是最小距離為

例5試就實數k的取值情況，討論方程x2+4(kx+k+2)2-12=0的實根個數．

分析此題若用判別式來求解，運算較為復雜，但用上述性質來處理卻十分容易．

解令y=kx+k+2，則方程變為

x2+4y2-12=0，

(k+2)2=12k2+3，

即

11k2-4k-1=0，

解得

例6設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量a=(mx,y+1)，向量b=(x,y-1)，a⊥b,動點M(x,y)的軌跡為E．

(1)求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀.

(2009年山東省數學高考文科試題)

解(1)略．

x2+4(kx+t)2=4,

即

(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0.

要使切線與軌跡E恒有2個交點A,B,由推論1可得

t2<4k2+1,

且

于是

y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=

k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=

于是

5t2-4k2-4=0,

即

5t2=4k2+4且t2<4k2+1,

從而4k2+4<20k2+5恒成立．又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線,由推論2可得

t2=(k2+1)r2,

于是

又l與軌跡E只有一個公共點B1,由推論1可得

由式(1)，式(2)得

此時,點A,B重合為點B1(x1,y1).由

得

x1=x2,

從而

因為點B1(x1,y1)在橢圓上,所以

得

在Rt△OA1B1中,

|A1B1|2≤5-4=1,

4 推廣

課后,筆者還給學生布置了思考題：能否把我們的結論推廣到其他的圓錐曲線呢？從學生反饋的作業中歸納了以下6個推廣．

(1)若m2=a2k2+b2，則直線l與橢圓有且只有1個交點(相切)；

(2)若m2

(3)若m2>a2k2+b2，則直線l與橢圓沒有交點(相離).

推廣2已知圓方程x2+y2=r2，直線l:ax+by+c=0．

(1)若c2=(a2+b2)r2，則直線l與圓有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2=(a2+b2)r2，則直線l與圓有2個交點(相交)；

(3)若c2=(a2+b2)r2，則直線l與圓沒有交點(相離).

(1)若c2=m2a2-n2b2，則直線與雙曲線有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2>m2a2-n2b2，則直線與雙曲線有2個交點(相交)；

(3)若c2

(1)若c2=n2b2-m2a2，則直線l與雙曲線有且只有1個交點(相切)；

(2)若c2>n2b2-m2a2，則直線l與雙曲線有2個交點(相交)；

(3)若c2

推廣5已知拋物線y2=2px，直線l:ax+by+c=0．

推廣6已知拋物線x2=2py，直線l:ax+by+c=0．

5 反思

本文記錄的是筆者教學活動中的一次“意外”．在平常的教學過程中，常常會遇到突如其來的“意外”．若能結合教學內容進行研究，既能自然地得到學生容易接受的結果，又能使學生通過自己的探索，溝通知識之間的內在聯系．這節課的“意外”通過教師的點評、歸納，學生不但全面掌握了直線與圓錐曲線有且只有1個公共點的求法，而且掌握了根據方程快速判定直線與圓錐曲線位置關系的方法，提升了解題能力．

由此看來，在平時教學中，教師若能放手讓學生去思考、探索，充分發揮學生的主觀能動性，注意學生的“閃光點”，并通過問題探究引導學生在收集、整理、歸納中獲得新知識，在知識的聯系中進行有效整合，這不僅對學生能力的培養和提高很有益處，而且也使課堂充滿生機，收獲不斷．